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2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测:2.5.2等差、等比数列的综合应用


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数 列

2.5.2

等差、等比数列的综合应用

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1.熟练应用等差数列、等比数列的性质、通项公

式和前n项和的公式,解决一些实际问题.
2.了解数列求和的一些方法:裂项法、错位相减

法、倒序相加法、分组求和法、公式法等.提高分析解
决问题的能力.

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基础梳理 1.(1)重要公式:
n?n+1? 2 1+2+3+…+n=____________ ; n?n+1??2n+1? 12+22+32+…+n2=____________. 6

(2)数列an

Sn= =n2+n的前n项和为:___________

n?n+1??n+2? . 3

2.(1)裂项求和:这是分解与组合思想在数列求和 中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分 解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的 目的.
1 1 - n n+1

=__________________.

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(2) 1 1 1 1 1 + + + + = 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6

5 . 6

3.累加法求数列通项公式:数列的基本形式为an+1- an=f(n)(n∈N*)的解析式,而f(1)+f(2)+· …· +f(n)的和可 求出.
n2-n+2 an= 通项公式为:________________. 2

已知数列{an}满足an+1-an=n(n∈N*)且a1=1,则其

4.累乘法求数列通项公式:数列的基本形式为

可求出. 已知数列{an}满足 an+1=n+1 (n∈N*),a1=2,则 an n 其通项公式为:__________( an=2n n∈N*). 金品质?高追求 我们让你更放心!

an+1 *)的解析式,而f(1)· = f ( n )( n ∈ N f(2)· …· f(n)的积 an

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5.待定系数法:数列有形如an+1=kan+b(k≠1)的关系, 可用待定系数法求得{an+t}为等比数列,再求得an. 已知数列{an}满足an+1=2an+1(n∈N*),a1=1,则 {an+1}等比数列 是________.数列{an}通项公式为: an=2n-1 ______________________.

6.分组求和法:有一类数列,既不是等差数列,也 不是等比数列,但如果将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,那么就可以分别求和,再将其 合并即可.
数列
? 1? 1 1 1 ? n+ 13,29,327,…, n? n项和S = , … 的前 n 3 ? ?

1? 1 1? ? 1-3n? ________________. 2n(n+1)+2? ?

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7.倒序相加法:这是在推导等差数列的前n项和公 式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),

再把它与原数列相加,就可以得到n个a1+an.
89 =____________. 2

sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°

8.错位相减法:这是在推导等比数列的前n项和公 式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n 项和,其中{an}、{bn}分别是等差和等比数列.(如本节 例2) 金品质?高追求 我们让你更放心!

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自测自评 1.已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,

则其公差d为(
2 A.- 3

)
1 B.- 3 1 C. 3 2 D. 3

解析:由 S10=70,可以得到 a1+a10=14,即 a1=4. a10-a1 2 所以 d= = 9 3 答案:D

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2.数列{(-1)nn}的前n项和为Sn,则S2010等于(

)

A.1005
C.2010

B.-1005
D.-2010

解析:S2010=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2009+ 2010)=1005. 答案:A

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7 3.在 14 与 之间插入 n 个数组成等比数列,如果各项总 8 77 和为 ,那么此数列的项数为( B ) 8 A.4 B .5 C.6 D.7

7 14- q 8 77 a1-qan+2 1 7 解析:依题意知 = = ?q=- ,由 = 8 2 8 1- q 1- q 14· qn 1 得 n=3,∴n+2=5.


