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资阳市2013—2014学年度高中二年级第一学期期末质量检测理科数学


资阳市 2013—2014 学年度高中二年级第一学期期末质量检测

理 科 数 学
本试题卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分. 第一部分 1 至 2 页, 第二部分 3 至 8 页. 全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第一部分(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第一部分前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 (A)圆台 (C)圆柱 (B)棱台 (D)棱柱

2.资阳市某中学为了解高中学生学习心理承受压力情况,在高 中三个年级分别抽取部分学生进行调查,采用的最佳抽样方法是 (A)简单随机抽样 (C)随机数表法 (B)系统抽样 (D)分层抽样

3.三棱锥 A-BCD 中,AC⊥BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,则四 边形 EFGH 是 (A)菱形 (B)矩形 (C)梯形 (D)正方形

4.10 名工人某天生产同一种零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16, 14,12.设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有 (A) a ? b ? c (B) b ? c ? a (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b

5.从集合{a,b,c}的所有子集中任取一个,这个集合恰是集合{a,b}的子集的概率是 (A)
5 8

(B)

3 8

(C)

1 2

(D)

1 8

6.设 l 是一条直线, ? , ? , ? 是不同的平面,则下列说法不正确 的是 ... (A)如果 ? ? ? ,那么 ? 内一定存在直线平行于 ? (B)如果 ? 不垂直于 ? ,那么 ? 内一定不存在直线垂直于 ?
资阳高二数学(理科)试卷第 1 页(共 8 页)

(C)如果 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? (D)如果 ? ? ? , l 与 ? , ? 都相交,那么 l 与 ? , ? 所成的角互余 7.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示, x1 , x2 分别表示甲、 乙两名运动员这项测试成绩的平均数, s1 , s2 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标 准差,则有 (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2 8.如图,在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 分别是 AB、BC 的中 点,EF⊥DE,且 BC=1,则正三棱锥 A-BCD 的体积是 2 (A) 12 2 (B) 24 3 (C) 12 3 (D) 24 9.执行如图所示的程序框图,若输入 n ? 8, 则输出的S ? 4 6 (A) (B) 9 7 8 10 (C) (D) 11 9 10.如图,在三棱锥 P-ABC 中,

∠APB=∠BPC=∠APC=90°,M 在△ABC 内, ∠MPA=60°,∠MPB=45°,则∠MPC 的度数为
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°

资阳高二数学(理科)试卷第 2 页(共 8 页)

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理 科 数 学
第二部分(非选择题 共 100 分)
题号 得分 二 三 16 17 18 19 20 21 总分 总分人

注意事项: 1.第二部分共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题中横 线上. 11 . 输 入 x=5 , 运 行 如 图 所 示 的 程 序 之 后 得 到 的 y 等 于 _____________ . 12.在边长为 3 的正方形 ABCD 内任取一点 P,则 P 到正方形四 边的距离均不小于 l 的概率为_______________ . 13.一个几何体的 三视图如图所示,则这个几何体的表面积 与其外接球表面积之比为_______. 14.先后抛掷一枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有 点数 1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为 x , y ,则 事件 log 2 x y ? 1 发生的概率为_______. 15.在四面体 ABCD 中,有如下结论:①若 AC⊥BD,AB⊥ CD,则 AD⊥BC;②若 E、F、G 分别是 BC、AB、CD 的中点,
资阳高二数学(理科)试卷第 3 页(共 8 页)

INPUT x IF x<0 THEN y ? ( x ? 1) *( x ? 1) ELSE y ? ( x ? 1) *( x ? 1) END IF PRINT y END

则∠FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大小;③若点 O 是四面体 ABCD 外接球的 球心,则 O 在面 ABD 上的射影为△ABD 的外心;④若四个面是全等的三角形,则 ABCD 为 正四面体. 其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题: (本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知三点 A ?1,0,0 ? , B ? 3,1,1? , C ? 2,0,1? . ??? ? ??? ? (Ⅰ)求 CB 与 CA 的夹角; ??? ? ??? ? (Ⅱ)求 CB 在 CA 方向上的投影.

资阳高二数学(理科)试卷第 4 页(共 8 页)

17.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥DC,AB= A E B P

D

1 DC, E为PD中点 . 2

(Ⅰ)求证:AE∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:AE⊥平面 PDC.

C

18. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b (a, b ? R ) ,若 a 是从区间 [?2, 2] 中随机抽取的一个
2 2

数, b 是从区间 [?3, 3] 中随机抽取的一个数,求方程 f ( x) ? 0 没有实数根的概率.

资阳高二数学(理科)试卷第 5 页(共 8 页)

19. (本小题满分 12 分) 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AD 上的点,点 F 为边 CD 的中点,AB=AE= 现将△ABE 沿 BE 边折至△PBE 位置,且平面 PBE⊥平面 BCDE. (Ⅰ) 求证:平面 PBE⊥平面 PEF; (Ⅱ) 求二面角 E-PF-C 的大小 .

