当前位置:首页 >> 数学 >>

2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学试题及答案


2013 学年广州市高二年级学生学业水平数学测试和详细答案
本试卷分选择题和非选择题两部分, 共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高, 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1.函数 f ? x ? ?

x ? 1 的定义域为( A)
B. ? ??, ?1? C. ?1, ?? ? D. 8 D. ? ??,1?

A. ? ?1, ?? ?

2.集合{a,b,c}的子集个数是( D) A. 5 B. 6 C. 7

3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,则 a3 的值为( C ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解:∵ a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,∴令 n=1, a1?1 ? a1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,令 n=2, a2?1 ? a2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 . 4.经过点(3,0)且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程为( D ) A. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0

5. 函数 y ? sin 2 x 的一个单调区间是( A ) A. ? ?

? ? ?? , ? 4 4? ?

B. ? ?

? ? ?? , ? 2 2? ?

C. ?

? ? 3? ? , ?4 4 ? ?

D. ?

? ? 3? ? , ?2 2 ? ?

6.做一个体积为 32m3,高为 2m 的无盖长方体的纸盒,则用纸面积最小为 ( B ) A. 64m2 B. 48m2 C. 32m2 D. 16m2

? x ? y ? 2 ? 0, ? 7. 已 知 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 目 标 函 数 ? y ? 1 ? 0. ?
z ? y ? 2 x 的最小值为( A
A . ?5 D. ? 2 8.如图 1 所示,程序框图(算法流程图)输出的结果是 ( C ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 9.关于 x 的不等式 2 x ? ax ? a ? 0 的解集中的一个元素为 1,则实
2 2

开始

) B . ?4 C . ?3

x=1,y=1

x≤3? 否 输出y



x=x+1,y=2y

1

结束 图1

数 a 的取值范围是( B ) A.

? ??, ?1? ? ? 2, ???
? ??, ?1? ? ? ?
1 ? , ?? ? ?2 ?
2

B.(-1,2)

C.

D. (-1,
2

1 ) 2

2 解 : 关 于 x 的 不 等 式 2 x ? ax ? a ? 0 的 解 集 中 的 一 个 元 素 为 1 , 所 以 f ?1? ? 2 ? a ? a ? 0,

a 2 ? a ? 2 ? 0 ,-1<a<2.
10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (0,0,0) , (1,1,0) , (1,0,1) , (0,0,a) (a<0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 xOz 平面为投影面,得到正视图的面积为 2,则该四面体的体积 是( B )

1 1 3 B. C. 1 D. 3 2 2 10.解:这个四面体是图中的 O-MNP,又以 xOz 平面为投影面得到
A. 正视图是如图阴影的四边形 ONQP,它的面积为 2,所以
P(1,0,1)

z D1
C1

B1

1 1 ? 1? 1 ? ? 1? ? ? a ? ? 2, 解得 a ? ?3 。 2 2
四面体的体积是(M-OPN)(△OPN 是底面,MQ 是高) = ? S ?ODA1 ?1 ?
x
Q

o(0,0,0)

y

M(1,1,0)

1 3

1 1 1 1 ? ? OD ?1?1 = ? ? 3 ? 1? 1 3 2 3 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.在△ABC 中,∠ABC=450,AC=2,BC=1,则 sin∠BAC 的值 为

2 . 4
4 3 3

N(0,0,a)

C B

甲 A 6 6 8 8 3 8 9 1 0 1 2 3 4 5 图2

乙 2 5 1 4 0 5 4 6 9

12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶 图表示 (图 2) , 则该赛季发挥更稳定的运动员是 乙 (填 . “甲” 或“乙” ) 13.已知向量 AB ? (1, 2), AC ? (3, 4), 则 BC ?

1

6

7

9

??? ?

??? ?

??? ?

(2,2)

.

