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含绝对值函数的最值问题


专题三: 含绝对值函数的最值问题
1. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 2 | x ? a | ( a ? 0 ) , 若 对 任 意 的 x ? [0, ??) , 不 等 式
2

f ( x ? 1) ? 2 f ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.
不等式 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? 化为 ? x ? 1? ? 2 x ? 1 ? a ? 2 x 2 ? 4 x ? a
2

即: 4 x ? a ? 2 x ? ?1 ? a ? ? x 2 ? 2 x ? 1 (*)对任意的 x ? ? 0, ?? ? 恒成立因为 a ? 0 ,所 以分如下情况讨论:
[来源:学科网 ZXXK]

①当 0 ? x ? a 时,不等式(*) x2 ? 4x ? 1 ? 2a ? 0对?x ?[0, a]恒成立

? g ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1 ? 2a ? 0在[0, a]上单调递增 ?只需g ( x)min ? g (0) ? 1 ? 2a ? 0 ?0 ? a ? 1 2

②当 a ? x ? a ? 1 时,不等式(*)即 x2 ? 4x ? 1 ? 6a ? 0对?x ? (a, a ? 1]恒成立 由①知 0 ? a ?

1 ,?h( x) ? x2 ? 4x ? 1 ? 6a在(a, a ? 1]上单调递减 2

?只需h( x)min ? h(1 ? a) ? a2 ? 4a ? 2 ? 0 ? a ? ?2 ? 6或a ? 6 ? 2
? 6 ?2? 1 1 ? 6 ?2? a ? 2 2

2.已知函数 f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a 为正数),且函数 f(x)与 g(x)的图象在 y 轴上的截 距相等.(1)求 a 的值;(2)求函数 f(x)+g(x)的最值. 【解析】(1)由题意 f(0)=g(0),∴|a|=1.又∵a>0,∴a=1. (2)由题意 f(x)+g(x)=|x-1|+x2+2x+1. 当 x ≥ 1 时,f(x)+g(x)=x2+3x 在[1,+∞)上单调递增, 1 ? 1 当 x<1 时,f(x)+g(x)=x2+x +2 在? ?-2,1?上单调递增,在(-∞, ? ]上单调递减.

2

因此,函数 f(x)+g(x)在(-∞, ? 所以,当 x= ?

1 1 - ,+∞?上单调递增. ]上单调递减,在? 2 ? ? 2

1 7 时,函数 f(x)+g(x)的最小值为 ;函数无最大值. 2 4

5.已知函数 f ( x) ? x ? 2x x ? a ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 4 ? f ( x) ? 16 在 x ? [1, 2] 上恒成立,求 a 的取值范围.

6.设函数 f ( x) ? x | x ? a | ?b , a, b ? R

(1)若 a ? 1, b ? ?
[来源:学科网]

1 ,求函 数 f ( x) 的零点; 4

(2)若函数 f ( x) 在 [0,1] 上存在零点,求实数 b 的取值范围. 解: (Ⅰ)分类讨论解得: x ?

1 1? 2 ...................................................4 分 ,x ? 2 2

(Ⅱ)函数 f ( x) 在 [0,1] 上存在零点,即 x | x ? a |? ?b , x ? [0,1] 上有解, 令 g ( x) ? x | x ? a | ,只需 ?b ?{ y | y ? g ( x), x ?[0,1]} ..................................................5 分 当 a ? 0 时, g ( x) ? x( x ? a) ? x2 ? ax ,在 [0,1] 递增, 所以 g ( x) ?[0,1 ? a] ,即 a ? 1 ? b ? 0 .......... .....................................................................7 分 当 a ? 1 时, g ( x) ? x(a ? x) ? ? x2 ? ax ,对称轴 x ?

a 2

又当 a ? 2 g ( x) 在 [0,1] 递增,所以 g ( x) ?[0, a ? 1] ,即 1 ? a ? b ? 0 当1 ? a ? 2

a2 a2 a a g ( x) 在 [0, ] 递增, [ ,1] 递减,且所以 g ( x) ? [0, ] ,即 ? ? b ? 0 2 2 4 4

................................ ...............................................................................................................10 分
2 ? ?? x ? ax x ? [0, a ] 当 0 ? a ? 1 时, g ( x) ? x(a ? x) ? ? 2 x ? [a,1] ? ? x ? ax

易知, g ( x) 在 [0, ] 递增, [ , a ] 递减, [a,1] 递减,所以 f ( x)min ? 0 ,

a 2

a 2

f ( x)max

a2 ? { f (a), f (1)} ? { ,1 ? a} , 4

当 0 ? a ? 2( 2 ?1) , f ( x)max ? f (1) ? 1 ? a ,所以 g ( x) ?[0,1 ? a] ,即 a ? 1 ? b ? 0 当 2( 2 ?1) ? a ? 1 , f ( x) max ? f (a) ?

a2 a2 a2 ?b?0 ,所以 g ( x) ? [0, ] ,即 ? 4 4 4

.....................................................................................................................................................14 分 综上所述:当 a ? 2( 2 ?1) 时, a ? 1 ? b ? 0

a2 ?b?0 当 2( 2 ?1) ? a ? 2 , ? 4
1 ? a ? b ? 0 ........................................................................................15 分 当a ? 2,

7.已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ? 4? x ? 3 ? a . (I)若 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上不单调,求 a 的取值范围; (II)若对于任意的 a ? (0, 4) ,存在 x0 ? ?0,2? ,使得 f ? x0 ? ? t ,求 t 的取值范围.

解: 0 ? ? (II)

a?4 ? 1 ? 2 ? a ? 4 ……5 分 2

解法: | f ? x ? |? ? ?? x ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? ? x ? 1? ? x ? 1 x ? a ? 3 ……9 分

Q x0 ?1 ? 1 , x0 ? a ? 3 ? max ? a ? 1 , 3 ? a ? ……………13 分
且上述两个不等式的等号均为 x ? 0 或 2 时取到,故

?a ? 1, 2 ? a ? 4 | f ? x ? |max ? ? ?3 ? a , 0 ? a ? 2

故 | f ? x ? |max ? 1,所以 t ? 1 ……15 分



8.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值. 解: (1)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ? ,令 ? ( x) ? ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). 因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 ,所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? (2)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x 2 ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), …10 分 ? x2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ? a ①当 ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . a a ②当 0 ≤ ≤1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减, 2 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . a a ③当 ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减, 2 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . 3 a a a ④当 ? ≤ ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [? ,2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3≥ 0 , 2 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 . a 3 当 ? ? , 即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 2 故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 . 综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.


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