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初高中数学衔接课程教案14-耐克函数


初高中数学衔接课程教案 14 耐克函数 一、知识点梳理 1、反比例函数 1. 定义:一般地,形如 y ? 以写成 y ? kx
?1

k k ( k 为常数, k ? o )的函数称为反比例函数. y ? 还可 x x

2. 反比例函数解析式的特征: ⑴等号左边是函数 y , 等号右边是一个分式. 分子是不为零的常数 k(也叫做比例系数 k ) , 分母中含有自变量 x ,且指数为 1. ⑵比例系数 k ? 0 . ⑶自变量 x 的取值为一切非零实数. ⑷函数 y 的取值是一切非零实数. 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法 ① 列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线)

k ? 0) ⑵反比例函数的图像是双曲线,y ? ( k 为常数, 中自变量 x ? 0 , 函数值 y ? 0 ,
所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不 与坐标轴相交. ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是 y ? x 或 y ? ? x ) . ⑷反比例函数 y ?

k x

k k ( k ? 0 )中比例系数 k 的几何意义是:过双曲线 y ? ( k ? 0 ) x x

上任意引 x 轴 y 轴的垂线,所得矩形面积为 k . 4.反比例函数性质如下表:

k 的取值

图像所在象限 一、三象限 二、四象限

函数的增减性 在每个象限内, y 值随 x 的增大而减小 在每个象限内, y 值随 x 的增大而增大

k ?o k?o
可求出 k )

5.反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即 6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函 数y?

k 中的两个变量必成反比例关系. x

7.反比例函数的应用 2、耐克函数 在高中数学学习中,我们常常会碰到形如 y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) 的函数,我们称这样的函 x

数为“耐克函数”,它是一种类似于反比例函数的重要的函数之一,它的性质及图像有十分鲜 明的特征和规律,其图像形如两个中心对称的对勾,故又名对号函数、对勾函数,在实际问 题中有着广泛的应用. 我们都知道,(a ? b) ? 0 , 展开就是 a 2 ? b 2 ? 2ab ? 0 , 有 a 2 ? b 2 ? 2ab , 当且仅当 a ? b
2

时取得“ ? ” 号,在两边同时加上 2ab ,整理得到 (a ? b) ? 4ab ,同时开根号,就得到了
2

a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时取得“ ? ”号.
现 在 把

y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) x



















b b b y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) ? 2 ax ? ? 2 ab ,这里有当且仅当 ax ? 时取得最小值,解 x x x
得x?

b ,对应的 y ? 2 ab . a
b (a ? 0, b ? 0) 的性质: x

函数 y ? ax ?

(1)奇偶性:奇函数

(? ?,0) ? (0,??) (2)定义域:
(3)单调性:单调增区间为 (??,?

b b b b ) ),( , ? ?) ,单调减区间为 (? , 0) , (0, a a a a

(4)值域: (??,?2 ab) ? (2 ab,??)

二、典型例题

例 1、如果函数 y ? kx2k

2

? k ?2

的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值是多少?

解析:有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y ? 又在第二,四象限内,则 k ? 0 可以求出的值 答案:由反比例函数的定义,得:

k , ( k ? 0 )即 y ? kx x

?1

(k ? 0)

1 ? ?2k 2 ? k ? 2 ? ?1 ?k ? ?1或k ? 解得 ? ? 2 k ?0 ? ? k ?0 ? ? k ? ?1 2 1 ? k ? ?1 时函数 y ? kx2k ?k ?2 为 y ? ? x 1 例 2 、在反比例函数 y ? ? 的图像上有三点 ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ? , ? x3 , y3 ? .若 x

x1 ? x2 ? 0 ? x3 则下列各式正确的是()
A. y3 ? y1 ? y2 B. y3 ? y2 ? y1 C. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? y2

解析:可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法. 解法一:由题意得 y1 ? ?

1 1 1 , y2 ? ? , y3 ? ? x1 x2 x3

? x1 ? x2 ? 0 ? x3 ,? y3 ? y1 ? y2 所以选 A
解法二:用图像法,在直角坐标系中作出 y ? ?

