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高中数学常用公式及常用结论1

高中数学常用公式及常用结论
1.德摩根公式(反演律) : CU ( A 2.包含关系: A 3.集合 {a1 , a2 , 非空真子集有

B) ?
;A

; CU ( A

B) ?
; 个;非空子集有

.

B? A?

B? A?

, an } 的子集个数共有
个.

个;真子集有

个;

4.二次函数的解析式的三种形式: (1)一般式: (3)交点式: 10.充要条件: (1)充分条件:若 ,则 p 是 q 充分条件.(2)必要条件:若 ,且 ,则 p 是 q 充要条件. ,则 p 是 ;(2)顶点式: 。 ;

q 必要条件.(3)充要条件:若

11.函数的单调性:设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x)在?a, b? 上是增函数 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数 ?

; ; 函

12.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是

数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数

y ? f [ g ( x)] 是

函数.

13.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于 数的图象关于 对称,偶函数的图象关于 对称;反过来,如果一个函 对

对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于

称,那么这个函数是偶函数. 14.若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? 则 f ( x ? a) ? . ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,

15.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ),若 f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的 ;若 f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的 。

1

16. 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 点

对称; 若

f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为

的周期函数.

17. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 性 : 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称

? f ( x ? a) ?
18.两个函数图象的对称性

.

(1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于 (2)函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

对称. 对称. 的图象;若 的图象. .

( x) 的图象关于直线

19.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 20.互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? 22.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T= (2) f ( x ? a) ? ;

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x)


或 f ( x ? a) ? ? 23.分数指数幂
m

1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 的周期 T= f ( x)

(1) a n ? 24.根式的性质 (1) (n a ) n ?

n ?1) ( a ? 0, m, n ? N ? , .(2) a

m ?n

?

n ?1) ( a ? 0, m, n ? N ? , .

; (2) 当 n 为奇数时,n a n ?

; 当 n 为偶数时,n a n ?

.

25.有理指数幂的运算性质 (1) a ? a ?
r s

;(2) (a ) ?
r s 2

;(3) (ab) ?
r



(4) (a ? b ? c) ? (5)a ? b ?
3 3 3 3

。 ;a ? b ? ;

26.指数式与对数式的互化式
2

loga N ? b ?
27.对数的换底公式

(a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

loga N ?
推论 loga m b n ?

( a ? 0 ,且 a ? 1 , 且 N ? 0 ). ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ).

28.对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? ;(2) log a

M ? N

;(3) loga N n ? ;

.

29. 若函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c) 的定义域为 R ,则 若 f ( x) 的值域为 R ,则 。

30. 平均增长率的问题: 如果原来值的基础数为 N, 平均增长率为 p , 则对于时间 x 的总值 y , 有 . .

31.数列的通项公式与前 n 项的和的关系: an ? 32.等差数列的通项公式:an ?

; 其前 n 项和公式:s n ?



.

33.等比数列的通项公式:an ? 34.同角三角函数的基本关系式 平方关系: 商数关系: 倒数关系: 35.诱导公式

; 其前 n 项的和公式:s n ?



.

sin(?? ) ? ctg(?? ) ? tg (2k? ? ? ) ?
cos(

; cos(?? ) ? ; sin(2k? ? ? ) ? ; ctg(2k? ? ? ) ? ; tg (

; tg (?? ) ? ; cos(2k? ? ? ) ? ; sin( ; ctg (

; ; ; ; ;

?
2

??) ?

?
2

??) ?

?
2

??) ?

?
2

??) ?

sin(? ? ? ) ?

; cos(? ? ? ) ?

; tg (? ? ? ) ?

3

ctg(? ? ? ) ?
tg ( 3? ??) ? 2

; sin(

3? ??) ? 2 3? ??) ? ; cog ( 2

; cos(

3? ??) ? 2

; ; 。

; sin(2? ? ? ) ? ; ctg (2? ? ? ) ?

cos(2? ? ? ) ?
36.和角与差角公式

; tg (2? ? ? ) ?

