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北师大版高中数学选修1-1学案全集


重庆市江津几江中学导学案

高中数学必修 2

第一章 常用逻辑语
1.1 命题
命题及其关系
学习目标:理解命题的概念和命题的构成,能判断命题的真假;了解四种命题的的含义, 能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题;会分析四种命题之间的相互关 系; 重点难点:命题的概念、命题的构成;分清命题的条件、结论和判断命题的真假。四种命 题的概念及相互关系. 自主学习 1.复习回顾:初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题? 2.判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集 合的子集; (2)若整数 a 是素数,则 a 是奇数; (3)2 小于或等于 2; (4)对数函数是增函数吗? (5) 2x ? 15 ; (6)平面内不相交的两条直线一定平行; (7)明天下雨. 合作探究 1.根据下列命题完成填空 (1)如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; (2)如果两个三角形的面积相等,那么它 们全等; (3)如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等; (4)如果两个三角形的面积 不相等,那么它们不全等. 命题(2) 、 (3) 、 (4)与命题(1)有何关系? 1.上面的四个命题都是 可记为 2.在上面的例子中, 命题(2)的 我们称这两个命题为互逆命题. 命题(3)的 两个命题称为互否命题. 命题(4)的 这两个命题称为互为逆否命题.
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形式的命题, ,其中 p 是命题的条件, q 是命题的结论.

分别是命题(1)的 分别是命题(1)的 分别是命题(1)的



,这



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3.逆命题、否命题和逆否命题的含义: 一般地,设“若 p 则 q ”为原命题,那么 就叫做原命题的逆命题; 否命题; 四种命题之间的关系: 就叫做原命题的逆否命题. 就叫做原命题的

原命题 若p, 则q

逆命题 若q, 则p

否命题 若非p, 则非q
3.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题. (1)若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ; (2)若 a ? b ,则 a ? b .

逆否命题 若非q, 则非p

4.把下列命题改写成“若 p 则 q ”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同 时指出它们的真假. (1)对顶角相等; (2)四条边相等的四边形是正方形. 5.原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系? (1)原命题与逆否命题 题 练习反馈 1.给出下列命题: ①若 ac ? bc , 则a ? b; ②若 a ? b , 则
2

; (2)逆命题与否命 .

1 1 ③对于实数 x , 若x?2 ? 0, 则x?2?0; ? ; a b

④若 p ? 0 ,则 p ? p ;⑤正方形不是菱形. 其中真命题是 ;假命题是 . (填上所有符合题意的序号)

2.将下列命题改写成“若 p 则 q ”的形式: (1)垂直于同一直线的两条直线平行; (2)斜率相等的两条直线平行; (3)钝角的余弦 值是负数. 3.写出下列各命题的逆命题、否命题 和逆否命题并判断真假: (1)若两个事件是对立事件,则它们是互斥事件; (2)当 c ? 0 时,若 a ? b ,则 ac ? bc .
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1.2

充分条件与必要条件

1.2.1 充分条件&1.2.2 必要条件
学习目标:正确理解充分条件的概念;会判断命题的充分条件;通过对充分条件的概念的 理解和运用,培养自己分析、判断和归纳的逻辑思维能力; 重点:充分条件的概念 难点:判断命题的充分条件 自主学习 练习与思考 写出下列两个命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题? (1)若 x > a
2 2

+ b ,则 x > 2ab,

(2)若 ab = 0,则 a = 0. 置疑:对于命题“若 p,则 q”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?

合作探究 命题“若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 经过推理能推出 q,也就是说,如果 p 成立, 那么 q 一定成立.换句话说,只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立,这时我们称条 件 p 是 q 成立的充分条件. 一般地, “若 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说, 由 p 可推出 q,记作:p?q. 充分条件的定义:___________________________________________________________. 必要条件的定义: ____________________________________________________________. 上面的命题(1)为真命题,即 x > a
2

+ b ? x > 2ab,所以“x > a
2 2

2

+ b ”是“x

2

> 2ab”的充分条件, “x > 2ab”是“x > a

+ b”

2



的必要条件

例题分析: 例1:下列“若 p,则 q”形式的命题中,那些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若 x =1,则 x - 4x + 3 = 0; (2)若 f(x)= x,则 f(x)为增函数; (3)若 x 为无理数,则 x 为无理数.
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2 2

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分析:要判断 p 是否是 q 的充分条件,就要看 p 能否推出 q. 例2:下列“若 p,则 q”形式的命题中,那些命题中的 q 是 p 的必要条件? (1) 若 x = y,则 x = y ; (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3) 若 a >b,则 ac>bc. 分析:要判断 q 是否是 p 的必要条件,就要看 p 能否推出 q.
2 2

练习反馈

1、从“充要条件( A ) 、充分不必要条件( B ) 、必要不充分条件( C ) 、既不 充分也不必要条件( D ) ” 中选出适当的一种填空: ① “ a ? 0 ”是“函数 y ? x 2 ? ax ( x ? R) 为偶函数”的_____ ② “ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ” 的_____ ③ “ M ? N ”是“ log 2 M ? log 2 N ”的_____ ④ “ x ? M ? N ”是“ x ? M ? N ”的_____ 2、已知 p 、 q 是 r 的必要条件, s 是 r 的充分条件, q 是 s 的充分条件,那么 ⑴ s 是 q 的什么条件? ⑵ r 是 q 的什么条件? ⑶ p 是 q 的什么条件? 3、已知 “ a ? b ? c ? d ”和“ a ? b ? e ? f ” , 则“ c ? d ”是“ e ? f ”的___________________条件 “ c ? d ”是“ e ? f ”的___________________条件 4、求圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 经过原点的充要条件。
课堂总结 充分、必要的定义. 在“若 p,则 q”中,若 p?q,则 p 为 q 的充分条件,q 为 p 的必要条件.

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1.2.3
既不充分也不必要条件的定义.