1 的图像 x

描出三个点,满足 x1 ? x2 ? 0 ? x3 观察图像直接得到 y3 ? y1 ? y2 选 A 解法三:用特殊值法

1 ? x1 ? x2 ? 0 ? x3 ,? 令x1 ? 2, x2 ? 1, x3 ? ?1? y1 ? ? , y 2 ? ?1, y3 ? 1,? y3 ? y1 ? y 2 2 1 3n ? m 2) 的图像 相交于点 例 3、 如果一次函数 y ? mx ? n?m ? 0?与反比例函数 y ? ( , , 2 x
那么该直线与双曲线的另一个交点为() 解 析 :

?1 ?m ? 2 3n ? m ?1 ? ? m?n ? 2 ? 直线y ? mx ? n与双曲线y ? x相交于? , 2 ?, ??2 解得? x ? 2 ? ? 3n ? m ? 1 ? n ?1 ?

? y ? 2x ?1 1 ? ? 直线为y ? 2 x ? 1, 双曲线为y ? 解方程组 ? 1 x y? ? x ? 1 ? ? x1 ? ?1 ? x2 ? 得? ,? 2 ? y1 ? ?1 ? y ? 2 ? 2

??1, ?另一个点为 ? 1?
例 4、如图,在 Rt ?AOB 中,点 A 是直线 y ? x ? m 与双曲线 y ? 且 S ?AOB ? 2 ,则 m 的值是_____.

m 在第一象限的交点, x

解:因为直线 y ? x ? m 与双曲线 y ? 则有 y A ? x A ? m, y A ?

m 过点 A ,设 A 点的坐标为 ?x A , y A ? . x

m .所以 m ? x A y A . xA

又点 A 在第一象限,所以 OB ? x A ? x A , AB ? y A ? y A .

1 1 1 OB ? AB ? x A y A ? m .而已知 S ?AOB ? 2 .所以 m ? 4 . 2 2 2 1 (0, ? ?) 例 5、 (1)求函数 y ? x ? 在 上的最值; x 1 1 (2)求函数 y ? x ? 在 [ , 2 ] 上的最值; 2 x 1 (3)求函数 y ? x ? 在 [2,4] 上的最值. x 解: (1) [2,??) 5 (2) [ 2, ] 2 5 17 (3) [ , ] 2 4
所以 S ?AOB ? 例 6、求下列函数的最小值 (1) y ?

x2 ? x ?1 ( x ? 0) x

(2) y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

( x ? R)

(3) y ? 解: (1)3 (2)

x2 ? 2x ? 6 ( x ? 1) x ?1

5 2

(3)10 三、巩固练习 1、某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内 气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数,其 图象如图所示. 当气球内气压大于 120 kPa 时, 气球将爆炸. 为 了安全起见,气球的体积应()

5 3 5 m B、小于 m3 4 4 4 3 4 3 C、不小于 m D、小于 m 5 5
A、不小于 答案:C 2、如图,A、C 是函数 y ?

1 的图象上的任意两点,过 A 作 x 轴的垂线, x

y

垂足为 B, 过 C 作 y 轴的垂线, 垂足为 D, 记 RtΔAOB 的面积为 S1, RtΔCOD 的面积为 S2 则( C ) A. S1>S2 C. S1=S2 答案:C 3、关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数 y= 求: (1)一次函数和反比例函数的解析式; (2)两函数图象的另一个交点 B 的坐标; (3)△AOB 的面积. 答案: (1) y ? ?2 x ? 3 ; y ? ? (2) ( ,?4) (3) S ? B. S1<S2 D. S1 与 S2 的大小关系不能确定

O

x

n ?1 的图象都经过点 A(-2,1) . x

2 x

1 2

15 4

k 4、如图所示,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、B 两点,与 x 轴 x

1 交于点 C.已知点 A 的坐标为(-2,1) ,点 B 的坐标为( ,m) . 2 (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)△AOB 的面积; (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围.

A O C B

答案: (1) y ? ?2 x ? 3 ; y ? ? (2) S ?

2 x

15 4

(3) ? 2 ? x ? 0或x ?

1 2

5、 (1)求函数 y ? x ? (2)若函数 y ? x ?

9 在 [1,5] 上的最小值; x

9 在 (0, a ] 上的最小值为 6,求 a 的取值范围; x 9 (3)若函数 y ? x ? 在 (0, a ] 上是减函数,求 a 的取值范围. x 解: (1) y ? 6
(2) a ? 3 (3) a ? 3


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