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tg (? ? ? ) ?
辅助角公式: a sin ? ? b cos ? = (辅助角 ? 所在象限由点 37.二倍角公式 的象限决定, tg? ? ). ; .

;

sin 2? ? cos 2? ?
=

. = . .

tg 2? ?
38.半角公式

sin
tg

?
2

?
?
2

cos
=

?
2

?
= ; cos
2

?

2

降幂扩角公式: sin 万能公式: sin ? ?

?
2

?

?
2

?
; tg? ?



; cos? ?

39.三角函数的周期公式

? x ? ? ), x ∈ R 及 函 数 y ? cos( ? x ? ? ), x ∈ R( ω , ? 为 常 数 ) 的 周 期 函 数 y ? sin(
为 ; 函数 y ? tan(? x ? ? ) ,x ? k? ?

?
2

, k ? Z (ω , ? 为常数)的周期为

.

40.正弦定理

41.余弦定理

4

42.面积与弧长公式 (1) S ?ABC ? (2) S 扇形 ? 43. 简单的三角方程的通解

?
=

?
;(3) l弧长 ?

; 。

sin x ? a ?

.( a ? 1 ) .( a ? 1 ) .( a ? R )

cos x ? a ?
tgx ? a ?
特别地,有

sin x ? sin ? ? cos x ? cos ? ? tgx ? tg? ?
44.a 与 b 的数量积(或内积)与模

. . .

a· b=

;a ?

;a ? b ?

2

?



45.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= 46.两向量的夹角公式 .a-b= . .

.(4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= .

cos ? ?
47.平面两点间的距离公式

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

d A, B =

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

48.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a∥b ?

?
5

.

a ? b(a ? 0) ? 50.三角形的重心坐标公式

?

.

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标 是 51. 中点坐标公式 .

53.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ?
2 2

(当且仅当 (当且仅当

时取“=”号). 时取“=”号).

(2) a, b ? R ?

?

a?b ? 2

(3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4)

? a?b ?

.

55.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) , x1 ? x 2

( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0 ? ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0 ?
56.含有绝对值的不等式:当 a> 0 时,有

; .

x ?a ?

?

. x ?a ?

?



57.指数不等式与对数不等式
f ( x) ? a g ( x) ? (1)当 a ? 1 时, a

; loga f ( x) ? loga g ( x) ? ; loga f ( x) ? loga g ( x) ?

. .

(2)当 0 ? a ? 1 时, a 58.斜率公式:k= 59.直线的七种方程 (1)点方向式 (2)点法向式 (3)点斜式

f ( x)

? a g ( x) ?

(P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ).

(直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且方向向量为 (u , v ) ). (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且法向量为 (u , v ) ). (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ).
6

(4)斜截式 (5)两点式 (6) 截距式 (7)一般式 60.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 ∥ l 2 ?

(b 为直线 l 在 y 轴上的截距). ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (其中 A、B 不同时为 0).

;② l1 ⊥ l 2 ?

.

(2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 ∥ l 2 ? 61.夹角公式: tg? ? 62. l1 到 l2 的角公式: tg? ? 64.点到直线的距离: d ? 66.圆的三种方程 (1) 圆的标准方程: (3)圆的参数方程:
2 2

;② l1 ⊥ l 2 ?

.

。( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 。( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

. (2) 圆的一般方程: .
2

.

67.点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则点 P 在圆外 ?
.

;点 P 在圆上 ?

;点

P 在圆内 ?

2 2 2 68.直线与圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有

三种: 相离 ? 相交 ?

? ?

;相切 ? ;. 其中 d ?

?
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2
.

;

69.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

7

外离 ? 相交 ? 内含 ?

? ? ?

条公切线; 条公切线;

外切 ? 内切 ?

? ?

条公切线; 条公切线;

条公切线.


70.圆的切线方程: 已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 . 过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 71. 圆 x2 ? y 2 ? r 2 的参数方程是 .

椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程 a 2 b2

.

73. 椭圆



75.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程 a b
(2)若渐近线方程为 y ? ?

?
.

.

x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 a b a


(3)若双曲线与

x2 y2 ? ? 1 有公共渐近线,可设为 a2 b2

76. 双曲线的切线方程 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a 2 b2
2

.

77. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 PF ? 在抛物线 y ? 2 px 上)
2

.过焦点弦长 PQ ?

.(P,Q

80. 抛物线的切线方程:抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是
2



81.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? 82.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 .

8

(2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 x ? a 成轴对称的曲线是 (3) 点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称,则 83.角的取值范围 (1)两条直线的夹角的取值范围: (2)直线到直线所成角的取值范围: (3)两条异面直线所成角的取值范围: (4)两个向量所成角的取值范围: (5)直线与平面所成角的取值范围: (6)平面与平面所成角的取值范围: 84.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (3)λ a= (4)a·b= ;(2)a-b= (λ ∈R); ; . ; ; ; ; ; ; 。

. .

85.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? OB ? OA = 86.空间的线线平行或垂直:设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r

a ∥b ?

?

; a ⊥b ?

?

; .

87.夹角公式: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) , b= (b1 , b2 , b3 ) , 则 cos 〈a, b〉 = 88.空间两点间的距离公式:若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |? AB ? AB =
空间一点 P 到平面 ABC 的距离公式: 91.柱体、锥体的体积: V柱体 ? 球的体积: 球面距离公式: ; 球的表面积:

. . . V锥体 ? .

(1)球面上两点 A 、 B 的纬度分别为 ? 1 、 ? 2 ,经度相同,则 AB 的球面距离为 (2)球面上两点 A 、 B 的纬度相同为 ? ,经度分别为 ? 、 ? ,则 AB 的球面距离为
9

m 94.排列数公式 An =

=
3 ; An ?

.( n , m ∈N ,且 m ? n ).
*

2 An ?

; n! ?



95.组合数公式
m = Cn 2 Cn ?

=
3 ; Cn ?

=

( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ).
*

0 。注:规定 C n ?

; 0! ?

.

96.组合数的两个性质:
m (1) C n = m m?1 m ;(2) C n + Cn = Cn ?1 .

97.组合恒等式
0 1 2 r n (1) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 1 3 5 0 2 4 (2) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2n?1 =

. . 。 ; 。

98.排列数与组合数的关系: 99.二项式定理: (a ? b) n ? 二项展开式的通项公式: 100.特殊数列的极限 (1)lim q ?
n
n??

ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 .(2) lim ? n?? bt n t ? bt ?1n t ?1 ? ?b0
= ( S 无穷等比数列

.

(3) S ? lim s n ?
n??

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

101.几个常用极限: (1) lim

n??

1 ? n
n ??

; (2) lim a ?
n
n??
n ??

( | a |? 1 ).

102.数列极限的四则运算法则:若 lim an ? a, lim bn ? b ,则 (1) lim (an ? bn ) ?
n??

;(2) lim (an ? bn ) ?
n??



(3) lim

n??

an ? bn



(4) lim (c ? a n ) ?
n??

。( c 是常数). .( a, b, c, d ? R )

103.复数相等: a ? bi ? c ? di ? 104.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)与共轭

| z | = | a ? bi | =



? z1 ? z 2 ?
10



z1 ? z 2 ?
z1 ? z 2 ?
105.复数的四则运算法



z1 ? z2

n ;z ?

;z ?



; z1 ? z 2 ?

;(

z1 )? z2



(1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (3) (a ? bi)(c ? di) ? (4) (a ? bi) ? (c ? di) ? 106.复平面上的两点间的距离公式

; ; ; .

d?

=
2

( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).

107.实系数一元二次方程的解:实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 , ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1, 2 ?
2

; ;

②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ?
2 2

③若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 它在实数集 R 内没有实数根; 在复数集 C 内有且仅有两个共轭复 数根 x1, 2 ? .
2

108.样本数据 x1 , x2 , x3 ... xn 的方差: s ? 总体数据 x1 , x2 , x3 ... xn 的方差: s ?
2

总体方差的点估计值(样本 x1 , x2 , x3 ... xn ) :s ?
2

随机变量 x1 , x2 , x3 ... xn 的均值(数学期望) : E? ? 随机变量 x1 , x2 , x3 ... xn 的方差: D? ? 109.和差化积与积化和差 。



sin ? ? sin ? ?

; sin ? ? sin ? ?



11

cos? ? cos ? ?

; cos? ? cos ? ?



sin ? ? cos ? ?

; cos? ? sin ? ?



cos? ? cos ? ?
110.直角坐标与极坐标的互化公式

; sin ? ? sin ? ? 及



12

高中数学常用公式及常用结论
1.德摩根公式: A ? B ? A ? B A ? B ? A ? B . 2.包含关系: A 3.集合 {a1 , a2 ,

B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A CU B ? ? ? CU A B ? R , an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n –1 个;
n

非空的真子集有 2 –2 个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)交点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 5.闭区间上的二次函数的最值
2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区间的 2a

两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b b ? ? p, q ?,则 f ( x) min ? f ( ? ), f ( x) max ?max 2a 2a

?f ( p), f ( q) ? ;

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b ? ? p, q ?, ? ? p , q ?, (2)当 a<0 时, 若x ? ? 则 fx , 若x ?? () nm m ? n i ( ,)f? () p fq ? i 2a 2a 则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . x??
6.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x ? px ? q ,则
2

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 2 ? p ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2
7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参数 的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的 充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .
13

8.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立 9.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 互逆

反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x ,成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

逆命题 若q则p 互 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互 否

10.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件.(2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必 要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 11.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x)在?a, b? 上是增函数 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f ( x)在?a, b? 上是减函数 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 12.如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内 ,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是
增函数. 13.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象 关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数 是偶函数. 14.若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则

f ( x ? a) ? f (? x ? a) .
15.对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是函数

a?b a?b ,若 f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的周期是 。 2 a 16.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) , 2 则函数 y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数. 17.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x ) ? f (2a ? x) ? f ( x) . x?

14

(2)





y ? f ( x) ) m













线

x?

? f(

a?

? x ( ?f? f( b )a? m b ?) x m .? ( x

)f

m

a?b 2 x





18.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 19.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若 将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 20.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
21. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) . 22.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,或 f ( x ? a) ? 或 f ( x ? a) ? ?

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x)

1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 的周期 T=2a; f ( x)
(1) a n ?
m

23. 分 数 指 数 幂
?

1
n

am

? ( a ? 0, m, n ? N , 且 n ? 1 ) .(2) a

?

m n

?

1
m

an
n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). 24.根式的性质: (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n a n ? 当 n 为偶数时, n a n ? 25.有理指数幂的运算性质 (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (3) . ( (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 2 2 2 2 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca 3 3 3 3 2 2 2 2 (5) a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) ; a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) ; (1)
p

an ? a ;
?a, a ? 0 . a n ?| a |? ? ??a, a ? 0

n

4



注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对 于无理数指数幂都适用. 26.指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 27.对数的换底公式: log a N ? 推论 log a m b ?
n

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m
15

28.对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
(2) log a 29. 若函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c) 的定义域为 R , 则 ?

?a ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R , 则 ?? ? 0

? a ? 0 ?a ? 0 或? 。 ? ?? ? 0 ?b ? 0
30. 平均增长率的问题: 如果原来值的基础数为 N, 平均增长率为 p , 则对于时间 x 的总值 y , 有 y ? N (1 ? p) x . 31.数列的同项公式与前 n 项的和的关系: an ? ?

n ?1 ?s1 , . ?sn ? sn?1 , n ? 2

32.等差数列的通项公式: an ? an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a n ?1 n * 33.等比数列的通项公式: an ? an ? a1q ? 1 ? q (n ? N ) ; q
其前 n 项和公式: s n ? sn ?

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式: s n ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 sin ? 2 2 34.同角三角函数的基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? = , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?
35.诱导公式

sin(?? ) ? ? sin ? ; cos(?? ) ? cos? ; tg (?? ) ? ?tg? ; ctg(?? ) ? ?ctg? ; sin(2k? ? ? ) ? ? sin ? ; cos(2k? ? ? ) ? cos? ; tg (2k? ? ? ) ? ?tg? ; ctg(2k? ? ? ) ? ?ctg? ;
sin(

? ? ) ? ? tg? ; 2 sin(? ? ? ) ? ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? ? cos? ; tg (? ? ? ) ? ?tg? ; ctg(? ? ? ) ? ?ctg? ; 3? 3? 3? sin( ? ? ) ? ? cos ? ; cos( ? ? ) ? ? sin ? ; tg ( ? ? ) ? ? ctg ? ; 2 2 2 3? cog ( ? ? ) ? ?tg? 2 sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ; cos(2? ? ? ) ? cos? ; tg (2? ? ? ) ? ?tg? ; ctg(2? ? ? ) ? ?ctg? 2 2 2
36.和角与差角公式

?

? ? ) ? cos ? ; o s c ;(

?

? ? ) ? ?n i s ? ; tg (

?

? ? ) ? ? ctg ? ; ctg (

?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 tan ? tan ?
16

sin ? sin ? ;

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = b 定, tan ? ? ). a
37.二倍角公式

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

sin 2? ? 2 sin ? cos ? 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
38.半角公式

.

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

.

sin

?
2

??

1 ? cos? 2

cos

?
2

??

1 ? cos? 2

tg

?
2

??

1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos?
1 ? cos ? ; 2 cos 2

sin 2

?
2

?

?
2

?

1 ? cos ? 2

(降幂扩角公式)

sin ? ?

2tg 1 ? tg

?
2 ?

2



cos? ?

1 ? tg 2 1 ? tg

?
2 ; 2 tg? ?

2tg 1 ? tg

?
2
2

2 ?

?
2

(万能公式)

2

39.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0) 的周期 T ? 期T ?

2?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周

? . ?

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 41.余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ; b ? c ? a ? 2ca cos B ; c ? a ? b ? 2ab cos C .
40.正弦定理 42.面积定理面积与弧长公式

x1 1 1 1 x2 (1) S ? ? aha ? ab sin C ? 2 2 2 x3
(2) S 扇形 ?

y1 1 y2 1 . y3 1

1 1 ? l ? r ? r 2 ? ? ;(3) l弧长 ? r ? ? 。 2 2

43. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有 sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)
k

? (k ? Z ) .

17

co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
44.a 与 b 的数量积(或内积) 与模

a·b=|a||b|cosθ ; a ?

x 2 ? y 2 ; a ? b ? (a ? b) 2 ? a ? 2a ? b ? b .

2

2

2

45.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 46.两向量的夹角公式 cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

47.平面两点间的距离公式 d A, B ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

48.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A∥b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 49.线段的定比分公式 设P 1 2 的分点, ? 是实数,且 PP 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP 1 ? ? PP 2 ,则

x1 ? ? x2 1 OP ? ? OP2 1? ? t? ). ? OP ? 1 ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2( y1 ? ? y2 1? ? 1? ? 1? ? 50.三角形的重心坐标公式:△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3 ), x ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 则△ABC 的重心的坐标是 G ( 1 3 3 ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? 51.点的平移公式 ? ' . ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ? ? x? ? ? ? ?y ? ? ?
52.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P ( x ? h, y ? k ) .
'

(2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为
' '

y ? f ( x ? h) ? k .
(3) 图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数解
' '

析式为 y ? f ( x ? h) ? k .
' ' (4) 曲 线 C : f ( x, y) ? 0 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为

f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .
53.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ?
?

18

(4)

a ? b ? a?b ? a ? b .