充要条件

学习目标: 1、正确理解充要条件的定义, 了解充分而不必要条件 , 必要而不充分条件 ,

2、正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不 必要条件. 3、通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,. 重点:1、正确区分充要条件; 2、正确运用“条件”的定义解题 难点:正确区分充要条件. 自主学习 1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“ ? ”的含义 2.指出下列各组命题中, “p ? q”及“q ? p”是否成立 (1)p:内错角相等 (2)p:三角形三边相等 q:两直线平行 q:三角形三个角相等

3.充要条件定义:一般地,如果既有 p ? q,又有 q ? p,就记作:p ? q。 这时,p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件,我们说 p 是 q 的_______条件,简称 充要条件

合作探究 例 1:指出下列各命题中,p 是 q 的什么条件: 1) p:x>1 2) p:x>5 3) p:(x-2)(x-3)=0 4) p:x=3 5) p:x=±1 q:x>2 q:x>-1 q:x-2=0 q: x =9 q:x -1=0
2
2

例 2:1)请举例说明:p 是 q 的充分而不必要条件;p 是 q 的必要而不充分条件; p 是 q 的既不充分也不必要条件;p 是 q 的充要条件 2)从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件”“既不充分也
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不必要条件”中选出适当一种填空: ①“a ? N”是“a ? Z”的______________________ ②“a≠0”是“ab≠0”的_____________________ ③“x 2 =3x+4”是“x= 3 x ? 4 ”的_______________________ ④“四边相等”是“四边形是正方形”的________________________ 3)判断下列命题的真假: ①“a>b”是“a 2 >b 2 ”的充分条件;②“a>b”是“a 2 >b 2 ” 的必要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件;④“a>b”是“ac 2 >bc 2 ”的充分条 件

例 3、若甲是乙的充分而不必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要而不充分条件,问 丁是甲的什么条件?

例 4、 求证: 关于 X 的方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是 ac<0

2

例 5、已知 P: 1 ?

x ?1 2 2 ≤ 2 ,q:x -2x+1-m ≤0 3

(m>0)且 ? p 是 ? q 的必要而

不充分条件,求实数 m 的取值范围。

练习反馈 1、下列各组命题中,p 是 q 的什么条件: 1)p: x 是 6 的倍数。 2)p: x 是 2 的倍数。 q:x 是 2 的倍数 q:x 是 6 的倍数

3)p: x 是 2 的倍数,也是 3 的倍数。q:x 是 6 的倍数 4)p: x 是 4 的倍数 q:x 是 6 的倍数
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2、

已知 p:x1,x2 是方程 x2+5x-6=0 的两根,q:x1+x2=-5,则 p 是 q 的 [ A.充分但不必要条件 C.充要条件 B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 [ ] ]

3、 p 是 q 的充要条件的是 A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于 x 的方程 ax=1 有惟一解.

4、 若 A 是 B 成立的充分条件,D 是 C 成立的必要条件,C 是 B 成立的充要条件, 则 D 是 A 成立的 A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.既不充分也不必要条件 [ ] [ ]

5、设命题甲为:0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6、 已知 p、q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件,那么 s,r, p 分别是 q 的什么条件? 7、 关于 x 的不等式

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 |≤ 与x 2 - 3(a+1)x+ 2(3a+1) ≤ 0的解集依次为A 2 2 与B,问“A ? B”是“1≤a≤ 3或a=-1”的充要条件吗? |x-

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1.3

全称量词与存在量词

1.3.1 全称量词与存在量词 学习目标: 1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见 的全称量词和存在量词. 2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量 词的命题及判断其命题的真假性. 重点:理解全称量词与存在量词的意义; 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 自主学习 问题 1、下列语句是命题吗?假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数;(2) x>3;(3) 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课 本都是采用人民教育出版社 A 版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对 所有的 x∈R, x>3; (8)对任意一个 x∈Z,2x+1是整数。

问题 2、命题(5)-(8)跟命题(3) 、 (4)有些不同,它们用到 “所有的” “任意一个” 这样的词语, 这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部, 这样的词叫做______量词, 含有全称量词的命题,叫做_______命题。命题(5)-(8)都是全称命题。

问题 3、在判断问题 1 中的命题(5)-(8)的真假的时候,可以得出这样一些命题: (5)存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社 A 版的教科书; (6)存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人. (7) 存在一个(个别、某些)实数 x(如 x=2) ,使 x≤3. (至少有一个 x∈R, x ≤3) (8)不存在某个 x∈Z使 2x+1不是整数. 这些命题用到了“存在一个” “至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的 一部分的词叫做______量词。并用符号“ ? ”表示。含有存在量词的命题叫做______命题 (或存在命题)命题(5)-(8)都是特称命题(存在命题) . 特称命题: “存在 M 中一个 x,使 p(x)成立”可以用符号简记为: ?x ? M , p( x) 。 读做“存在一个 x 属于 M,使 p(x)成立” . 全称量词相当于日常语言中“凡” , “所有” , “一切” , “任意一个”等;存在量词相当
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, , , , , ,

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于日常语言中“存在一个” , “有一个” , “有些” , “至少有一个” , “ 至多有一个”等. 合作探究 (1)下列全称命题中,真命题是: A. 所有的素数是奇数; C. ?x ? R, x ? B. ?x ? R,( x ? 1) ? 0 ;
2

1 ?2 x

D. ?x ? (0,

?
2

),sin x ?

1 ?2 sin x

(2)下列特称命题中,假命题是: A.

?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

B.至少有一个 x ? Z , x 能被 2 和 3 整除 D. ?x ?{x | x是无理数},x 是有理数.
2

C. 存在两个相交平面垂直于同一直线

(3)已知:对 ?x ? R , a ? x ?

?

1 恒成立,则 a 的取值范围是 x



(4)已知:对 ?x ? R , x ? ax ? 1 ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是
2

?



