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2018年高考理科数学通用版复习专题检测:(十九) 选修4-4 坐标系与参数方程 含解析

专题检测(十九) 选修 4-4 坐标系与参数方程 1 ? ?x=1+2t, 1.(2017· 合肥一检)已知直线 l 的参数方程为? ? ?y= 3+ 3t (t 为参 数).在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的方程 为 sin θ- 3ρcos2θ=0. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标. 解:(1)∵sin θ- 即 y- 3x2=0. 3x2=0. 3ρcos2θ=0,∴ρsin θ- 3ρ2cos2θ=0, 故曲线 C 的直角坐标方程为 y- 1 ? ?x=1+2t, (2)将? ? ?y= 3+ 3t, 代入 y- 3x2=0 得, 3+ 3t- ? 1? ? ? 3?1+ t?2=0, 2? ? 解得 t=0, 从而交点坐标为(1, 3), π? ? ∴交点的一个极坐标为?2,3?. ? ? 2.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐 π? ? 0 , ? ? 标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ,θ∈ 2?. ? (1)求半圆 C 的参数方程; (2)若半圆 C 与圆 D:(x-5)2+(y- 切点的直角坐标. 解:(1)半圆 C 的普通方程为(x-2)2+y2=4(0≤y≤2), ? ?x=2+2cos t, 则半圆 C 的参数方程为? ? ?y=2sin t (2)C,D 的圆心坐标分别为(2,0),(5, 3-0 5-2 3 3 3)2=m(m 是常数,m>0)相切,试求 (t 为参数,0≤t≤π). 3), 于是直线 CD 的斜率 k= = . 由于切点必在两个圆心的连线上, π ,t= , 3 6 3 故切点对应的参数 t 满足 tan t= π π? ? 所以切点的直角坐标为?2+2cos6,2sin6?, ? ? 即(2+ 3,1). 3.(2017· 宝鸡质检)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求 C 的直角坐标方程; 1 ? x= t, ? 2 (2)直线 l:? 3 y=1+ t ? 2 ? (t 为参数)与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交 于点 E,求|EA|+|EB|. 解:(1)由 ρ=2(cos θ+sin θ)得 ρ2=2ρ(cos θ+sin θ), 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y, 即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 化简得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0, 设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=1,t1t2=-1, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2= 5. ? ?x=cos α, 4.(2017· 张掖一诊)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? 2 ? ?y=sin α (α 为参数),在以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: π? 2 ? θ - ? ?=- ρcos ,曲线 C3:ρ=2sin θ. ? 4? 2 (1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标; (2)设点 A,B 分别为曲线 C2,C3 上的动点,求|AB|的最小值. ? ?x=cos α, 解:(1)曲线 C1:? 2 ? ?y=sin α 得 y+x2=1,x∈[-1,1]. π? 2 ? 曲线 C2:ρcos?θ-4?=- ?x+y+1=0, ? ? 2 联立①②,消去 y 可得:x2-x-2=0, 解得 x=-1 或 x=2(舍去),所以 M(-1,0). (2)曲线 C3: ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1, 是以(0,1)为圆心, 半径 r=1 的圆. 设圆心为 C,则点 C 到直线 x+y+1=0 的距离 d= |0+1+1| = 2 2,所以 消去参数 α, ① ② |AB|的最小值为 2-1. π? ? 5.(2017· 成都一诊)在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为 α?α≠2?的直线 l ? ? ? ?x=1+tcos α, 的参数方程为? ? ?y=tsin α (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρcos2θ-4sin θ=0. (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; π? ? (2)已知点 P(1,0).若点 M 的极坐标为?1,2?,直线 l 经过点 M 且与曲线 C ? ? 相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点为 Q,求|PQ|的值. ? ?x=1+tcos α, 解:(1)∵直线 l 的参数方程为? ? ?y=tsin α 方程为 y=tan α·(x-1). (t 为参数),∴直线 l 的普通 由 ρcos2θ-4sin θ=0,得 ρ2cos2θ-4ρsin θ=0, 即 x2-4y=0. ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2=4y. π? ? (2)∵点 M 的极坐标为?1,2?, ? ? ∴点 M 的直角坐标为(0,1). ∴tan α=-1,直线 l 的倾斜角 α= 3π . 4 2 ? x=1- t, ? 2 ∴直线 l 的参数方程为? 2 y= ? ? 2t (t 为参数). 代入 x2=4y,得 t2-6 2t+2=0. 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2. ∵Q 为线段 AB 的中点, t1+t2 6 2 = =3 2 2 2. ∴点 Q 对应的参数值为 2. ?t1+t2? ? ? 又点 P(1,0),则|PQ|=? ?=3 ? 2 ?

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