14.已知 [x]表示不超过实数 x 的最大整数, g(x)=[x] , x0 是函数

1 的零点,则 g( x0 )的值等于 1 . x 1 1 1 14 解:函数 f ? x ? ? log 2 x ? 的零点 x0 是方程 log 2 x ? ? 0, 即 log 2 x ? 的解,即函数 x x x 1 y ? log 2 x, 与y ? x 1 y ? log 2 x, 与y ? 图 像 , 可 见 交 点 的 横 坐 标 。 画 出 函 数 x f ? x ? ? log 2 x ?
1< x0 <2,1< x0 <2,又[x]表示不超过
y

y=

1 x
2

实数 x 的最大整数,g( x0 )=[ x0 ]=1.

1 0

y=log2x
x

1 x0 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.(本小题满分 12 分) 某中学高一年级新生有 1000 名, 从这些新生中随机抽取 100 名学生作为样本测量其身高 (单位: cm) , 得到频率分布表如下: 身高 频率 男 女

?155,160? ?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180?
0.01 0.05 0.10 0.10 0.25 0.10 0.25 0.04 0.09 0.01

(1)试估计高一年级新生中身高在 ?175,180? 上的学生人数; (2)从样本中身高在区间 ?170,180? 上的女生中任选 2 名,求恰好有一名身高在区间 ?175,180? 上的概 率. 解(1)∵样本中身高在 ?175,180? 上的学生人数等于 100(0.25+0.04+0.09+0.01)=39 人, ∴估计高一年级新生中身高在 ?175,180? 上的学生人数是 39 ? (2) 样本中身高在区间 ?170,180? 上的女生有 100 (0.04+0.01)=5 人,分别记为 1,2,3,4,其中身高 在区间 ?175,180? 上的女生有 100×0.01=1 人,记 为 5. 从这 5 人中选 2 人有 10 种不同选法。 其中恰好有一名身高在区间 ?175,180? 上有 4 中,

1000 =390 人, 100

1

2

3

4

2 3 4 5

3 4 5
1 2

4 5
3 4

5

所以恰好有一名身高在区间 ?175,180? 上的概率是 P ? 16. (本小题满分 12 分)

4 2 ? 。 10 5

?? ? 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ? cos x, x ? R . 6? ?
(1)求 f (0) 的值;

5

5

5

5

3

(2)若 ? 是第四象限角,且 f ? ? ?

? ?

?? 1

? ? ,求 tan ? 的值. 3? 3

解(1) f (0) ? sin ? ?

1 1 ? ?? ? ? cos 0 ? ? ? 1 ? , 2 2 ? 6?

(2)∵ f ? ? ?

? ?

??

?? ?? 1 ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 3? 6? 3? 3 , ? ?

3 1 1 3 1 sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 2 2 2 3, 即 2
又 ? 是第四象限角,所以 sin ? ? ? 1 ? cos
2

? ??

2 2 sin ? , tan ? ? ? ?2 2 。 3 cos ?

17. (本小题满分 14 分) 如图 3,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1D1,A1A 的中点。 (1)求证: BC1 / / 平面 CEF ; (2)在棱 A1B1 上是否存在点 G,使得 EG ? CE ?若存在,求 AG 的 1 长度;若不存在,说明理由。 证明: ( 1 )连接 AD1 ,∵ AB / / C1D1, ∴ ABC1D1 是平行四边形,所以
F D C E A1 B1 D1 C1

BC1 / / AD1 ,又 E,F 分别是 A1D1,A1A 的中点,所以 EF / / AD1 ,
所以 BC1 / / EF ,又 BC1 在平面 CEF 外, EF 在 平面 CEF 内, 所以
A

B

图3

BC1 / / 平面 CEF 。
( 2 )设在棱 A1B1 上是否存在点 G ,使得
E
D1 C1

EG ? CE ,记 AG =x, 1
以 A1 为坐标原点,A1B1 为 x 轴,A1D1 为 y

A1

G

B1

1 轴建立坐标系,则 C1(1,1) ,E(0, ),G(x,0), 2
若 EG ? C1E ,则 kEG ? kC1E ? ?1 ,

y F
D1 D A B C C1

E
A1

1 1 1? 2 ? 2 ? ?1, x ? 1 ,当 AG = 1 时,有 1 4 1? 0 ?x 4
4

图3

x G B1

EG ? C1E 。又 CC1 ? 平面 A1B1C1D1,EG 在平面 A1B1C1D1 内,所以 CC1 ? EG,又 CC1 与 C1E 相交于点 C1,
CC1 与 C1E 都在平面 CC1E 内, 所以 EG ? 平面 CC1E ,又 CE 在平面 CC1E 内,所以 EG ? CE 。所以当

