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高一数学必修1第一章知识点总结


集合函数不过关,曾头马上帮你忙!

高一数学必修 1 第一章知识点总结
一、集合 (一)集合有关概念 1、集合的含义:练习 1:下列四组对象,能构成集合的是( A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素,则 a 属于 A,记作 a____A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,则 a 不属于 A,记作 a_____A 3、常用数集 自然数集______,正整数集______,整数集______,有理数集______,实数集______。 练习 2:用适当的符号填空 (1) 5 ______ N , (2) ? )

1 ___ Q, ? ____ Q 2

(3) 3 ______ ?x | x ? 2?, ?1,2? ____?? x, y? | y ? x ? 1? (4) 2 ? 5 _______x | x ? 2 ? 4、集合的中元素的三个特性 (1) 元素的______ (2) 元素的______ (3) 元素的 ______ ) 练习 3:若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长,则△ ABC 一定不是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 练习 4:下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1 ; (2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ; (3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? 1,1? ;
2

?

3 ,

?

其中正确命题的个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 5、集合常用的表示方法: 1) _______:{a,b,c??}

C. 2 个

D. 3 个

2) ________:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 {x>2} ,{x| x-3>2} 3) __________:例:{不是直角三角形的三角形}; 4) Venn 图 练习 5: 集合 M={0, 2, 3, 7}, P={x|x=ab, a、 b∈M, a≠b}, 用列举法表示, 则 P=___________. 练习 6: 集合 含义
1

{x | f ( x) ? 0}

{x | f(x) ? 0}

{x | y ? f(x)}

{ x, y) | y ? f ( x)} {y | y ? f(x)} (

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练习 7:已知集合 A ? ? x ? N |

? ?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A = ___ 6? x ?
) (C) ?3,?1? (D) (3,?1)

_

练习 8:方程组 ? (A)

?x ? y ? 2 的解集是( ?x ? y ? 4
(B) ?(3,?1)?

?x ? 3或 ? 1?

(二)集合间的基本关系 1.“包含”关系:子集( A ? B ): 注:有两种可能:

B(A)

① 任何一个集合是它本身的子集,即:________ 2.“相等”关系:________ ,如图所示:

B(A) 3.“真包含”关系:________,如图所示:

练习 10:能满足关系{a,b} ? M ? {a,b,c,d,e}的集合 M 的个数是 A.8 个 B.6 个 C.4 个 D.3 个 4. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ 规定: 空集是任何集合的_______, 空集是任何非空集合的_______。 练习 11:下列四个集合中,是空集的是( A. {x | x ? 3 ? 3} C. {x | x ? 0}
2



B. {( x, y) | y 2 ? ? x 2 , x, y ? R} D. {x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R}
2

5. 若集合 A 有 n 个元素,则其子集的个数为_______,真子集个数_________。 练习 12:写出集合{0,1,2}的所有子集: ___________________________ (三)集合的运算 1、交集,即 A ? B=____________,请用 Venn 图表示: 2、并集,即 A ? B=____________,请用 Venn 图表示: 3、补集,即 Cu A =_____________,请用 Venn 图表示:
2

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练习 13:若集合 A={1,3,x},且 A∪B={1,3,x},则满足条件的实数 x 的个数有( ) (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 ) (D)4 个

练习 14:表示右图中阴影部分的集合是( (A)A∪B (C) CU ( AUB) 练习 15:已知集合 M ? 应满足的条件是 4、相关的运算性质: 交集 并集 补集 常用重 要结论 (B)A∩B (D) CU ( A ? B)

?x | ?1 ? x

? 2?, P ? ?x | x ? t?,若 M ? P ? ? ,则实数 t

(1)A ? A =_____;(2) A ? ? ? ______(3) A ? B _____A ; (4) A ? B _____B (1) A ? A ____ A ;(2) A ? ? _____? ;(3)A ____ A ? B ;(4)B__A ?B 

(1) A ? (Cu A) ? ______;(2) A ? (Cu A) ? ______

(1)若A ? B,B ? C, 则A ____C (2) A ? B ? A ? ______; A ? B ? A ? ________

练习 16:某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小 组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组 的 有 6 人 , 同时 参 加物理 和 化 学小 组 的有 4 人, 则 同 时参 加 数学 和化学 小 组 的有 _____________人。 练习 17:全集 U ? R ,集合 A = { y | y ? 3 ? x 2 且 ? 2 ? x ? 1} , B = { y | 2 y ? 4 ? y ? 2} 。 (1)求 CU ( A ? B) ; (2)若集合 C ? { y | 2 y ? a ? 0} ,满足 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围。 二、函数的有关概念 1、函数的概念:设 A、B 是__________,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有__________的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集 合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,_____________叫做函数的定义域;____________叫做函数值, ____________叫做函数的值域. 函数的三要素:_________、__________、____________ 练习 18: 设 M ? {x | ?2 ? x ? 2} , N ? { y | 0 ? y ? 2} ,给出下列 4 个图形,其中能表示 以 M 为定义域,N 为值域的函数关系是 ( )

