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学案46 新28和、差、倍角的三角函数

高二文科数学

学案 28 和、差、倍角的三角函数

一、课前准备: 【自主梳理】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: C (? ?? ) ,cos(? ? ? ) ? S (? ?? ) ,sin(? ? ? ) ? T (? ?? ) , tan(? ? ? ) ? 由 T (? ? ? ) 可得公式变形 ;C (? ?? ) ,cos(? ? ? ) ? ;S (? ? ? ) ,sin(? ? ? ) ? .

tan ? ? tan ? ?

T (? ?? ) , tan(? ? ? ) ?

由 T (? ?? ) 可得公式变形得: tan ? ? tan ? ? 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2a : sin 2a = ________________; T2a : tan 2a = ________________。

C2a : cos 2a = ________________=________________=________________;
【自我检测】 1. sin43° cos13° -sin13° cos43° 的值为______________. 2. sin105° cos105° 的值为_______________.

1 3 , cos(a - b ) = ,则 tan a tan b = _________. 5 5 p 4. 函数 y =sinx+cos ( x - ) 的最大值和最小值分别为_____________. 6 p 3 3 5. ( 必修 4P97 第 7 题改编 ) 设 0 < a < < b < p ,sin a = ,sin(a + b ) = , 则 sin b 的值为 2 5 5
3. 若 cos(a + b ) = ___________。 二、课堂活动: 【例 1】填空题: (1)1-2 sin 22.5 = (2)已知 ? , ? 为锐角,且 sin ? ? sin ? ? ? (3)若 ? ? (0,
2 0

?

1 1 , cos ? ? cos ? ? ,则 cos(? ? ? ) ? 2 3

1 ), 且 sin 2 ? ? cos 2? ? , 则 tan ? ? 2 4

【例 2】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边分别与 单位圆交于 A、B 两点.已知 A、B 的横坐标分别为 求(1)tan(α+β) 的值;(2)α+2β 的值. O 2 2 5 、 . 10 5 y

A α B
β

1

x

【例 3】已知函数 f(x)=- 3sin2x+sinxcosx. 25π α 1 3 (1)求 f( )的值; (2)设 α∈(0,π),f( )=- - ,求 sinα 的值. 6 2 4 2

三、课后作业 1.cos43° cos77° +sin43° cos167° = 4 π π 2.已知 cosα=- ,且 α∈( ,π),则 tan( +α) = 5 2 4

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 3.双曲线 4 16
4.复数



i 在复平面内对应的点位于第 1? i

.象限.

5.sin15° sin30° sin75° =__________. 6.公差不为零的等差数列 {an } 的第二、三及第六项构成等比数列,则 7.cos20° cos40° cos60° cos80° = π 3 12 3 8.已知 <β<α< π,sin(α-β)= ,cos(α+β) =- ,则 sin2α= 2 4 13 5

a1 ? a 3 ? a 5 = a2 ? a4 ? a6



9.若关于 x 的方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根可分别作为一个椭圆、 双曲线、 抛物线的离心率,
3 2



b 的取值范围为 a



10. 已知直线 l 经过椭圆

y2 ? x 2 ? 1的焦点并且与椭圆相交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 2


线与 x 轴相交于点 M ,则 ?MPQ 面积的最大值为

11. 如图,四边形 ABCD 为正方形,在四边形 ADPQ 中, PD // QA .又 QA ⊥平面 ABCD ,

1 CP 上是否存在一点 R , PD( . 1) 证明: 平面 DCQ ; (2) 使 QR // 平面 ABCD , PQ ⊥ 2 若存在,请求出 R 的位置,若不存在,请说明理由. QA ? AB ?

12.已知集合 A ? {x y ? ln

2ax } , B ? {x ( x ? 2)(x ? 3a ? 1) ? 0} . x ? (a 2 ? 1)
(2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

(1)若 a ? 2 ,求集合 A ;

13. 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 数 列 {an 2 } 的 前 n 项 和 为 Tn , 且
2 , n ? N* .(1) 证明数列 {an } 是等比数列,并写出通项公式; ( Sn ? 2 ) ? T 3n ? 4

(2) 若 S n ? ?Tn ? 0 对 n ? N* 恒成立,求 ? 的最小值;
2

14.要制作一个如图的框架(单位:米) ,要求所围成的总面积为 19.5(米 2) ,其中 ABCD 是一个 矩形,EFCD 是一个等腰梯形,梯形高 h=

1 3 AB, tan ∠ FED= ,设 AB=x 米,BC=y 米. 2 4

(1)求 y 关于 x 的表达式; (2)如何设计 x,y 的长度,才能使所用材料最少?

参考答案
自我检测:

1 1 1 24 (1) (2) ? (3) (4) 3, ? 3(5) 2 4 2 25
课堂活动: 例 1: (1)

2 2

(2)

59 72

(3) 3

(4) 6

例 2:解: a ? b ? (cos ? ,sin ? ) ? (cos ? ,sin ? ) ? cos(? ? ? ) ?

2 2



1 1 3 ?1 a ? c ? cos ? ? sin ? ? 2 2 4
由①得 ? ? ? ? ?

? ? ? ? , ?? (0 , )? ? ?? - ? ? ②
2 2 2

?
4

由②得 ? ?

?
6

( 0, ) 又 ?, ? ? 2

?

?? ?

2? ? ? ?
变式 2-1

2? 3

5? 12

a + 2b =

? 4

例 3:解:

6sin 2 a + sin a cos a - 2cos2 a = 0, \ (3sin a + 2cos a )(2sin a - cos a ) = 0
p 2 2 3 a ? [ , p ] ? tan ? ? ? , sin ? ? , cos ? ? ? 2 3 13 13

2 1 tan ? ? ? 或 又 3 2 sin 2? ? ?

12 5 ? 5 3 ? 12 , cos 2? ? ? sin(2? ? ) ? 13 13 3 26

变式 3-1: ? 课后作业 1..- 1 2

1 2
1 2. 7 4 3.- 7 4. ?

7 25

5.

1 8

6 .

3

7.

1 56 8. ? 8 65

9.解:①由题意可知 cos a =

2 10

cos b= 5

2 5

? , ? 为锐角,

所以 sin ? ?

7 2 1 1 , tan ? ? 7,sin ? ? , tan ? ? 10 2 5

tan(α+β)=-3

1 tan(? ? ? ) ? tan ? 2 ? ?1 ② tan(α+2β)=tan [(α+β)+ β]= ? 3 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1? 2 3? 3? ? 0 ? ? ? 2? ? ? ? 2? = 2 4 ?3 ?
10.解: (1)f(x)=- 3sin2x+sinxcosx=

? , ? 为锐角

1 3 ? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 3 2

所以

3 25π f( )= ? 6 2 s i n? (?

α 1 3 (2)f( )=- - 2 4 2

?
3

?)

? 1 3 1 3 =- - , sin(? ? ) ? ? 4 2 3 4 2
2? 3
所 以 ?

α ∈ (0 , π)

?

?
3

?? ?

?
3

?

?
3

?? ?

?

? 15 ? 0, cos(? ? ) ? 3 3 4
3 ? 3 ?5 ? 1 8

sin ? ? s i? n( ?

?
3

?

?
3

? )

s ?i n? ( 3

?

?

) co ? s ? c? os( 3 3

?

? 1

1 15 ? ) s? in ? ? 3 4 2 4

2


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