1 = 时,有 EG ? CE 。 AG 1 4
18. (本小题满分 14 分)
2 ,已知直线 l : y ? kx 与圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 1 相交于 A,B 两点,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切 2

于点 M 3, 3 。 (1)求 k 的值; (2)求 AB 的长; (3)求圆 C2 的方程。 解 :( 1 ) 直 线 l : y ? kx 经 过 点 M 3, 3 , 所 以
y

?

?

?

?

3? 3 k k ,?

3 。 3
2

C2

2 (2)圆 C1 : ? x ?1 ? ? y ? 1 的圆心为 C1(1,0) ,半径为 1,
l

直线 l : y ?

3 x, x ? 3 y ? 0 , 3
1 ,所以 2
N O

M B 2 A H C2 P x

点 C1 ( 1,0 ) 到 直 线 l 的 距 离 等 于 d ?

1 C1

AB ? 2 12 ? d 2 ? 3 。
(3)方法 1:过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,它的方程是 y ? 3 ? ? 3 ? x ? 3? ,即 y ? ? 3x ? 4 3
/

设圆 C2 的圆心 C2 a, ? 3a ? 4 3 ,又 C1(1,0) ,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点

?

?

M 3, 3 。所以 C1C2 ? 1 ? MC2 ,


?

?

? a ? 1?

2

? ? 3a ? 4 3

?

?

2

? 1?

? a ? 3?

2

? ? 3a ? 4 3 ? 3

?

?

2

,解得 a1 ? 4 或 a2 ? 0 ,

对应的圆心(4,0) ,半径为 2;圆心(0, 4 3 ) ,半径为 6;
2 2 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 或 x ? y ? 4 3 2 2 2

?

?

2

? 36 。

2 方法 2:设圆 C2 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ?

5

? 2 2 ? ? a ? 1? ? b ? r ? 1..............(1) ? C1C2 ? r ? 1 ? 2 ? 2 ? 则 ? MC2 ? r ,即 ? ? a ? 3? ? b ? 3 ? r........(2) , ? ?l ? MC 2 ? 3 b? 3 ? ? 3 ? a ? 3 ? ?1......................(3) ?

?

?

由(3)解得 b ? ? 3a ? 4 3 代入(2)得到 r ? 再把 b 和 r 代入(1)

? a ? 3?
? 1?

2

? ? 3a ? 4 3 ? 3
2

?

?

2

? a ? 1?

2

? ? 3a ? 4 3

?

?

2

? a ? 3?

? ? 3a ? 4 3 ? 3

?

?

2



解得 a1 ? 4 或 a2 ? 0 ,对应的圆心(4,0) ,半径为 2;圆心(0, 4 3 ) ,半径为 6;
2 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 或 x 2 ? y ? 4 3 2

?

?

2

? 36 。
/ /

方法 3:当圆 C2 在直线 l 的下方时,过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,过 C1 作直线 l 的平行线与直线 l 相 交于点 P,设圆 C2 的半径为 r。∵C1(1,0) ,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点 M 3, 3 ,∴

?

?

OM ? 2 3 ,
C1P ? MN ? OM ?
1 AB 3 3 3 , C2 P ? C2 M ? PM ? C2 M ? C1 N ? r ? , ?2 3? ? 2 2 2 2
2 2 ?3 3? ? 1? ?? r ? ? ,解得 r=2. ? 2 ? ? ?? 2? ? ? ? 2

C1C2 ? 1 ? r ,在直角三角形 C1 C2 P 中, ?1 ? r ?

