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高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换(1)课时提升作业2新人教A版必修4

简单的三角恒等变换(一)

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)

1.已知 x∈

,cos2x=a,则 cosx= ( )

A.

B.-

C.

D.-

【解析】选 D.依题意得 cos2x=

=,

又 x∈

,因此 cosx=-

.

2.已知α 是锐角,且 sin

= ,则 sin

A.

B.-

C.

【解析】选 B.由 sin 又α 为锐角,

= ,得 cosα = ,

所以 sin

=-sin =-

的值等于 ( ) D.-

=-

=- =- .

3.

=( )

A.

B.

C.2

D.

【解题指南】70°与 20°可以用诱导公式联系起来,10°与 20°可以用二倍角公式联系起来.

【解析】选 C.因为

=

=

=2.

4.(2014·吉安高一检测)已知θ 为第二象限角,25sin2θ +sinθ -24=0,则 sin 的值是 ( )

A.-

B.±

C.

【解析】选 D.由 25sin2θ +sinθ -24=0 得

=0

解得 sinθ =-1 或 sinθ = ,

又因为θ 是第二象限角,所以 sinθ = ,

所以 cosθ =-

=-

因为θ 是第二象限角,

所以 是第一或第三象限角,

=- ,

D.±

所以 sin =±

=± =± .

5.若 f(x)=2tanx-

,则 f

的值为 ( )

A.-

B.8

C.4

D.-4

【解析】选 B.因为 f(x)=2tanx+

=2tanx+

=

=



所以 f

= =8.

6.(2014·鹤岗高一检测)设 a= cos7°+ sin7°,b=

A. b>a>c C. a>c>b D.

B. a>b>c c>b>a

【解析】选 A.因为 a= cos7°+ sin7° =sin30°·cos7°+cos30°·sin7° =sin37°,

,c=

,则有 ( )

b=

=tan38°,

c=

=sin36°,

因为 tan38°>sin38°>sin37°>sin36°, 所以 b>a>c.

【变式训练】(2012·江西高考)已知 f(x)=sin2 x+ ,若 a=f(lg5),b=f

A.a+b=0

B.a-b=0

C.a-b=1

D.a+b=1

【解题指南】先将 f(x)进行降幂,然后求得 a,b.

【解析】选 D. a=f(lg5)=sin2

=

=



b=f

=sin2

=

,则 ( )

=

=



则可得 a+b=1. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)

7.设 5π <θ <6π ,cos =a,则 sin 的值等于

.

【解析】因为 5π <θ <6π ,所以 < < ,

所以 sin =-

=-

=-

.

答案:-

8.(2013·新课标全国卷Ⅱ改编)已知 sin2α = ,

则 cos2

=

.

【解题指南】利用“降幂公式”将 cos2

化简,建立与 sin2α 的关系,可得结果.

【解析】因为 cos2

=

=

=

,所以 cos2

=

= =.

答案:

9.(2014·北京高一检测)若 cosα =- ,α 是第三象限角,则

=

.

【解析】因为 cosα =- ,α 是第三象限角,

所以 sinα =-

=-

=- ,

因为

=

=

=

=

= =- .

答案:-

【变式训练】已知 sinα =- ,且α 为第三象限的角,则 tan 等于 ( )

A.-

B.-

C.

D.

【解析】选 A.由 sinα =- ,且α 为第三象限的角,

则 cosα =- .

所以 tan =

= =- .

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

10.设-3π <α <- ,化简

.

【解析】因为-3π <α <- ,

所以- < <- ,cos <0. 又由诱导公式得 cos(α -π )=-cosα ,

所以

=

=

=-cos .

【误区警示】解答本题容易忽视角 终边位置的判断,误认为

11.证明:

=tan

.

【证明】

=

=

=

=

故原式成立.

=tan

.

【一题多解】tan

=

=

=



=

=

.

=

=cos .

故原式成立.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·天津高一检测)已知θ 是第三象限角,|cosθ |=m,且 sin +cos >0,则 cos 等于 ( )

A.

B.-

C.

D.-

【解析】选 D.因为θ 是第三象限角,|cosθ |=m, 所以 cosθ =-m.

因为θ ∈

(k∈Z),

所以 ∈

(k∈Z).

而 sin +cos >0, 所以 ∈

(k∈Z),为第二象限角,

可得 cos =-

=-

,故选 D.

2.设 p=cosα cosβ ,q=cos2

,那么 p,q 的大小关系是 ( )

A.p<q

B.p>q

C.p≤q

【解析】选 C.p-q=cosα cosβ -cos2

=cosα cosβ = (cosα cosβ +sinα sinβ -1) = [cos(α -β )-1]≤0,所以 p≤q.

D.p≥q

3.化简 A.-cos1

C. cos1

【解析】选 C.

【变式训练】 A.sin2 C. cos2

【解析】选 D.

=

=

=- cos2.

的结果是 ( ) B.cos1 D.- cos1 = 等于 ( ) B.-cos2 D.- cos2

= cos1.

4.已知 sinθ = ,cosθ =

,则 tan = ( )

A.C.-5 或 【解析】选 B.因为 sinθ =

B.5

D.- 或 5

,cosθ =



所以 sin2θ +cos2θ =

+

整理得 4m2-32m=0,解得 m=0 或 m=8,

当 m=0 时,sinθ =- <0,

=1,

这与 <θ <π 矛盾,故 m=8. 所以 sinθ = ,cosθ =- ,

所以 tan = =

=

=

=5.

【误区警示】解答本题容易忽视角θ 的取值范围,误认为 m=0 或 m=8,导致计算 tan 时出错.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.设α 是第二象限角,tanα =- ,且 sin <cos ,则 cos =

.

【解析】因为α 是第二象限角,

所以 可能在第一或第三象限.

又 sin <cos ,

所以 为第三象限角,所以 cos <0. 因为 tanα =- ,所以 cosα =- ,

所以 cos =-

=- .

答案:-

6.在△ABC 中,若 cosA= ,则 sin2 +cos2A 等于

.

【解题指南】解答本题要注意三角形内角和定理和诱导公式的综合应用,即 sin =cos .

【解析】因为 A+B+C=π ,所以 + = ,

所以 sin =cos , 所以 cos2 +cos2A= =2cos2A+ cosA-

+2cos2A-1

=2×

+ × - =- .

答案:-

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分)

7.求证:

-tan ·

=.

【证明】左边=

-

· 1+ ·

=

· 1+ ·

=

+

··

=

+

=

+

=

=

= =右边,

所以原等式成立. 【拓展延伸】三角恒等变换的两个原则 (1)化繁为简:变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为 单项式,化无理式为有理式. (2)清除差异:消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面 的差异. 注意:要正确把握公式的结构,明确变形方向,才能准确地应用公式,达到求解目的.

8.已知函数 f(θ )=- +

(0<θ <π ).

(1)将 f(θ )表示成关于 cosθ 的多项式. (2)若 a∈R,试求使曲线 y=acosθ +a 与曲线 y=f(θ )至少有一个交点时 a 的取值范围.

【解析】(1)f(θ )=- +

=- +

=- +

=- +

=2cos2θ +cosθ -1. (2)由 2cos2θ +cosθ -1=acosθ +a, 得(cosθ +1)(2cosθ -1)=a(cosθ +1). 因为 0<θ <π ,所以 cosθ +1≠0,

所以 cosθ = 即-3<a<1.

,所以-1<

<1,