54.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

1 2 s . 4 55.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) , x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;
(2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
56.含有绝对值的不等式:当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

57.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a
f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x) ;

(2)当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x )

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

58.斜率公式: k ? 59.直线的七种方程

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

x ? x0 y ? y 0 ? (直线 l 过点 P( x0 , y0 ) ,且方向向量为 (u , v ) ). u v (2)点法向式 u( x ? x0 ) ? v( y ? y0 ) ? 0 (直线 l 过点 P( x0 , y0 ) ,且法向量为 (u , v ) ). k (3)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (4)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). y ? y1 x ? x1 (5)两点式 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (6)截距式 a b (7)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(1)点方向式 60.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ① l1 || l2 ? ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .

A1 B1 C1 ; ② l1 ? l2 ? A ; ? ? 1 A2 ? B 1B2 ? 0 A2 B2 C2 k ? k1 61.夹角公式: tan ? ?| 2 | 。( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 k ? k1 62. l1 到 l2 的角公式: tan ? ? 2 。( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1
19

63.四种常用直线系方程 (1) 定 点 直 线系 方 程 :经过 定 点 P 0 ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( 除 直 线 的 直 线 系 方 程 为 x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P 0 ( x0 , y0 ) A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的 直线系方程为 ( A 1x ? B 1 y ? C1 ) ? ? ( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方 程. 与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ), λ 是参变量. (4) 垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A ≠ 0 , B ≠ 0) 垂直的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量. | Ax0 ? By0 ? C | 64.点到直线的距离: d ? (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 65. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若B?0, 当 B 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的上方的区域; 当 B 与 Ax ? By ? C 异 号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B?0, 当 A 与 Ax ? By ? C 同号时, 表示直线 l 的右方的区域; 当 A 与 Ax ? By ? C 异 号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 66.圆的三种方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . ( 2 ) 圆 的 一 般 方 程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0). ? x ? a ? r cos? (3)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ? 2 2 2 67.点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
( 1 ) 圆 的 标 准 方 程 若d ? 点 P 在圆内. 68.直线与圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有 三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ?

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

69.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

; ;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
70.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是
20

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的 当 ( x0 , y0 ) 圆外时 , x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有 两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线.
2 (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;

71. 圆 x2 ? y 2 ? r 2 的参数方程是 ? 椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

? x ? cos? ? y ? sin ?

72.椭圆的的内外部
2 2 x0 y0 x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b 2 2 2 2 x y0 x y ? ?1. (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 a b a 2 b2 x2 y 2 73. 椭 圆 的 切 线 方 程 : 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上 一 点 P( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

74.双曲线的内外部

x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a b x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
75.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, a b a b ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). x2 y 2 76. 双曲线的切线方程: 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b 2 77. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2

21

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 b 2 4ac ? b2 2 78.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ? ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a b 4ac ? b2 , ); (1)顶点坐标为 (? 2a 4a b 4ac ? b 2 ? 1 , ); (2)焦点的坐标为 (? 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y ? . 4a
过焦点弦长 CD ? x1 ? 79.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) . 80. 抛物线的切线方程: 抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . 81.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 ?F( x, y) ? 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 82.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 .
(2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 x ? a 成轴对称的曲线是 F (2a ? x, y) ? 0 .

A ? y2 ? y1 ? (? ) ? ?1 ? B ? x ? x1 (3)点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 对称,则 ? 2 . ? A ? x1 ? x2 ? B ? y1 ? y2 ? C ? 0 ? ? 2 2
83.角的取值范围 (1) 两条直线的夹角的取值范围:?0,

? ?? ? ? 2?

[0, ? ] (2) 直线到直线所成角的取值范围:

(3)两条异面直线所成角的取值范围: (0,

?

2 ? ? ? (5)直线与平面所成角的取值范围:?0, ? ? 2?

]

(4)两个向量所成角的取值范围: [0, ? ] (6)平面与平面所成角的取值范围:[0, ? ]

22

84.向量的直角坐标运算:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R); (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;

85.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . 86.空间的线线平行或垂直:设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
87.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) , b= (b1 , b2 , b3 ) , 则 cos 〈a, b〉 = 88.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

.

d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .
空间一点 P 到平面 ABC 的距离公式: d ?

PA ? n n
② V斜棱柱 ? S1l .

