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高中数学圆锥曲线知识点总结


高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线: 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点 与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是 这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做 曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系:若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y
0

)=0;点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0。

两条曲线的交点:若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ? {
f1 ( x0 , y0 ) ? 0 f 2 ( x0 , y0 ) ? 0

方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的

交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。 二、圆: 1、定义:点集{M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 2、方程:(1)标准方程:圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2 (2)一般方程:①当 D2+E2-4F>0 时,一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方 程,圆心为 ( ? (x+
D E ,? ) 半径是 2 2
D 2 ? E 2 ? 4F 2

。配方,将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为

2 2 D 2 E ) +(y+ )2= D ? E - 4F 2 2 4

②当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点(-

D E ,- ); 2 2

③当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则| MC|<r ? 点 M 在圆 C 内,|MC|=r ? 点 M 在圆 C 上,|MC|>r ? 点 M 在圆 C 内, 其中|MC|= (x 0 - a) 2 ? (y 0 - b) 2 。 (4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与
-1-

圆相交 ? 有两个公共点;直线与圆相切 ? 有一个公共点;直线与圆相离 ? 没有公共 点。 ②直线和圆的位置关系的判定: (i)判别式法; (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d ?
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

与半径 r 的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义: 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称 为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率。当 0<e<1 时,轨迹为椭圆; 当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e>1 时,轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线: 椭圆 双曲线 抛物线

1.到两定点 F1,F2 的 1.到两定点 F1,F2 的距 距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点 定义 的轨迹 2.与定点和直线的 离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 与定点和直线的距离 轨迹 相等的点的轨迹. 2. 与定点和直线的距离 距离之比为定值 e 的 之比为定值 e 的点的轨 点的轨迹.(0<e<1) 轨迹条 MF2|=2a,|F 1F2| 件 <2a= =±2a,|F2F2|>2a}. MF2|. M 到直线 l 的距离}. 迹.(e>1) 点集{M| |MF|=点

点集: ({M||MF1+| 点集:{M||MF1|-|

图形

-2-

标 方 准 方 程 程 参 数 方 程 范围 中心 顶点 (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 对称轴 长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a, 虚轴长 2b. 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0)
p F ( ,0 ) 2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y 2 ? 2 px

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)

? x ? 2 pt 2 (t 为参数) ? y ? 2 pt ?

─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0),

|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0) x 轴,y 轴;

x?0

(0,0)

x轴

x=± 准 线

a c

2

x=±

a c

2

x=-

p 2

准线与焦点位于顶点 两侧,且到顶点的距

准线垂直于长轴,且 准线垂直于实轴,且在 在椭圆外. 两顶点的内侧. 离相等.

焦距 离心率

2c (c= a 2 ? b 2 )
e? c (0 ? e ? 1) a

2c (c= a 2 ? b 2 )
e? c (e ? 1) a

e=1

【备注 1】双曲线:
-3-

⑶等轴双曲线: 双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 y ? ? x , 离心率 e ?

2.

⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲 线的共轭双曲线. x 2
a
x2 a
2
2

?

y2 x2 y2 与 ? ? ? ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: b2 a2 b2

?

y2 b2

? 0.
2

⑸共渐近线的双曲线系方程: x 2
a

?

y2 b2

? ? (? ? 0) 的渐近线方程为
2

x2 a2

?

y2 b2

? 0 如果双曲线的

渐近线为 x ? y ? 0 时,它的双曲线方程可设为 x 2
a b
a

?

y2 b2

? ? (? ? 0) .