2 AD , 3

资阳高二数学(理科)试卷第 6 页(共 8 页)

20. (本小题满分 13 分) 某班同学利用寒假进行社会实践,对年龄在[25,55]的人群随机抽取 n 人进行了一次生活 习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低 碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图: 低碳族 占本组 组数 分组 的人数 的频率 [25,30) 120 0.6 第一组 [30,35) 195 p 第二组 [35,40) 100 0.5 第三组 x [40,45) 0.4 第四组 [45,50) 30 0.3 第五组 [50,55] 15 0.3 第六组 (Ⅰ)补全频率分布直方图,并求 n、 x 、p 的值; (Ⅱ)从年龄在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[45,50)的概率.

资阳高二数学(理科)试卷第 7 页(共 8 页)

21. (本小题满分 14 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 是棱 AB 上的一个动点 . (Ⅰ)证明: D1 E ? A1D ; (Ⅱ)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (Ⅲ)线段 AE 的长为何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? . 4
A1

D1 B1

C1

D A E B

C

资阳高二数学(理科)试卷第 8 页(共 8 页)

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理科数学参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5.ADBCC 6-10.DDBAC 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 1 3 1 11.16 12. 13. 14. 15.①③ ? 9 12 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. ??? ? ??? ? 16.解:(Ⅰ) CB ? (1,1,0) , CA ? (?1,0,?1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CB ? CA ?1 ? 0 ? 0 1 ? ??? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 cos ? CB, CA ?? ??? ?? · 2 | CB | ? | CA | 2? 2
??? ? ??? ? 2? ∴ ? CB, CA ?? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CB ? CA ?1 ? 0 ? 0 2 ? ? (Ⅱ) CB 在 CA 方向上的投影 ? ??? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ?? 2 | CA | 2

17.证明: (Ⅰ)取 PC 的中点 M,连接 EM、BM, 则 EM∥DC,EM=

1 DC, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2

?EM∥AB 且 EM=AB,则四边形 ABME 是平行四边形.
· · · · · · · · · · · 6分 ?AE∥BM, Q AE ? 平面 PBC 内,所以 AE∥平面 PBC. · (Ⅱ) Q AB⊥平面 PBC,AB∥CD,所以 CD⊥平面 PBC,CD⊥BM. 由(1)得,BM⊥PC,又 PC I CD ? C ,所以 BM⊥平面 PDC,又 AE∥ BM,?AE⊥平面 PDC. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 18.解:由方程 f ( x) ? 0 没有实数根, 得: 4a ? 4b ? 0,? (a ? b)( a ? b) ? 0. ??????????2 分
2 2

即: ?

?a ? b ? 0 ?a ? b ? 0 或者 ? 又因为 ? 2 ? a ? 2,?3 ? b ? 3 ?a ? b ? 0 ?a ? b ? 0

作出平面区域图如图所示.?????????????????8 分 可知方程 f ( x) ? 0 没有实数根的概率为:

1 4?6 ? 2? ? 2? 4 2 2 P? ? 4?6 3
故方程 f ( x) ? 0 没有实数根的概率为

2 ???????????12 分 3

Q ED ? DF ??DEF ? 45o 19. (I)证明: 在Rt?DEF中,
资阳高二数学(理科)试卷第 9 页(共 8 页)

在Rt?ABE中, Q AE ? AB ??AEB ? 45o

??BEF ? 90o
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? EF ? BE ·
Q 平面PBE ? 平面BCDE且平面PBE I 平面BCDE ? BE ? EF ? 平面PBE

Q EF ? 平面PEF , ?平面PBE ? 平面PEF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
(II) 不妨设 AD=3, 以 D 为原点, 以 DC 方向为 x 轴, 以 ED 方向为 y 轴, 以与平面 EBCD 向上的法向量同方向为 z 轴,建立坐标系.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 则 E (0, ?1,0), P(1, ?2, 2), F (1,0,0), C(2,0,0) , uur uur uur EP ? ( 1, ?1, 2) , CP ? (?1, ?2, 2), FP ? (0, ?2, 2) . 设平面 PEF 和平面 PCF 的法向量分别为

r uur r uur 由 n1 ? EP ? 0 及 n1 ? FP ? 0 可得到

n1 ? ?x1,y1,z1 ? , n 2 ? ?x 2,y 2,z 2 ? .

?

?

? ? ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0, n , ? 1, ? 2 不妨取 ? 1 ? 1 ? 2 y ? 2 z ? 0 , ? 1 1 ?

?

?.

又由 n 2

?

?

? uur CP ? 0 及 n 2

?

? uur ? ? x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0, FP ? 0 可得到 ? ? ? ?2 y2 ? 2 z2 ? 0,

1, 2 , · 不妨取 n 2 ? 0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
| cos ? n1 , n2 ?|? | 0 ?1? 2 | 1?1? 2 ? 1? 2 ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ,· 2

?

?

?

综上所述,二面角 E-PF-C 大小为 150°. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20.解: (I)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,∴高为 补全频率分布直方图如下: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 第一组的人数为
120 ? 200 , 0.6
0.3 ? 0.06. 5

频率为 0.04×5=0.2 ∴n?
200 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ? 1000. · 0.2 195 =0.65. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 300

由题可知,第二组的频率为 0.3, ∴第二组的人数为 1000×0.3=300, ∴ p ?

第四组的频率为 0.03×5=0.15, ∴第四组的人数为 1000×0.15=150, ∴ x =150×0.4=60.
资阳高二数学(理科)试卷第 10 页(共 8 页)

综上所述:n=1000, x=60, p=0.65.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (II)∵年龄在[40,45)的“低碳族”与年龄在[45,50)的“低碳族”的比值为 60:30=2:1, ∴ 采用分层抽样法抽取 6 人,[40,45)岁的有4人,[45, 50)岁的有 2 人. 设[40,45)岁中的 4 人为 a、b、c、d,[45,50)岁中的 2 人为 m、n,则选取 2 人作为领队的 方法有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、 (d,n)、(m,n)共 15 种 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 其中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n) 共 8 种· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ∴选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为 P ? 21.解法一 ( Ⅰ)∵ AB ? 平面 A1 ADD1 ,∴ A1 D ? AB ,又∵ A1 D ? AD1 , AB ∩ AD1 ? A ,∴ A1 D ? 平面
AD1 E , A1 D ? D1 E .

8 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 .· 15

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

(Ⅱ)等体积法 由已知条件可得, AD1 ?

2 , AC ? D1C ? 5 ,所以 ?ACD1 为等腰三角形,

Q S?ACD1 =

3 1 , S ?AEC ? ,设点 E 到平面 ACD1 的距离 d ,根据 VE ? ACD1 ? VD1 ? AEC 可得, 2 2

1 1 1 3 1 1 ? S?ACD1 ? d ? ? S?AEC ? DD1 ,即 ? ? d ? ? ? 1 , 3 3 3 2 3 2

解得 d ?

1 .??????????????8 分 3
A1

(Ⅲ)过点 D 作 DF ? EC 于 F ,连接 D1 F . 因为 DD1 ? 平面 ABCD ,所以 又E EC ? DD1 , C ? D F 平面 D1 DF , 故 EC ? D1 F , ?D1 FD 为二面角 D1 ? EC ? D 的平面 角 , 所 以 ?D1 F ?D 4
sin ?DCF ?

D1 B1

C1

,DD1 ∩ DF ? D , 所以 EC ? D A E F B C

?

, DF ? DD1

?1 ,

DF 1 ? ? EB , ?ECB ? ,由 tan 可 得 EB ? 3 , ? , ?DCF ? ?ECB ? DC 2 6 3 BC

AE ? 2 ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

解法二:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC , DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AE ? x ,则 A1 (1,0,1), D1 (0,0,1), E (1, x,0), A(1,0,0), C (0, 2,0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

资阳高二数学(理科)试卷第 11 页(共 8 页)

uuu r uuur (I)因为 DA1 ? D1 E ? (1, 0,1) ? (1, x, ?1) ? 0

???? ? ???? ? 所以 DA1 ? D1 E ,即 D1 E ? A1D . · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ???? ? ???? (II)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1,0) ,从而 D1 E ? (1,1, ?1), AC ? (?1, 2,0) , u r uuu r ? u r ???? ? ? m ? AC ? 0, AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 m ? (a1 , b1 , c1 ) ,则 ? u r uuu u r ? ? m ? AD1 ? 0,
u r ??a ? 2b1 ? 0 ? a ? 2b1 也即 ? 1 ,得 ? 1 , 设 a1 ? 1 ,从而 m ? (2,1, 2) ,所以点 E 到平面 ACD1 的距 ? ?a1 ? c1 ? 0 ? a1 ? c1

离为
uuur u r D1 E ? m 2 ? 1 ? 2 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 h? ? ? u r 3 3 m
r (Ⅲ)设平面 D1 EC 的法向量 n ? (a2 , b2 , c2 ) , ??? ? ???? ? ???? ? ∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0, 2, ?1), DD1 ? (0,0,1) r uuur ? ?n ? D1C ? 0 ? 2b2 ? c2 ? 0 ?? 由 ? r uu 令 b2 ? 1, ? c2 ? 2, a2 ? 2 ? x , u r a2 ? b2 ( x ? 2) ? 0 ? n ? CE ? 0 ? ? ? ∴ n ? (2 ? x,1,2) ? ? ???? n ? DD1 ? 2 2 2 依题意 cos ? ? ???? ? ? ? ? 2 4 n ? DD1 2 2 ( x ? 2) ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去), x2 ? 2 ? 3 . ∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 4

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

资阳高二数学(理科)试卷第 12 页(共 8 页)


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