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陕西省高中数学 第三章 推理与证明 点拨“反证法”拓展资料素材 北师大版选修1-2


点拨“反证法” 反证法是一种重要的间接证明方法,下面加以系统归纳,供参考. 1.宜用反证法证明的题型 ①易导出与已知矛盾的命题;②否定性命题;③惟一性命题;④至少至多型命题;⑤一 些基本定理;⑥必然性命题等. 2.步骤 ①假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立(反设) ;②从这个假设出发,经过推 理论证,得出矛盾(归谬) ;③由矛盾判断假设不成立,从而肯定命题的结论成立(结论) . 3.典例分析 b b ? c c a ? 例 求证: a、 b、 c 为正实数的充要条件是 a ? b ? c ? 0 , 且a ? 0 和 abc ? 0 . 分析:由 a、b、c 是正实数,显然易得 a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? 0 , abc ? 0 .即 “必要性”的证明用直接证法易于完成,并不需要用反证法.证明“充分性”时,要综合三 个不等式推出 a、b、c 是正实数,有些难度,于是,试试反证法. 证明: (1)证必要性. (略) (2) 证充分性. 假设 a、 b、 c 不全为正实数 (原结论是 a、 b、 c 都是正实数) , 由于 abc ? 0 , 则它们只能是二负一正. 不妨设 a ? 0 且 b ? 0 且 c ? 0 , 又由于 ab ? bc ? ac ? 0 ? a(b ? c) ? bc ? 0 , ∵ bc ? 0 ,∴ a(b ? c) ? 0 .① 又∵ a ? 0 ,∴ b ? c ? 0 .② 而 a ? b ? c ? 0 ? a ? (b ? c) ? 0 , ∴ a ? 0 ,与 a ? 0 的假设矛盾. ∴假设不成立,原结论成立,即 a、b、c 均为正实数. 说明:如果从①处开始,如下进行推理: ∵ a ? b ? c ? 0 ,即 a ? (b ? c) ? 0 ,又 a ? 0 ,∴ b ? c ? 0 . 则 a(b ? c) ? 0 ,与①式矛盾. 这样,矛盾的焦点就发生在两部分推理的结论上了,即自相矛盾;还可以让矛盾的焦 点发生在已知条件上,从②处开始,于是 a ? b ? c ? 0 ,与已知 a ? b ? c ? 0 矛盾,这个途 径最简捷. 评注:反证法矛盾的焦点,可以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、 “反面假设”矛盾,也可以自相矛盾(即两部分推理的结果) .其本质是,先利用的和剩余 者之间的矛盾.究竟先利用哪些好,应根据题目的具体情况决定.顺其自然,因势利导,不 必拘泥于一格.

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