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等比数列的前n项和1


《数列》 王光宁

? 话说猪八戒自西天取经回到了高老庄,

经过几年拼搏,创建了高老庄集团, 摇身变成了 CEO ,可好景不长,便 因资金周转不灵而陷入了窘境,急需 大量资金投入,于是他就找孙悟空帮 忙。悟空一口答应:“行!咱们这样 行不行…….”

? 我每天投资100万元,连续30天,但有一个条

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件:作为回报,从投资的第一天起你必须返还 我1元,第二天返还2元,第三天返还4元…… 即后一天返还数为前一天的2倍。八戒听了, 心里打起了小算盘: ? “第一天:支出1元,收入100万元;” ? “第二天:支出2元,收入100万元;” ? “第三天:支出4元,收入100万元;” ? “……哇,发财了”,心里是越想越美……不过 又看看悟空的表情,心里又嘀咕了:“这猴子 老欺负我,会不会又在耍我?”

平面的基本性质(二)

一、复习

《数列》 王光宁

1、等比数列的定义

2、等比数列的通项公式

☆:已知三个量,可以求出第四个量。 (说“三”道“四”)

《数列》 王光宁

《数列》 王光宁

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国王要奖赏国际象棋的发明者,让发明者自己提要求,发明者提的要 求是:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗 麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推, 每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍,直到第64个格子.” 国王听了很高兴,觉得这太容易了,你觉得国王是否真的很容易就能满 足发明者的要求了吗?

? 9 ? 1018 颗
? 3600亿吨

1 2 22 23

《数列》 王光宁

问题:如何来求麦子的总量?
即求:1,2,22,· · · · · · ,263的和; 令:S64=1+2+22+······+262+263 得: 2S64=
g

2+22+23+······ +263+264


错位相减得: S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019
以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨!
麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。

等比数列的求和公式

《数列》 王光宁

一般地,设有等比数列:a1,a2,a3,···,an··· S n= a1+ a2 + a3 + ··· + an 即:S n= a1+ a1q + a1q2 +······+ a1qn-2 + a1qn-1 qSn= a1q + a1q2 + a1q3 +······ + a1qn-1+a1qn
n ( 1-q ) S =a -a q n 1 1 错位相减得:

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等比数列的求和公式(q≠1)

在 a1、q、n、Sn、 an 中 知“三”求“二”

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例2、 某制糖厂第1年制糖5万吨,如果平均每年 《数列》 王光宁 的产量比上一年增加10%,那么第1年起,约几年 内可使总产量达到30万吨(保留到个位)? 解:根据题意,每年的产量比上一年增加的百 分率相同,所以从第1年起,每年的产量组成 一个等比数列{an}。 其中:a1=5, q=1+10%=1.1, Sn=30;
5(1-1.1 ) 于是得到: =30; 1-1.1
n

整理得: 1.1 =1.6

n

两边取对数:

n· lg1.1=lg1. lg1.6 0.20 6 ∴n= lg1.1 ≈ 0.041 ≈5(年)

答:约5年内可以使总产量达到30万吨。

例3、在3和2187之间插入若干个正数,使它们 《数列》 王光宁 组成等比数列,且插入的这些正数的和为1089。 求:插入的这些正数各是什么?

解:设等比数列的公比为q,
则,这些数为:3,3q,3q2,· · · ,3qn,2187 ∵这些正数的和为1089。
3q(1-q ) ∴ 1-q
n n+1

=1089

即 ∴

3q-3q 1-q

=1089 =1089

又∵3qn+1=2187

∴ q = 3 ∴插入的正数为9,27,81,243,729。

3q-2187 1-q

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例4、设数列 为 求此数列前n项和。
解:(用错项相消法)

练习:

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1、根据下列各题的条件,求相应的等比数列 {an}的前n项和Sn:
(1)a1=3、q=2、n=6 ; (2)a1=8、q=0.5、an=0.5 。 2、求: (1)等比数列1,2,4,···从第5项到第16项的和。
3 (2)等比数列 , 2 3 , 4 3 , ?从第3项到第7项和。 8

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3、思考题:等比数列{an}中,a1>0, S3=80, 前n项中数值最大的项是54,求:通项an 。

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归纳小结:
一个中心: 等比数列{an}的前项和Sn的推导及运用。

两个基本点:
(1)在a1、q、n、Sn、 an 中知“三”求“二” (2)重要方法:错位相见法。 习题


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