3

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练习 19:设一个函数的解析式 f ( x) ? 2 x ? 1 ,若它的值域为 ?? 1,2,3? ,则该函数的定义 域为 2、定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母 ? 0 ; (2)偶次方根的被开方数 ? 0 ; (3)对数式的真数必须>0;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1; (6) 式子a 中,a ? 0 ;(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义
0

练习 20:已知函数 f ( x ) ? 1 ? x 2 ? (A)[-1,1] (B){-1,1}

x 2 ? 1 的定义域是
(C) (-1,1)





(D) (??,?1] ? [1,??)

练习 21:已知函数 f ( x) ?

1 1? x

1 ? x) 的定义域为 N ,则 的定义域为 M , g ( x) ? ln(

M ?N ?(
A. x x ? 1

) B. x x ? 1

?

?

?

?

C. x ? 1 ? x ? 1

?

?

D. ? 时, 函数的值域为 , 。

练习 22: 函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 1 的值域是 函数的最大值为 3、相同函数的判断方法: , 最小值为

3 ,3 ] ; 当 x ? [?
1 ,2 ] ; 当 x ? (?

时, 函数的值域为

①表达式相同 (与表示自变量和函数值的字母无关) ; ②定义域一致 (见课本 21 页相关例 2) 练习 23:下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ?| x |, y ? )

(两点必须同时具备)

x2

B. y ?

x ? 2 ? x ? 2, y ? x 2 ? 4

y ? 1, y ?
C.

x3 x3

y ?| x |, y ? ( x ) 2
D.

4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间;(3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是__________,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有________的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 f:A→B 练习 24:下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是 ( )

4

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A. A ? R, B ? N * , f : x ?| x | B. A ? {0,1}, B ? {?1,0,1}, f : x ? ? x C . A ? Z , B ? Q, f : x ? 1 x D. A ? { ? 1,0,1 } , B ? {?1,0,1}, f : x ? x 2

练习 25: 已知点 ( x, y ) 在对应关系 f 作用下对应的元素是 ( x ? 2 y,2 x ? y ) , 则 (3,1) 在 f 作 用下对应的元素是 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 练习 26:已知函数 f ( x) ? ? 三、函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 x1 , x2 ,当_______时,都有_______,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间。 (2)减函数:如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当______时,都有_______, 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间。
2 练习 27:函数 f ( x) ? mx ? 4 x ? 1 ,在 ( ??,2) 内递减,在 (2, ??) 内递增,则 f (1) 的值

.

?x ? 2, x ? ?1
2 ?x , x ? ?1

,则 f [ f (?2)] =

;若 f ( x) ? 0 ,则 x ?

为(

) B. 3 C. 2 D. ?2

A. ?3

注意:函数的单调性是函数的局部性质; 2、函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) ○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 (注意 x 的取值范围) ○2 利用图象求函数的最大(小)值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数 y=f(x)在 x=b 处有__________; 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数 y=f(x)在 x=b 处有__________; 练习 28:在直角坐标平面内,二次函数 f ( x ) 图象的顶点为 A(1,-4),且过点 B(3,0) (1)求 f ( x ) 的函数解析式; (2)求 f ( x ) 在 (0,4] 上的最值;
5

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(3)求 f ( x ) 在 [a, a ? 2](a ? 1) 上的最值;

练习 29: 设 a ? 1, 函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 ( A. 2 ) B.2 C. 2 2 D.4

1 , 则a ? 2

(3) 图象的特点:如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在 这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是_______,减函数 的图象从左到右是________。 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法(即用定义法证明单调性): ○1 _____________;○2 ______________(通常是因式分解和配方); ○3 _______________;○4 _______________; (B)图象法(从图象上看升降) 注意:单调区间不能随便并起来。 练习 31: 求函数 f ( x) ?

x 在区间[2,5]上的最大值和最小值。 x ?1

4、函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有________,那么 f(x) 就叫做偶函数. (2)奇函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有_________,那么 f(x) 就叫做奇函数. 练习32:函数 y ?

| x| 1? x2

是(

) D、既不是奇函数,也不是偶函数

A、奇函数 B、偶函数

C、既是奇函数,又是偶函数 )

练习 33:下列结论中:不正确的个数是(

(1)若函数f ( x)中,f (0) ? f (5), 则f ( x)在[0,5]上是增函数; (2)若函数f ( x)在[-1,1]和(1,3]上是减函数,则f ( x)在[-1,3]上是减函数;
(3)定义在R上的函数f ( x)满足 f (? x) ? 1, 则f ( x)是偶函数; f ( x)

(4)函数f ( x)在[-1,1]上满足:f (?1) ? ? f (1), 则f ( x)是奇函数; (5)若函数f ( x)在[-2,3]上有f (? x) ? f ( x) ? 0,则f ( x)是奇函数。
A
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1

B. 2

C 3
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D

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4

(3)奇偶函数的性质:?偶函数的图象关于______对称;奇函数的图象关于_______对称. ?奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性_________
6

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偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性_________ ?若奇函数在 x=0 处有定义,则 f(0)=________ 练习 34: 奇函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上为减函数, 且有最小值 2 , 则它在区间 [?b, ?a] 上 ( ) A.是减函数,有最大值 ? 2 C.是减函数,有最小值 ? 2 B.是增函数,有最大值 ? 2 D.是增函数,有最小值 ? 2

练习 35: f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ? 2) ? f ( x), x ?[0,1] 时, 则 f ( ) ?( (4)多项式函数

f ( x) ? x ? 1 ,

3 2



A.

?

3 2

B.

3 2

C.0

D.1

P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ?

? a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 练习 36:设 f ( x) ? ax 3 ? bx ? 1 ,且 f (2) ? 0 ,求 f (?2) 的值 5、函数奇偶性的判定方法 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤: ○1_______________________;○2___________________________; ○3____________________________; (2)利用定理,或借助函数的图象判定 6、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法:练习 37:已知 f ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 1, 求f ( x)的解析式。
2

2) 待定系数法:练习 38:已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=0,,f(x+1)-f(x)=2x,求函数 f(x)的解析式。 3) 换元法:练习 39:已知 f ( x ?1) ? x ? 2 x , 求f ( x) 。
x 4) 利用奇偶性:练习 40:已知定义域为 R 的奇函数 f ( x ) ,当 x>0 时, f ( x) ? e ? 3x ;

则当 x ? 0 时 f ( x ) =

.

易错点: 1、属于跟包含的关系: ?属于是指_______与_________的关系;?包含是指_______与_________的关系 练习 41:在以下五个写法中: ①{0}?{0,1,2}; ② φ ?{0}; ④ 0?φ ; ⑤ 0∩φ =φ ,写法正确的个数有(
7

③ {0,1,2}?{1,2,0};



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A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 4 个

2、在应用条件 A∪B=B ? A∩B=A ? A B时,易忽略A是空集Φ 的情况: 练习 42:设 A={-4,1},B= {x | tx ? 3 ? 0}, A ? B ? A ,则 t 的值为_________ 练习 43:已知集合 A={x|2a-1≤x≤a+3},B={x| x<-1 或 x ? 5},若 A∩B=Φ ,求 a 的取 值范围。 3、描述法表示的集合的含义: 练习 44: 已知集合 M={y|y= x ? 6 x ? 7 }, N={x|y= x ? 1 }, 则集合 M 与 N 的关系是________
2

练习 45: 设 x= 系是( )

1 1 ,y= - 3 ,A={x|x=m-n 3 ,m ? Z,n ? Z }, 那么 x,y 与集合 A 的关 2 2? 3

A.x ? A, y ? A

B.x ? A, y ? A

C.x ? A, y ? A

D.x ? A, y ? A

4、集合的“交” “并” “补”运算中,端点是否可取问题:

B? x 2? x?9 , 练习 46: 已知集合 A= x 1 ? x ? 6 , (1) 分别求 C R ( A ? B) , (C R B ) ?
(2)已知 C ? x a ? x ? a ? 1 ,若 C ? B ? B ,求实数 a 的取值.

?

?

?

?

A;

?

?

5、求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 练习 47:定义在(-1,1)上的奇函数 f (x )是减函数,且 f(1 ? a ) ? f(1 ? 2a ) ? 0 ,求 a 的取值范围。

6、判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 练习 48:判断函数的奇偶性: f ( x) ? 1 ? 2x ? 2x ?1

7、根据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值, 作差, 判正负.) 练习 49:证明:函数 f ( x) ?

1 在 (??,1) 上为增函数. ( x ? 1) 2

8、单调区间是否可并 练习 50:函数 y ? ?

1 的单调递增区间为_______________ x

练习 51:已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f(x ) ? ?x(x ? 2) (1)求函数 f (x )的解析式, (2)求函数 f (x )的增区间和减区间.
8


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