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分组求和 1 1 1 1 求数列 2 ,4 ,6 ,…,2n+ n+1 ,…的 4 8 16 2

前n项和Sn.
1 ? 1 1 1 ? 解析:Sn=2 +4 +6 +…+ 2n+2n+1 4 8 16 ? ? 1 1 1 1 ? ? =(2+4+6+…+2n)+ 22+23+24+2n+1 ? ? 1 ? ?1?n? 2 1- n?2n+2? 2 ? ?2? ? = + 2 1 1- 2 1 1 =n(n+1)+ + n+1. 2 2

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跟踪训练

解析:原式=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1) =(10+102+…+10n)-n 10?10n-1? 10 = -n= (10n-1)-n. 9 10-1

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错位相减法 求和:Sn= + 2+ 3+…+ n. 分析:用错位相减法前要讨论a=1和a≠1两种情况
1 解析:当 a=1 时,Sn= n(n+1); 2 1 2 3 n 当 a≠1 时,Sn= + 2+ 3+…+ n① a a a a 1 1 2 3 n S = + + +…+ n+1② a n a2 a3 a4 a a-1 1 1 1 1 n ①-②得 S = + + +…+ n- n+1 a n a1 a2 a3 a a 1? a ? n ∴Sn= 2 1- n - n. a ? ? ?a-1? ?a-1?a

1 2 a a

3 a

n a

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跟踪训练 2.求和:1+2x+3x2+…+nxn-1.

解析:(错位相减法)

? ? 原式=? n?n+1? ? ? 2

1-xn nxn - ?x≠1? ?1-x?2 1-x ?x=1?

.

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裂项法求和

22 4 2 ?2n?2 求和 Sn=1· 3+3· 5+…+?2n-1??2n+1?.
解析:∵(2n)2=(2n)2-1+1=(2n-1)(2n+1)+1, 1 1 1 ∴Sn=n+ + +…+ 1· 3 3· 5 ?2n-1??2n+1? 1 ? 1? 1 1 1 - =n+ =n+ - . 2? 2n+1? 2 2?2n+1?

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跟踪训练 3.数列{an}的前n项和为Sn,若an= S4等于( A )

1 n?n+1?

,则

4 A. 5

1 B. 5

1 C. 20

5 D. 6

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迭乘法求数列的通项 已知{an}中,an+1= n
n+2

an,且a1=2,求数列

{an}的通项公式.

an an-1 an-2 a3 a2 解析:an= · · · …· · · a1 an-1 an-2 an-3 a2 a1 4 = . n?n+1? 跟踪训练

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跟踪训练 4.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1 = n+2 Sn(n=1,2,3,…),证明: (1)数列 ?Sn? 是等比数列;
?n?

n

? ?

n+2 证明:(1)an+1=Sn+1-Sn,an+1= S, n n ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn). 整理得 nSn+1=2(n+1)Sn, Sn+1 Sn ∴ =2 . n n+1 ?Sn? 故? n ?是以 2 为公比的等比数列. ? ? 金品质?高追求 我们让你更放心!

(2)Sn+1=4an.

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Sn+1 Sn-1 (2)由(1)知 =4 (n≥2). n+1 n-1 Sn-1 于是 Sn+1=4(n+1) =4an(n≥2). n-1 又 S1=a1=1,a2=3S1=3,故 S2=a1+a2=4=4a1. 因此对于任意整数 n≥1,都有 Sn+1=4an.

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一、选择填空题
1 1.数列an= n?n+1? ,其前n项之和为,则项数n

为( D ) A.12 C.10 B.11 D.9

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2. 已知等比数列{an}的首项为1,公比为q,前n项和为
1? Sn,则数列 ? ? ? 的前n项和为(
?an?

)

1 A. Sn

B.Snqn

-1

C.Snq1

-n

qn D. Sn

?1? 1 解析:数列?a ?的首项为 1,公比为 , q ? n?

1 1- n q qn-1 它的前 n 项和为 Tn= = , 1 qn-1?q-1? 1- q 1-qn 又 Sn= 1-q 1 - ∴Tn= n-1· Sn=q1 n· Sn.故选 C. q 答案:C

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1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去

解决,体现了函数思想、数形结合的思想.
2.等差、等比数列中,a1、an、n、d(q)、Sn“知三求 二”,体现了方程(组)的思想、整体思想,有时用到换元 法. 3.求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1,

公比是字母时要进行讨论,体现了分类讨论的思想.
4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,

错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等.
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