在直角三角形 OM C2 中, OC2 ?

?2 3?

2

? 22 ? 4 ,∴cos∠MO C2 ?

3 ,∴∠MO C2 =300,又直线 l 的 2

倾斜角为 300,所以 C2 在 x 轴正半轴上,得 C2 (4,0) ,
2 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 。 2

同理,当圆 C2 在直线 l 的上方时,过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,过 C1 作直线 l 的平行线与直线 l 相 交于点 P,设圆 C2 的半径为 r。∵C1(1,0) ,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点 M 3, 3 ,∴

/

/

?

?

OM ? 2 3 ,
C1P ? MN ? OM ?
1 AB 3 3 3 ?2 3? ? , C2 P ? C2 M ? PM ? C2 M ? C1 N ? r ? , 2 2 2 2
2 2 ?3 3? ? 1? ?? r ? ? ,解得 r=6. ? 2 ? ? ?? 2? ? ? ? 2

C1C2 ? 1 ? r ,在直角三角形 C1 C2 P 中, ?1 ? r ?

6

在直角三角形 OM C2 中, OC2 ?

?2 3?

2

? 6 2 ? 4 3 ,∴cos∠MO C2 ?

1 ,∴∠MO C2 =600,又直线 l 2

的倾斜角为 300,所以 C2 在 y 轴正半轴上,得 C2 (0, 4 3 ) , 所以圆 C2 的方程为 x 2 ? y ? 4 3
2

?

?

2

? 36 。

2 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 或 x 2 ? y ? 4 3

?

?

2

? 36 。

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 是等比数列,对任意 n ? N ,Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ?1? an ,已知 T1 ? 1 ,T2 ? 7 。
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求使得 Tn?1 ? 2 ?Tn ? 60? 成立的最大正整数 n 的值。 (2) Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ?1? an ? 1? 3? 2 ? 5? 2 ? ... ? ? 2n ?1? ? 2
2 n?1

。 。 。 。 。 。①

。 。 。 。 。② 2Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? ? 2n ? 3? ? 2n?1 ? ? 2n ?1? ? 2n 。 ①-②: ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 2
2 3 n ?1

? ? 2n ? 1? ? 2n ? 1 ?

4 ? 2 ? 2 ? 2n?1 ? ? 2n ? 1? ? 2n 1? 2

【这是错位相减法】 ? ?3 ? 2n? ? 2n ? 3 ,所以 Tn ? ? 2n ? 3? ? 2n ? 3 。 【求和 Tn 的方法 2(裂项相消法 + 待定系数法 ) 】令 ..... . .....

? 2n ?1? ? 2n?1 = ? a ? n ?1? ? b? ? 2n ? ? an ? b? ? 2n?1 ? 2 ? a ? n ?1? ? b? ? 2n?1 ? ? an ? b? ? 2n?1
? ? 2an ? 2a ? 2b ? an ? b? ? 2n?1 ? ? an ? 2a ? b? ? 2n?1 ,比较系数得到 a=2,2a+b=-1,解得 a=2,b=-5.
所以 ? 2n ?1? ? 2
n?1

? ? 2n ? 3? ? 2n ? ? 2n ? 5? ? 2n?1 ? ? ? 2n ? 5? ? 2n?1 ? ? 2n ? 3? ? 2n ,
2 n?1

所以 Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ?1? an ? 1? 3? 2 ? 5? 2 ? ... ? ? 2n ?1? ? 2

1 1 2 2 3 3 4 n ?1 n ?? ?3 ? 1? 2 ? ??? ?1? 2 ? 1? 2 ? ??? ? ?1? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? ?3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? ... ? ? ?? ? 2n ? 5 ? ? 2 ? ? 2n ? 3 ? ? 2 ? ?