(5)求函数 f ( x) ? ? cos x ? sin x ? 3 的值域;
2

(6)已知:对 ?x ? R, 方程 cos x ? sin x ? 3 ? a ? 0 有解,求 a 的取值范围.
2

练习反馈 1、判断下列全称命题的真假: ①末位是 o 的整数,可以被 5 整除; ②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等; ③负数的平方是正数; ④梯形的对角线相等。

2、判断下列特称命题的真假: ①有些实数是无限不循环小数; ③有些菱形是正方形。 ②有些三角形不是等腰三角形;

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3、判断下列全称命题的真假,其中真命题为( A.所有奇数都是质数 C.对每个无理数 x,则 x 也是无理数
2 2 2


2

B. ?x ? R, x ? 1 ? 1 D.每个函数都有反函数

4、将“x +y ≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( A. ?x, y ? R ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2


2 2

B. ?x, y ? R ,都有 x ? y ? 2 xy D. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2

C. ?x ? 0, y ? 0 ,都有 x ? y ? 2 xy
2 2

5、判断下列命题的真假,其中为真命题的是 A. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R,sin x ? tan x 6、下列命题中的假命题是(

D. ?x ? R,sin x ? tan x )

A.存在实数α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对任意α 和β ,使 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 和β ,使 cos(α +β ) ≠cosα cosβ -sinα sinβ

7、对于下列语句(1)?x ? Z , x ? 3(2)?x ? R, x ? 2
2 2

(3)?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0(4)
2

?x ? R, x ? x ? 5 ? 0 其中正确的命题序号是
2

。 (全部填上)

8、命题

(a ? b) b ?1

2

?

a?b b ?1

是全称命题吗?如果是全称命题,请给予证明,如果不是全称命

题,请补充必要的条件,使之成为全称命题。

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1.3.2

含有一个量词的命题的否定

学习目标:1、通过探究数学中一些实例,使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们 的否定在形式上的变化规律. 2、通过例题和习题的教学,使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否 定在形式上的变化规律,正确地对含有一个量词的命题进行否定. 重点:通过探究,了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律,会正确地 对含有一个量词的命题进行否定. 难点:正确地对含有一个量词的命题进行否定. 自主学习 1、判断下列命题是全称命题还是特称命题,你能写出下列命题的否定吗? (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)?x∈R, x -2x+1≥0。
2

(4)有些实数的绝对值是正数; (5)某些平行四边形是菱形; (6)? x∈R, x +1<0。
2

2、从命题的形式上看,前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否 定都变成了全称命题。 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。 合作探究 例 1、判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出它们的否定: (1) 、p:所有能被 3 整除的整数都是奇数; (2) 、p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3) 、p:对?x∈Z,x 个位数字不等于 3;
2

(4) 、p:? x∈R, x +2x+2≤0;
2

(5) 、p:有的三角形是等边三角形; (6) 、p:有一个素数含三个正因数。 例 2、指出下列命题的形式,写出下列命题的否定。 (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)?x?R,x -2x+1≥0
2

例 3、写出命题的否定(1)p:? x∈R,x +2x+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形;
2

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(3)p:有些函数没有反函数; (4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分; 练习反馈 1、写出下列全称命题的否定: (1)p:所有人都晨练; (2)p:?x?R,x +x+1>0;
2

(3)p:平行四边形的对边相等; (4)p:? x∈R,x -x+1=0;
2

2、写出下列命题的否定。 (1) 所有自然数的平方是正数。 (2) 任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根。 (3) 对任意实数 x,存在实数 y,使 x+y>0. (4) 有些质数是奇数。 3、写出下列命题的否定。 (1) 若 x >4 则 x>2.。 (2) 若 m≥0,则 x +x-m=0 有实数 根。 (3) 可以被 5 整除的整数,末位是 0。 (4) 被 8 整除的数能被 4 整除。 (5) 若一 个四边形是正方形,则它的四条边相等。 4、 写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。 (1)p:若 x>y,则 5x>5y; (2) p: 若 x +x﹤2,则 x -x﹤2; (3) p: 正方形的四条边相等; (4) p: 已知 a,b 为实数, 若 x +ax+b≤0 有非空实解集,则 a -4b≥0。 5、 命题 p: 存在实数 m, 使方程 x +mx+1=0 有实数根, 则 “非 p” 形式的命题是 ( A.存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 无实根; B.不存在实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; C.对任意的实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; D.至多有一个实数 m,使得方程 x +mx+1=0 有实根; 6、有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数,整数是有理数,则整数是分数” 结论显然是错误的,是因为( A.大前提错误
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



) C.推理形式错误 D.非以上错误

B.小前提错误

7、命题“?x?R,x -x+3>0”的否定是 8、 “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 9、写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:?m∈R,方程 x +x-m=0 必有实根; (2)q:??R,使得 x +x+1≤0;
2 2

10、写出下列命题的“非 P”命题,并判断其真假: (1)若 m>1,则方程 x -2x+m=0 有实数根. (2)平方和为 0 的两个实数都为 0. (3) 若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角. (4) 若 abc=0, 则 a,b,c 中至少有一为 0. (5)若(x-1)(x-2)=0 ,则 x≠1,x≠2.
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1.4

逻辑联结词“且” “或” “非”

学习目标:1、掌握逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的含义; 2、正确应用逻辑联结词“或、且、非”解决问题; 重点、难点:通过数学实例,了解逻辑联结词“或、且、非”的含义,使学生能正确地表 述相关数学内容。 自主学习: 1、问题 1:下列各组命题中,三个命题间有什么关系? (1)①12 能被 3 整除;②12 能被 4 整除;③12 能被 3 整除且能被 4 整除。 (2)①27 是 7 的倍数;②27 是 9 的倍数;③27 是 7 的倍数或是 9 的倍数。 2、下列各组命题中的两个命题间有什么关系? (1) ①35 能被 5 整除; (2) ①方程 x +x+1=0 有实数根。
2

②35 不能被 5 整除; ②方程 x +x+1=0 无实数根。
2

2、归纳定义 (1)一般地,用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记 作_____读作________。 (2)一般地,用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记 作_______,读作_________。 ( 3 )一般地,对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作 ________ ;读作 __________

3、命题“p 且 q” 、 “p 或 q”与“非 P”的真假的 规定

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

P且q

p 真 假

非P

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p 真
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q 真

P或q

真 假2 高中数学必修 假 假 真 假 q 两个命题中有 两个命题中有

当 p,q 都是真命题时,p 且 q 是______命题;当 p, 一个命题是假命题时,p 且 q 是_____命题;当 p,q

一个是真命题时,p 或 q 是______命题;当 p,q 两个命题都是假命题时,p 或 q 是_____ 命题。 合作探究 例 1:将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式,并 判断它们的真假。 (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等。 (2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分; (3)p:35 是 15 的倍数,q:35 是 7 的倍数.

例 2:选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题,并判断它们的真假。 (1)1 既是奇数,又是素数; (2)2 是素数且 3 是素数; (3)2≤2.

例 3、判断下列命题的真假; (1)6 是自然数且是偶数; (2)?是 A 的子集且是 A 的真子; (3)集合 A 是 A∩B 的子集或是 A∪B 的子集; (4)周长相等的两个三角形全等或面积相 等的两个三角形全等.

例 4:写出下列命题的否定,判断下列命题的真假 (1)p:y = sinx 是周期函数; (2)p:3<2; (3)p:空集是集合 A 的子集。

练习反馈 1、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题: (1)24 既是 8 的倍数,也是 6 的倍数; (2)李强是篮球运动员或跳高运动员; (3)平行线不相交
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2、分别指出下列复合命题的形式(1)8≥7; (2)2 是偶数且 2 是质数; (3) ? 不是整数;

3、写出下列命题的非命题: (1)p:对任意实数 x,均有 x -2x+1≥0; (2)q:存在一个实 数 x,使得 x -9=0(3) “AB∥CD”且“AB=CD” ; (4 ) “△ABC 是直角三角形或等腰三角形” .
2

2

4、判断下列命题的真假: (1)4≥3 (2)4≥4 (3)4≥5 (4)对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0

5、分别指出由下列各组命题构成的 p 或 q、p 且 q、非 p 形式的复合命题的真假 (1)p:2+2=5; (2)p:9 是质数; (3)p:1∈{1,2}; (4)p: ? ? {0}; q:3>2 q:8 是 12 的约数; q:{1} ? {1,2} q: ? ? {0}

6. 在一次模拟打飞机的游戏中, 小李接连射击了两次, 设命题 p1是 “第一次射击中飞机” , 命题 p2是“第二次射击中飞机”试用 p1、p2以及逻辑联结词或、且、非表示下列命题: 命题 S:两次都击中飞机;命题 r:两次都没击中飞机;?命题 t:恰有一次击中了飞机; 命题 u:至少有一次击中了飞机.?

7、分别写出由下列各种命题构成的“p 或 q” “p 且 q” “非 p”形式的复合命题,并判断它 们的真假: (1)p:末位数字是 0 的自然数能被 5 整除 (2)p:四边都相等的四边形是正方形 2 (3)p:0?? q:{x|x ?3x?5<0} ? R

q:5?{x|x2+3x?10=0}

q:四个角都相等的四边形是正方形 q:不等式 x2+2x?8<0 的解集是:{x|

?

(4)p:不等式 x +2x?8<0 的解集是:{x|?4<x<2}
2

x<?4 或 x> 2}
第 15 页 15

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第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标:1、理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题; 2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法. 重点、难点:理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无 理方程的常用的方法 自主学习 1.引导学生一起探究P41页上的问题,准备无弹性细绳子一条(约60cm,一端结个套,另一 端是活动的),图钉两个).当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启 发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?

2.由上述探究过程容易得到椭圆的定义: .其中这两个定点叫做椭圆的 的 .即当动点设为 时,椭圆即为点集 ,两定点间的距离叫做椭圆 .

合作探究 1.椭圆标准方程的推导过程(见教材): 思考:(1)已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形 的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系.

第 16 页

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(2)无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. (3)设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a,b,c 的关系有 明显的几何意义.

(4)类比:写出焦点在

轴上,中心在原点的椭圆的标准方程

y2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a2 b2

2.如何用几何图形解释 b =a -c

2

2

2



在椭圆中分别表示哪些线段的长?

3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是 方程.



,并且经过点

,求它的标准

4.如图,设



的坐标分别为



.直线



相交于点

,且它

们的斜率之积为

,求点

的轨迹方程.

第 17 页

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图 2-1-1

练习反馈 1.在圆 上运动时,线段 上任取一点 的中点 ,过点 作 轴的垂线段 , 为垂足.当点 在圆

的轨迹是什么?

2.已知B,C是两个定点,|BC|=10,且?ABC的周长等于22,求顶点A满足的一个轨迹方程。

3.已知椭圆两焦点坐标分别是(0,-2) , (0,2) ,并且经过点( ? 方程。

3 5 , ) ,求椭圆的标准 2 2

第 18 页

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2.1.2 椭圆的简单性质
学习目标:1.了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称

轴,对称中心、离心率、顶点的概念; 2.掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;利用信息技术初 步了解椭圆的第二定义. 重点、难点:理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念; 掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题. 自主学习
1. 把平面内与两个定点



的距离之和等于___(大于

)的点的轨迹叫做

椭圆.其中这两个定点叫做_____,两定点间的距离叫做______.即当动 点设为 时,椭圆即为点集 .

2. 写出焦点在 x 轴上, 中心在原点的椭圆的标准方程: _____________。

3. 写出焦点在 y 轴上, 中心在原点的椭圆的标准方程: _____________。 合作探究 1.椭圆的简单几何性质

y2 x2 ? 1 ? ? 0 ,进一步得: ?a ? x ? a ,同 ①范围:由椭圆的标准方程可得, 2 b a2
理可得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究 椭圆的标准方程发生变化没有, 从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴, 原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交 点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对 称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;
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④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率( 0 ? e ? 1 ) 。 a

?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ? ?椭圆越接近于圆
2 2

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ? ?椭圆图形越扁

2.求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

3.已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0 ? 的离心率为 e ?
2 2

10 ,求 m 的值. 5

练习反馈

1.说出椭圆

的焦点和顶点坐标;

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程,并画出草图: (1)a=6, e=

1 ; 3

(2)C=3, e=

3 ,焦点在 y 轴上; 5

(3)长轴长是短轴长得 3 倍,椭圆经过点 P(3,0) ;

(4)椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别是 10 和 4.

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3.如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定轨道开始巡 天飞行, 其轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆, 近地点 A 距 地面 200km ,远地点 B 距地面 350km ,已知地球的半径

R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆的轨迹方程.

图 2-1-2

2.2.1 抛物线及其标准方程
学习目标:1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.

2.进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等
方面的能力 重点、难点:1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程 2.掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能 力。 自主学习

复习椭圆知识:

(1)把平面内与两个定点



的距离之和等于___(大于

)的点的轨迹

叫做椭圆.其中这两个定点叫做_____,两定点间的距离叫做______.即 当动点设为 时,椭圆即为点集 .

(2) 写出焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程:___________

_。

(3)写出焦点在 y 轴上, 中心在原点的椭圆的标准方程: ____________。 合作探究
由教材提供的方法画出抛物线的图像,归纳出抛物线的定义和推导标准方程:

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(1)定义: 抛物线的 ,定直线 l 叫做抛物线的 .

.定点 F 叫做

(2) 抛物线标准方程的推导过程:

a)建系设标:

b)建立等量关系,推导方程:

练习反馈 1.已知抛物线的标准方程是 y =6x,求它的焦点坐标和准线方程;
2

2.已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程;

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3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接 受天线,经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为 4.8m 深度为 0.5m,求抛物线的标 准方程和焦点坐标。

2.2.2 抛物线的简单性质
学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导 这 些性质. 2.从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、 推理等能力 重点、难点:理解并掌握抛物线的几何性质;能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质。 自主学习 1. 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做___定点 F 不在定直 线 l 上).定点 F 叫做抛物线的___,定直线 l 叫做抛物线的___.

2. 抛物线的___在一次项对应的轴上,其数值是一次项系数的__倍,准线方程与焦 点坐标相反;反之可以逆推。

3.已知抛物线的标准方程是 y2=8x,求它的焦点坐标和准线方程

4.已知抛物线的焦点是 F(-2,0),求它的标准方程

合作探究 1.抛物线的几何性质:通过和椭圆几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点? (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合,
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抛物线没有中心. (3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛 物线的离心率为 1.

2.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是 x 轴, 抛物线上的点 M(-3, m)到焦点的距离等于 5, 求抛物线的方程和 m 的值.

3.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、 B 两点, 且 A(x1, y1)、 B(x2,y2)

图 2-2-1 练习反馈 1.点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x + 6 =0 的距离小 2,求 M 得轨迹。

2.求顶点在原点,通过点( 3 ,-6),且以坐标为轴的抛物线的标准方程。

3.某单行隧道横断面由一段抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图,某卡车载一集装箱,车 宽 3m,车与箱总高 4.5m,此车能否安全通过隧道?说明理由。
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图 2-2-2

2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标:1.理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题; 2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 重点、难点:理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义; 会用双曲线的定义解决实际问题. 自主学习 复习旧知:1. 把平面内与两个定点



的距离之和等于___(大于

)的点

的轨迹叫做椭圆(ellipse).其中这两个定点叫做_____,两定点间的距离叫做 ______.即当动点设为 时,椭圆即为点集 .

2.平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做___定点 F 不在定直线 l 上).定点 F 叫做抛物线的___,定直线 l 叫做抛物线的___.

3.抛物线的___在一次项对应的轴上,其数值是一次项系数的__倍,准线方程与焦点 坐标相反;反之可以逆推。 合作探究 1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义.

叫做双曲线.其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即 当动点设为 M 时,双曲线即为点集 P ? 2.双曲线标准方程的推导过程
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思考:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法自 己建立直角坐标系. 类比椭圆:设参量 b 的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、 a, b, c 的关系 有明显的几何意义. 类 比 : 写 出 焦 点 在 y 轴 上 , 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 的 标 准 方 程

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? .推导过程: b2 a 2
3.已知双曲线两个焦点分别为 F1 ? ?5, 0 ? , F2 ? 5, 0 ? ,双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距离差的 绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程.

4. 已知 A , B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速为

340m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

练习反馈 1.求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=3,b=4,焦点在 x 轴上;

(2)焦点为(0,-10) , (0,10) ,双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是 16;

第 26 页

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(3)焦点为(0,-5) , (0,5) ,经过点(2,

3 5 ) 。 2

2.证明:椭圆

2 x2 y2 2 + =1 与双曲线 x -15 y =15 有相同的焦点。 25 9

2.3.2 双曲线的简单性质
学习目标:1.了解平面解析几何研究的主要问题: (1) 根据条件, 求出表示曲线的方程; (2) 通过方程,研究曲线的性质. 2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的 概念; 3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题和探究 了解双曲线的第二定义,准线及焦半径的概念. . 重点、难点:理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、渐近线的 概念; 掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题 自主学习 复习旧知 1.把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于___(小于 F1 F2 )的点的轨迹 叫做双曲线(hyperbola) .其中这两个定点叫做双曲线的___,两定点间的距离叫做双 曲线的___.即当动点设为 M 时,双曲线即为点集 P ? M MF1 ? MF2 ? 2a

?

?

2. 写出焦点在 x 轴上,中心在原点的双曲线的标准方程:_____________ _, 3.写出焦点在 Y 轴上,中心在原点的双曲线的标准方程:______________ _。 合作探究 1.通过图像研究双曲线的简单性质:
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①范围: 由双曲线的标准方程得,

y 2 x2 进一步得:x ? ?a , 或x?a. 这 ? ?1 ? 0 , b2 a 2

说明双曲线在不等式 x ? ?a ,或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究双 曲线的标准方程发生变化没有,从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中 心; ③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做 圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的 对称轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴;

x2 y 2 b ④渐近线:直线 y ? ? x 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线; a a b
⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ?
2 2

c 叫做双曲线的离心率( e ? 1) a

2.求双曲线 9 y ? 16 x ? 144 的实半轴长和虚半轴长、 焦点的坐标、 离心率、 渐近线方程.

3.求与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准方及离心率. 16 9

?

?

练习反馈 1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长,焦距和离心率: (1)9

x

2



y

2

=81;

y2 x2 (2) =1 9 25

2.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 =1 与双曲线 + =1,它们的离心率 e1 , e2 是否满足等式 9 16 9 16

e +e
1

?2

?2 2

=1
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3.如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 l : x ? 求点 M 的轨迹方程. 分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ?

16 5 的距离的比是常数 , 4 5

?x ? 5? ? y
2

2

,到直线

l:x ?

16 16 的距离 d ? x ? ,则容易得点 M 的轨迹方程. 5 5
图 2-3-1

第三章

变化率与导数

3.1 变化的快慢与变化率
3.1.1 平均变化率
学习目标:1、通过大量实例,了解平均变化率的计算,并能掌握求一个函数在某一区间 内的平均变化率。 2、理解平均变化率的几何意义。 重点、难点:平均变化率的几何意义。高 自主学习 ( 1 )令 ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) 或 ?f ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) , ?x ? x2 ? x1 ,函数 f ( x) 在

[ x1 , x2 ] 上的平均变化率可简记作

,式中 ?x, ?f 可正可负。 ,

(2)平均变化率的几何意义:函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率是过点 两点的割线的斜率。高考资源网 合作探究

例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示, 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率。

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?0.1t

例 2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙, t 秒后容器甲中的水的体积 V (t ) ? 5e 位 cm ) ,计算第一个 10s 内 V 的平均变化率。高考
3

(单

例 3 已知函数 f ( x) ? x ,分别计算 f ( x) 在下列区间上的平均变化率:
2

(1) [1 ,3]

(2) [1 ,2]

(3) [1 ,1.1]

(4) [1 ,1.001] 高考资源网

例 4 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? ?2 x , 分别计算在区间 [?3 ,?1] ,[0 ,5] 上 f ( x) 及

g ( x) 的平均变化率。高考资源网

练习反馈 1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用 5 年时间挣到 10 万元,乙用 5 个月时间 挣到 2 万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?

2、国家环保局在规定的排污达标日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续检测结果 如图所示(其中 W1 (t ) ,W2 (t ) 分别表示甲、乙两企业的排污量) ,试比较两个企业的治污 效果。

3、已知 f ( x) ? 3x ? 1 ,求 f ( x) 在区间 [a , b] 上的平均变化率:高考资源 (1) a ? ?1 , b ? 2 (2) a ? ?1 , b ? 1 (3) a ? ?1 , b ? ?0.9

第 30 页

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2

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4、求经过函数 y ? x 图像上两点 A , B 的直线的斜率:高考资源网 (1) x A ? 1 , x B ? 1.001 (3) x A ? 1 , x B ? 0.99 (2) x A ? 1 , x B ? 0.9 (4) x A ? 1 , x B ? 0.999

3.1 导数的概念及其几何意义&3.2 计算导数
3.1.2 瞬时变化率 学习目标:1、认清平均变化率与瞬时变化率的区别和联系。 2、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。高考 3、掌握在物理学中,瞬时变化率的应用:瞬时速度和瞬时加速度。 重点、难点:理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。 自主学习高考资源网 1、 f ( x) 从 x1 到 x 2 的平均变化率是

2、 f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 合作探究 例 1、圆面积 A 和直径 d 的关系由 A ? 时变化率是多少?高考资源网

?
9

d 2 表示,当直径 d ? 10 时,面积关于直径的瞬

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2

例 2、设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设 t 秒时的速度为 v(t ) ? t ? 3 ,求 t ? t 0 秒时轿车的加速度。

例 3、物体作直线运动的方程为 s ? s(t ) ? 3t ? 5t
2

(1) 求物体在 2 秒到 4 秒时的平均速度; (2) 求物体在 2 秒时的瞬时速度; (3) 求物体在 t 0 秒时的瞬时速度。高考资

练习反馈 1、一质点的运动方程为 s ? t ? 10 (位移单位:米,时间单位:秒)试求该质点在 t ? 3
2

秒的瞬时速度。高考资源网

2、自由落体运动的位移 S (m) 与时间 t (s) 的关系为 S ? (1) 求 t ? t 0 秒时的瞬时速度。

1 2 gt ( g 为常数) 2

(2) 分别求 t ? 0 、 1 、2 秒时的瞬时速度。高考资源网

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3、某个物体走过的路程 s(单位:m)是时间 t(单位:s)的函数:s=t 2 —1,通过平均 速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度: (1)x=1 (2)x=—1 (3)x=4

4、通过平均变化率估计函数 y= (1)x=—1 (2)x=3

1 +2 在下列各点的瞬时变化率: x
(3)x=4

3.2

导数的概念及其几何意义&3.3 计算导数
3.2.1 导数的概念

学习目标: :1、理解导数的定义,并能求出一般函数的导数,理解某点处导数的几何意义; 2、理解导数与瞬时速度、瞬时加速度的关系。高考资源网 重点、难点:理解导数的定义,并能求出一般函数的导数高考资源网 自主学习 1、 函数 y ? f ( x) 在区间 (a , b) 上有定义,x0 ? (a , b) , 当 ?x 无限趋近于 0 时, 比值 无限趋近于一个常数 A,则称 f ( x) 在点 x ? x0 处 函 数 f ( x) 点 x ? x0 处 的 作 。高考资源网 ,简称

?y ?x

,并称该常数 A 为 , 记

2、把上式中的 x 0 看成变量 x 时, f ' ( x) 即为 f ( x) 的 3、函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处导数的几何意义就是 4、瞬时速度是运动物体位移 S (t ) 对时间 t 的导数,即为 v(t ) ? 合作探究



例1、 已知 f ( x) ? x ? 2 高(1)求 f ( x) 在 x ? 1处的导数; (2)求 f ( x) 在 x ? a 处的
2

导数。高考
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例2、 曲线 y ? t ? t ? t ? 1的一条切线与已知直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,求切点坐标。
3 2

例3、 求过点 (2 ,0) 且与曲线 y ?

1 相切的直线方程。高 x

考资源 练习反馈 1、 一物体的运动方程是 s ? 1 ? t ? t , 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒, 那么物体在 t ? 3
2

时的瞬时速度为__________。 ( 2、质点运动方程为 S ? 3t ? 1 (位移单位:米,时间单位:秒) ,分别求 t ? 1s , t ? 2s 时 的速度。高考

资源网 3、求下列函数在已知点处的导数: (1) y ? 3x ? 1 在 x ? 3 处的导数;高考资源网 (2) y ? x 在 x ? a 处的导数;
2

(3) y ?

1 在 x ? 2 处的导数。 x
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4、 f ' (1) 与 f (1) 的含义有什么不同? f ' (1) 与 f ' ( x) 的含义有什么不同?

3.2.2

导数的几何意义及应用

学习目标:1、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。 2、会求曲线上一点 P 处的切线方法。 重点:求曲线上一点 P 处的切线方程。 难点:利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率高考资源网 自主学习 (1)导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x
点 的 坐 标 ; ② 求 出 函 数 在 点

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ① 求 出

P

x0 处 的 变 化 率

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,得到曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率; ?x

③利用点斜式求切线方程. (2)导函数: 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么, 当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x) 或 y ? , 即: f ?( x) ? y? ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (3)函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x) 、导数 之间的区别与联系。
第 35 页 35

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1)函数在一点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 限,它是一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是函数 f(x)的导函数 3)函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ?( x) 在 x ? x0 处的函数值,这也是 求
'

函数在点 x0 处的导数的方法之一。 合作探究 例 1.已知 f ( x) ? x ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线的斜率。
2

例 2.已知函数 f ( x) ? x 的图像上点 P (
2

3 9 , ) ,则在该点的切线斜率是多少?并写出该 4 16

点的切线斜率。高考资源网

例 3.求曲线 y ? x 在 x ?
3

3 处切线的倾斜角。高考资源网 3

练习反馈资源网 1.已知曲线 y ? A.1
3

x2 1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2
B.2
2 '



C.3

D.4 )

2. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (1) ? 0 ,则 f (a ) 的值等于( A. ?2 B. 30
3 2

C. ?36

D. 32

3.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在点 (1 , ? 3) 处的切线方程是____. 4.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( )
2

A.1 5. 设曲线 y ?

B.

x ?1 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( ) 在点 (3, x ?1
第 36 页 36

1 2

C. ?

1 2

D. ?1

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A.2
3

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

6. 曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1, 3) 处的切线的倾斜角为( ) 7、分别求曲线 f ( x) ? x 在 x ? 0 , x ? ?2 , x ? 3 处的切线的斜率。高考
2

8、曲线 y ?

x 上过点
2

的切线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 平行。

9、曲线 f ( x) ? x 的一条切线的斜率时 ? 4 ,求切点的坐标。高考资源网

3.4

导数的四则运算法则

3.4.1 常见函数的导数 学习目标:掌握定义法求函数导数的方法,求熟练运用基本初等函数的求导公式,求常见 函数的导数 重点、难点:用定义推导常见函数的导数公式高考资源网 自主学习 ①: (kx ? b)' ? ③: ( x )' ?
a

②: C ' ④: (log a x)' ? ⑥: (e )' ?
x

(C 为常数)

⑤: (a )' ?
x

⑦: (ln x)' ? ⑨: (cos x)' ? 合作探究:考资源网 例 1 下列各项中,正确的为 (

⑧: (sin x)' ?

)高考资源网

①: (2 x ? 1)' ? 2 ;②: (ln 2)' ? A. ①③ B. ②③

1 ;③: [ f ( x0 )]' ? f ' ( x0 ) ④: [ f ( x0 )]' ? 0 2
D. ②④

C. ①④

例 2 一质点的运动方程是 S ? 2 sin t ①:求 t ?

高考资源网

?
3

时的速度;

第 37 页

37

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②:求该质点运动的加速度。

例 3 求抛物线 y ? x 和直线 y ? x ? 1 间最短距离。高
2

考资源网 练习反馈 1. 用定义法推导 ( x )' ? 3 x ; ( x )' ?
3 2

1 2 x

高考

资源网 2. 求函数 y ?

1 1 的图像在点(2, )处的切线的方程。高考资 2 x

3. 若直线 y ? ? x ? b 是函数 y ?

1 图像的切线,求 b 及切点坐标。 x

第 38 页

38

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3

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4. 若对于任意 x ,有 f ' ( x) ? 4 x , f (1) ? ?1 ,则此函数 f ( x) ? 5. 6. 直线 y ?

1 x ? 3 能作为函数 y ? f ( x) 图像的切线吗?若能,求出切点坐标,若不能, 2 1 x
② f ( x) ? x
4

简述理由: ① f ( x) ? 资源网 ③ f ( x) ? sin x ④ f ( x) ? e 高考
x

3.4.2

函数的和、差、积、商的导数

学习目标:1、能利用导数公式及四则运算求简单函数的导数; 2、体会建立数学理论过程,感受学习数学和研究数学的一般方法,进一步发 展学生的思维能力。 重点、难点:利用求导法则求导 自主学习考资源网 ①: [ f ( x) ? g ( x)]' ? ②: [ f ( x) ? g ( x)]' ? ③: [ ,若 g ( x) ? c 时,有 [cf , ( g ( x) ? 0)

( x)]' ?

f ( x) ]' ? g ( x)
? x 2 ? x 的导数。

合作探究 例 1:求 y

高例 2:.求下列函数的导数高考资源网 (1)

f ( x) ? x 2 ? sin x

(2)

3 g ( x) ? x3 ? x 2 ? 6 x ? 2 2
39

第 39 页

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例 3:求下列函数的导数(1) h( x) ?

x ? sin x

(2) s(t ) ?

t2 ?1 t

例 4:求曲线 y

? x 2 ? 2 x ? 3 在 x ? 2 处的切线方程。

高考资源网 练习反馈 1、求下列函数的导数高考资源网 (1) y

? x 2 ? cos x

(2) y

? 2 x ? 2ln x

(3)

f ( x) ?
f ( x) ?

1 x2
sin x x2

(4)

f ( x) ?

x 2x ? 3

(5)

(6)

f ( x ) ? x 2 ? 3x ? 1

2、求曲线 y

? e x 在 x ? 0 处的切线方程。高考资源网
第 40 页 40

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3、求曲线 y

?

? x ? cos x 在 x ? 6 2

处的切线方程。

第四章
4.1

导数应用

函数的单调性与极值

4.1.1 导数与函数的单调性 学习目标:1、理解导数正、负与函数单调性之间的关系; 2、能利用导函数确定函数的单调区间高考资源网 重点、难点:利用导函数求单调性 自主学习 已知 y

? f ( x ) , x ? ( a , b ) 高考资源网 , b ) ,有 f '( x) ? 0 ,则 f ( x) 在区间 ( a , b ) 内 , b ) ,有 f '( x) ? 0 ,则 f ( x) 在区间 ( a , b ) 内

(1) 对任意 x ? ( a (2) 对任意 x ? ( a 合作探究资源网 例 1、确定函数

f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 3 在哪个区间上是增函数,哪个区间上是减函数?

例 2、确定函数

f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 7 在哪些区间上是增函数。

第 41 页

41

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例 3、确定函数

f ( x ) ? sin x , x ? (0,2? ) 的单调区间。高考资源网

例 4、证明:当 x ? 1 时,有 2

x ? 3?

1 。高考资源网 x

练习反馈 1、确定下列函数的单调区间 (1) y

? x ? x2

(2) y

? x ? x3

2、讨论函数 (1)

f ( x) 的单调性:

f ( x) ? kx ? b
k x

(2)

f ( x) ?

(3)

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c

3、用导数证明:高考资源网 (1)

f ( x ) ? e x 在区间 ( ??, ??) 上是增函数;

第 42 页

42

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(2)

f ( x ) ? e x ? x 在区间 ( ??,0) 上是减函数。

4.1.2

函数的极值

学习目标:1、掌握函数极值点的定义与求解步骤; 2、体会导数方法在研究函数性质中的一般性与有效性。高考资源网 重点、难点:利用导数求极大、极小值 自主学习 1、极大值

2、极小值

3、极值与导数之间的关系: (1)极大值与导数的关系:高考资源网

x
f '( x) f ( x)

x1 左侧

x1

x1 右侧

f '( x) ? 0
增加

f '( x) ? 0
极大值

f '( x) ? 0
减少

f ( x1 )

(2)极小值与导数的关系:高考资源网

x
f '( x)

x2 左侧

x2

x2 右侧

f '( x) ? 0

f '( x) ? 0

f '( x) ? 0

第 43 页

43

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f ( x)
合作探究 例 1、求函数

减少

极小值

f ( x1 )

增加

f ( x) ? x 2 ? x ? 2 的极值。高考资源网

例 2、求函数

1 1 f ( x) ? x 3 ? 4 x ? 的极值。高考资源网 3 3

练习反馈 1、求下列函数的极值:高考资源网 (1) y

? x2 ? 7 x ? 6

(2) y

?x?

1 x

2、 设函数

f ( x) 有极小值 f (a) 、极大值 f (b) , f (a) 一定小于 f (b) 吗?试作图说明。

3、作出符合下列条件的函数图像高考资源网 (1)

f (4) ? 3 , f '(4) ? 0 , x ? 4 时, f '( x) ? 0 , x ? 4 时, f '( x) ? 0 ;

第 44 页

44

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(2)

f (1) ? 1 , f '(1) ? 0 , x ? 1时, f '( x) ? 0

4.2 导数在实际问题中的应用
4.2.1 实际问题中导数的意义 学习目标:1、掌握解应用题的思路与方法,能分析出变量间的关系,建立起函数模型, 确定自变量的定义域。高考资源网 2、能用导数的知识对实际问题求解。 重点、难点:1、建立起函数模型,确定自变量的定义域。 2、用导数的知识对实际问题求解高考资源网 自主学习 解应用题的思路与方法: 1、审题:理解题意,分析问题的主要关系高考资源网 2、建模: 3、求解:求得数学问题的解 4、反馈: 合作探究 例 1、在边长为 60 厘米的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线 折起(如图) ,做成一个无盖的方底铁皮箱,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容 积是多少? 高考资源网 高考资

例 2、 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时, 如何确定它的高与底半径, 使得所用材料最省?
第 45 页 45

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高考资源网

例 3、在平面直角坐标系内,过点(1,4)引一直线,使它与两坐标轴上的截距都为正, 且两截距之和最小,求这条直线的方程。高考资源

网 练习反馈 1、 内接于半径为 R 的半圆的矩形周长最大时, 它的边长为 做一个容积为 256L 的方底无盖水箱,它的高为 3、把长为 60 ㎝的铁丝围成矩形,它的长为 ,宽为 ,材料最省? 时,面积最大。 ; 高考 2、

4、把长 100 ㎝的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形面积之和最 小?

高 4.2.2
会灵活应用;

最大值与最小值

学习目标:1.掌握函数最值的概念,会从几何直观理解函数的最值与其导数的关系,并 2.掌握求闭区间 [a, b] 上的函数 f ( x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤; 3.增强数形结合的思维意识,提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问 题的能力; 重点:正确理解函数最值的概念,掌握求函数最值的方法和步骤并能灵活应用; 难点:正确掌握“点是最值点”的充要条件,灵活应用导数求有关函数最值方面的问题。 自主学习 1.最大值与最小值的概念:

2.最值与极值的区别与联系: 3.求解函数最值的步骤是:

合作探究 例 1.求函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3 在区间 [?2,4] 上的最大值与最小值.
3

第 46 页

46

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x

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例 2.求函数 f ( x) ? e ? ex 在区间 [?2,2] 上的最大值与最小值.

例 3.求函数 f ( x) ?

1 x ? sin x 在区间 [0,2? ] 上的最大值与最小值. 2

x2 ? 2x ? a 1 , x ? ?1,?? ? . 例 4.已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 时,求函数 f ( x) 的最小 x 2 值; (2)若对于任意 x ? ?1,???, f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

练习反馈 1.求下列函数在所给区间上的最值: (1) f ( x) ? x ? x , x ? [0,2]
3

(2) f ( x) ?

x ?1 , x ? [0,2] x?2

2.求下列函数的值域: (1) f ( x) ? 3x ? 9 x ? 5, x ? [?2,2]
3

(2) f ( x) ? x ? ln x, x ? [ ,3]

(3) y ?

1 ? ? x ? cos x, x ? [? , ] 2 2 2

1 3

3.已知实数 x、y 满足 x ? y ? 2 x ,求 x y 的取值范围.
2 2 2 2

4.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 5 在区间 [?2,2] 上恒有 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的取值范
4 2

第 47 页

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围。

5. 设函数 f ( x) ? ax ? 6ax ? b 在区间 [?1,2] 上的最大值为 3, 最小值为 ? 29 , 且a ? 0,
3 2

试求实数 a、b 的值

6.已知正四棱柱的体积为 V,试求:当正四棱柱的底面边长多大时其表面积最小.

考资源网

第 48 页

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