89. 斜棱柱的直截面:已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的 直截面的周长和面积分别是 c1 和 S1 ,则① S斜棱柱侧 ? c1l . 90.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 91.柱体、锥体的体积 V柱体 ? Sh . V锥体 ? 球的体积: V球 ?

1 Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3

4 3 ?R ; 球的表面积: S球 ? 4?R 2 3

球面距离公式: ( 1 ) 球 面 上 两 点 A 、 B 的 纬 度 分 别 为 ? 1 、 ? 2 , 经 度 相 同 , 则 AB 的 球 面 距 离 为

AB ? R ? cos(?1 ? ? 2 )
(2)球面上两点 A 、 B 的纬度相同为 ? ,经度分别为 ? 、 ? ,则 AB 的球面距离为

AB ? R ? arccos[sin2 ? ? cos2 ? ? cos(? ? ? )]
92.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ?

? mn . 93.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ? ? mn . n! * m 94.排列数公式 An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)! 2 3 An ? n ? (n ? 1) ; An ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ; n! ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 。
95.组合数公式 C
m n =

n! Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) * m? N , = = ( n ∈N , 且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am
23

n ? (n ? 1) n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 3 0 ;C n 。 注:规定 Cn ? ? 1 ;0! ? 1 . 2 ?1 3 ? 2 ?1 m m n?m m?1 m 96.组合数的两个性质(1) C n = Cn ; (2) C n + Cn = Cn ?1 .
2 Cn ?

97.组合恒等式
0 1 2 r n (1) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n . 1 3 5 0 2 4 (2) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2n?1 .
m m 98.排列数与组合数的关系 An . ?m ! ? Cn

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 99.二项式定理: (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn 1, 2?,n) . a b (r ? 0,

100.特殊数列的极限

?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? b0 t t ?1 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim

(k ? t ) (k ? t ) (k ? t )
.

a1 1 ? q n 1? q

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

101.几个常用极限(1) lim
x

1 n ?0; (2) lim a ? 0 ( | a |? 1 ) ; n ?? n ?? n

? 1? (3) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?? ? x? 102.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ?? n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ??

(2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ??

a a (3) lim n ? ? b ? 0 ? ; (4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数). n ?? n ?? n ?? n ?? b b n 103.复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 104.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)与共轭
| z | = | a ? bi | = a 2 ? b 2 ; z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ;
z1 z1 n n ? ; z ? z ; z ? a ? bi ; z2 z2 z z1 )? 1 。 z2 z2

z1 ? z 2 ? z1 ? z2 ;

z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (

105.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ;

24

(4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

106. 复平面上的两点间的距离公式 d ?| z1 ? z2 |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i ,

z2 ? x2 ? y2i ).
107.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b2 ? 4ac ① ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ? ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 它在实数集 R 内没有实数根; 在复数集 C 内有且仅有两个共轭复
2

数根 x ?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a
2

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 108.样本数据 x1 , x2 , x3 ... xn 的方差: s ? n ?1
总体数据 x1 , x2 , x3 ... xn 的方差: s ?
2

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

总体方差的点估计值(样本 x1 , x2 , x3 ... xn ) :

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 s ? n ?1
2

随机变量 x1 , x2 , x3 ... xn 的均值(数学期望) : E? ? x1 P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n 随机变量 x1 , x2 , x3 ... xn 的方差:
2 2 D? ? ( x1 ? E? ) 2 ? P 1 ? ( x2 ? E? ) ? P 2 ? ? ? ( xn ? E? ) ? P n

109.和差化积与积化和差

2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin ; 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos ; 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2 sin cos ; 2 2 1 sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; 2 1 cos ? ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; 2
25

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??



1 cos ? ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] ; 2 1 sin ? ? sin ? ? ? [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 。 2 s ?x ? ? c o ? x 110.直角坐标与极坐标的互化公式 ? ; x 2 ? y 2 ? ? 2 ; ? tan? y ? ?y ? ? s i n

(注意:以上公式仅供参考,具体见课本)

26


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