【备注 2】抛物线: (1)抛物线 y 2 =2px(p>0)的焦点坐标是( ,0),准线方程 x=p 2 p 2

p 2

p ,开口向右;抛物 2

线 y 2 =-2px(p>0)的焦点坐标是(- ,0), 准线方程 x= , 开口向左; 抛物线 x 2 =2py(p>0) 的焦点坐标是(0, ),准线方程 y=p 2 p 2

,开口向上;
p 2 p 2

抛物线 x 2 =-2py(p>0)的焦点坐标是(0,- ) ,准线方程 y= ,开口向下. (2)抛物线 y 2 =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? x0 ? ;抛物线
y 2 =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ?
p ? x0 2
p 2

p 2

(3)设抛物线的标准方程为 y 2 =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 , 顶点到准线的距离 ,焦点到准线的距离为 p. (4)已知过抛物线 y 2 =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则线段 AB 称为 焦点弦,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 AB = x1 ? x2 +p 或 AB ? 倾斜角), y1 y2 ? ? p2 , x1 x2 ? 五、坐标的变换:
-4-

p 2

2p (α为直线 AB 的 sin 2 ?

p2 p , AF ? x1 ? ( AF 叫做焦半径). 4 2

(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标 轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都 不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐 标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (3) 坐标轴的平移公式: 设平面内任意一点 M, 它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y), 在新坐标系 x ′O′y′中的坐标是 ( x ' , y ' ) .设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中 的坐标是(h,k),则
x ? x'? h y ? y '? k



x' ? x ? h y' ? y ? k

叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: 方 程 焦 点 (±c+h,k) 焦 线
a2 x=± +h c a2 +k c a2 +k c

对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k y=k y=k x=h

(x - h)2 (y - k)2 + 2 =1 a2 b

椭圆
(x - h)2 (y - k)2 + 2 =1 b2 a (x - h)2 (y - k)2 - 2 =1 a2 b

(h,±c+k)

y=±

(±c+h,k)

x=±

双曲线
(y - k)2 (x - h)2 - 2 =1 a2 b

(h,±c+h)
p 2

a2 y=± +k c

(y-k)2=2p(x-h) (y-k)2=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)2=2p(y-k) (x-h)2=-2p(y-k)

( +h,k) (- +h,k) (h,
p +k) 2 p +k) 2 p 2

x=- +h x= +h y=- +k
p 2 p 2 p 2

p 2

(h,-5-

y= +k

x=h

六、椭圆的常用结论: 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长 轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 6. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 P1P2 的直线方程是 7. 椭圆
x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b

x2 y 2 ? ? 1 外,则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 a 2 b2

?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

.

8. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的焦半径公式 a 2 b2

| MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).

9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11.AB 是椭圆 即 K AB ? ?
x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? ? 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, 则 , ( x , y ) OM AB 0 0 a 2 b2 a2

b 2 x0 。 a 2 y0

x2 y 2 12.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a b x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 ; a2 b a b
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【推论】 : 1、若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 椭圆
x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 。 ? ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a b a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交 a 2 b2

椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 3、若 P 为椭圆

b2 x0 (常数). a 2 y0

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, a 2 b2
a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则

x2 y 2 4、设椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任 a b

意一点,在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有 5、若椭圆

sin ? c ? ?e. sin ? ? sin ? a

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e a 2 b2

≤ 2 ? 1 时, 可在椭圆上求一点 P, 使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6、P 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 7、椭圆 a2 b2

A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .

8、已知椭圆 (1) 是

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点, 且 OP ? OQ . a 2 b2

4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ;(3) S?OPQ 的最小值 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2

a 2b 2 . a 2 ? b2
-7-

x2 y 2 9、过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN a b

的垂直平分线交 x 轴于 P,则 10、已知椭圆

| PF | e ? . | MN | 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分 a 2 b2

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a

11、设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 a 2 b2

记 ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 12、 设 A、 B 是椭圆

? 2b2 .(2) S?PF1F2 ? b 2 tan . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 ?PAB ? ? , ? ?1 ( a>b>0) 的长轴两端点, P 是椭圆上的一点, a 2 b2

?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率, 则有(1) | PA |?

2ab2 | cos ? | .(2) a 2 ? c 2co s2 ?

tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13、 已知椭圆

x2 y 2 ? ?1 ( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F 的 a 2 b2

直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与 相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必 与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
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七、双曲线的常用结论: 1、点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2、PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切: P 在左支)
x2 y 2 5、若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 a b
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

6、若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切 a 2 b2
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 7、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意 a 2 b2

一点 ?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F PF ? b 2co t .
1 2

?

2

x2 y 2 8、双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) )当 M ( x0 , y0 ) 在 a b

右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a ;当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时,
| MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 。

9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11、AB 是双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中 a 2 b2

点,则 K OM ? K AB ?

b 2 x0 b 2 x0 ,即 。 K ? AB a 2 y0 a 2 y0
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x2 y 2 12、若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程 a b



x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2

13、若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线
x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

【推论】 :
x2 y 2 1、双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线 a b

交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2、过双曲线

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线 a 2 b2

交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 3、若 P 为双曲线

b2 x0 (常数). a 2 y0

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 a 2 b2
c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

是焦点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则

x2 y 2 4、设双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲 a b

线上任意一点,在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有
sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 a 2 b2

1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比 例中项. 6、P 为双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定 a 2 b2

点, 则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时, 等号
- 10 -

成立. 7、双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a 2 b2

A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 .

x2 y 2 8、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 a b
OP ? OQ .

(1) 是

4a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ;(3) S?OPQ 的最小值 ? ? ? b2 ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2

a 2b 2 . b2 ? a2 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两 a 2 b2 | PF | e ? . | MN | 2

9、过双曲线

点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 10、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 或 x0 ? ? . a a

分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ?

x2 y 2 11、设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦 a b

点记 ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 12、设 A、B 是双曲线
?PAB ? ?

? 2b2 .(2) S?PF1F2 ? b2 cot . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, a 2 b2

, ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有
2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? |
2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

(1) | PA |?

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 13、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦 a 2 b2

点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经
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过线段 EF 的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论: ① ay2 ?by ? c ? x 顶点 ( 4ac ?b
4a
2

?

b ). 2a
2 y? P 2

② y 2 ? 2 px( p ? 0) 则焦点半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 则焦点半径为 PF ? ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ? x ? 2 pt (或 ?
2

.

?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

? y ? 2 pt

) ( t 为参数).
x 2 ? ?2 py

y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x2 ? 2 py

y

y



y



y

图形

x O

x O

x O

x O

焦点 准线 范围

F(

p ,0) 2 p 2

F (?

p ,0) 2 p 2

F (0,

p ) 2 p 2

F (0,?
y?

p ) 2
p 2

x??

x?

y??

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

- 12 -

对称轴 顶点 离心率 焦点
PF ? p ? x1 2

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

- 13 -

- 14 -

圆锥曲线的性质对比

圆锥曲 线 标准方 程 范围

椭圆

双曲线

抛物线

(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 x∈[-a,a] y∈[-b,b]

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R

y^2=2px p>0

x∈[0,+∞) y ∈R 关于 x 轴对称 (0,0)

对称性 顶点

关于 x 轴,y 轴,原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,b)

关于 x 轴,y 轴,原点对称 (a,0),(-a,0)

焦点

(c,0),(-c,0) 【其中 c^2=a^2-b^2】

(c,0),(-c,0) 【其中 c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c y=±(b/a)x e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣ =∣ex-a∣ p=(b^2)/c
- 15 -

(p/2,0)

准线 渐近线 离心率 焦半径

x=±(a^2)/c —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=aex

x=-p/2 ————— e=1 ∣PF∣=x+p/2

焦准距

p=(b^2)/c

p

通径 参数方 程

(2b^2)/a x=a· cosθ θ 为参数

(2b^2)/a y=b· sinθ , x=a·secθ y=b·tanθ ,θ 为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1

2p x=2pt^2 y=2p t,t 为参数

过圆锥 曲线上 一点

(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2) =1 (x0,y0)的切线方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b ^2]

y0· y=p(x+x0)

斜率为 k 的切 线方程

y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b ^2]

y=kx+p/2k

- 16 -


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