? 3 ? ? 2n ? 3? ? 2n 。
又 Tn?1 ? 2 ?Tn ? 60? ,即 ? 2n ? 1? ? 2 又2
4? 2
n ?1 n n?2 ?3? 2? ?? 2n ? 3? ? 2 ? 3 ? 60 ? ? , 2 ? 123 ,

? 64 ? 123, 25?2 ? 128 ? 123 ,

所以,使得 Tn?1 ? 2 ?Tn ? 60? 成立的最大正整数 n 的值是 4.
7

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x2 . (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ? 1? 上的最大值。 解: (1)函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,在 f(-x)=-f(x)中,令 x=0,解得 f(0)=0; 又当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x2 ,
2 2 所以当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? ? x ? x ? x ? x .

?

?

? x ? x2 , x ? 0 ? x?0 函数 f ? x ? 的解析式是 f ? x ? ? ? 0, ? x ? x2 , x ? 0 ?
即 f ? x? ? ?

y

.

? x ? x2 , x ? 0
2 ?x ? x , x ? 0

0 -1

1 x

? x ? x2 , x ? 0 (2)画出函数 f ? x ? ? ? 的图像, 2 ?x ? x , x ? 0
两个分段函数的对称轴分别是 x ? ?

1 1 , x ? ,又区间 ? a, a ? 1? 长度为 1, 2 2
2
2

所以当 a<-1 时,a+1<0, f ? x ? ? x ? x . 函数 f ? x ? 的最大值为 f(a)= a ? a , 当-1≤a<-

1 1 1 2 2 时,- ≤a+1< ,函数 f ? x ? 的最大值为 f(a+1)= ? a ? 1? ? ? a ? 1? ? ? a ? a , 2 2 2

当-

1 1 1 3 ≤a≤ , ≤a+1≤ ,函数 f ? x ? 的最大值为 2 2 2 2

?1? 1 f ? ?? , ?2? 4

当 a≥

1 3 2 2 时,a+1≥ , f ? x ? ? x ? x . 函数 f ? x ? 的最大值为 f(a)= a ? a , 2 2

?a ? a 2 , 当a ? ?1 ? ??a ? a 2 ,当 ? 1 ? a ? ? 1 ? 2 ? 所以,函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ? 1? 上的最大值 g ? a ? ? ? 1 1 1 ? ,当 ? ? a ? 2 2 ?4 1 ? a ? a 2 , 当a ? ? ? 2

8


赞助商链接
相关文章:
2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学
2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学 - 2013 学年广州市高二年级学生学业水平 数学测试试卷分选择题和非选择题两部分, 共 4 页. 满分 150 分. ...
...广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题及答案
2015学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题及答案 - 2015 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学 本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120...
2016学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案
2016学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案 - 数学(必修) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出...
广州市2015-2016学年高二学业水平测试数学试题(含解析)
广州市2015-2016学年高二学业水平测试数学试题(含解析) - 2015-2016 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 2015 年 12 月 24 日一、 选择题:本大题共 10...
广州市高二学业水平测试数学试题+答案
广州市高二学业水平测试数学试题+答案 - 秘密★启用前 上学期广州市高中二年级学生学业水平测试 数学(必修) 本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟...
2017学年广东省广州市高二学业水平测试数学试题 及答案
2017学年广东省广州市高二学业水平测试数学试题 及答案 - 2017 学年广州市高中二年级学生学业水平测 试?数学 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,...
2011学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案
2011学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案 - 秘密★启用前 2011 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学 本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 ...
广东省广州市2014-2015学年高二学业水平测试数学试题
广东省广州市2014-2015学年高二学业水平测试数学试题 - 2014-2015 学年广州市高中二年级学生学业水平测试?数学 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,...
2017-2018学年广东省广州市高二学业水平测试数学试题 及答案
2017-2018学年广东省广州市高二学业水平测试数学试题 及答案_数学_高中教育_教育专区。2017-2018 学年广州市高中二年级学生学业 水平测试?数学 一、选择题:本大题...
2016学年广州市高中二年级数学学业水平测试(含答案解析)
2016学年广州市高中二年级数学学业水平测试(含答案解析) - 秘密★启用前 2016 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数 学(必修) 本试卷共 4 页. 满分 150...
更多相关标签: