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《1.3.1函数的单调性与导数》导学案-


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《3.3.1 函数的单调性与导数》 【考点一】求函数的单调区间 【例 1】求下列函数的单调区间: (1) f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 ; (2) f ( x) ? ex ? x ;

(3) f ( x) ? 3x ? x3 ;

(4) f ( x) ? sin x ? cos x ? x ? 1, x ? (0, 2? )

【练习 1】求下列函数的单调区间 (1) f ( x) ? x3 ? x2 ? x (2) f ( x) ?
1 2 x ? 2 x ? 3ln x 2

(3) f ( x ) ?

ex x?2

【考点二】利用导数证明或判断函数的单调性 ln x 【例 2】 证明:函数 f ( x) ? 在区间(0,2)上是单调递增函数. x

【练习 2】已知 a ? 0且a ? 1,证明函数 f ( x) ? a x ? x ln a 在 ? ??,0? 内是减函数.

【考点三】利用导数求参数的取值范围 1 (a ? 1) 2 x ? ax ? 5 在区间(0,2)内是减函数,求 a 的取值范围 【例 3】已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3 2

【例 4】若函数 f ( x) ? ax ? x ? x ? 5 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
3 2

-1-

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【练习 3】已知函数 f ( x) ? 2ax ? 【答案:k=1】

1 , x ? (0,1] ,若 f(x)在区间 (0,1] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x2

【练习 4】 若函数 f ( x) ? kx3 -3(k ? 1) x2 - k 2 ? 1(k ? 0) 的单调减区间是 (0, 4) ,求 k 的值.

【练习 5】已知函数 f ( x) ? x3 - ax -1 (1)若 f(x)在 R 上单调递增,求 a 的取值范围. (2)是否存在实数 a,使得 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由.

【考点四】利用导数,证明不等式或比较大小 【例 5】利用函数的单调性,证明下列不等式 (1) sin x ? x x ? (0, ? ) (2) e x ? 1 ? x

【练习】求证:当 x>0 时, x ? 1 ?

ln x x

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当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在 (??,??) 上为增函数,则一定有( ) 2 2 A. b ? 4ac ? 0 B. b ? 3ac ? 0 2 b ? 4 ac ? 0 C. D. b 2 ? 3ac ? 0 2、 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 的单调递减区间为 ( ) A.(–1,1) B.(1,2) C.(–∞,–1) D.(–∞,–1)∪(1,+∞) 3、已知函数 f ( x) ? x ln x ,则 ( ) A.在(0,+∞)上递减 B.在(0,+∞)上递增 C.在(0, )上递减
1 e

D.在(0, )上递增

1 e

4、函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 在区间 (??,??) 上( ) A.是减函数 B.是增函数 C.不是单调函数 D.以上都不对 5、在区间( a , b )内, f ' ( x) ? 0 是 f ( x) 在( a , b )内递增的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6、已知函数 y ? x 3 ? bx2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( A. b ? ?1 或 b ? 2 B. b ? 2 或 b ? 2 C. ?1 ? b ? 2 D. ?1 ? b ? 2
1 3



7、函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x 的单调递减区间为 8.函数 f ( x) ? x3 ? x 的增区间是

,减区间是

-3-


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