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高二数学(理科)试卷2(必修5、选修2-1)


高二数学(理科)试卷 一、选择题 1.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6, B=120° ,则 a 等于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 2. 在等差数列{an}中, 已知 a1=2, a2+a3=13, 则 a4+a5+a6 等于( ) A.40 B.42 C.43 D.45

15 9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,bc=30,S△ABC= 2 3,则∠A=________. 10.(2010 年广东)若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件 (c-a)· (2b)=-2,则 x=________. 2 11. 直线 y=x-1 被抛物线 y =4x 截得线段的中点坐标是____________. 12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 平面 AB1C 与平面 A1C1D 间的距离为 。 13. 设 x ? 0 ,y ? 0 , 且

3. 若不等式 ax2+8ax+21<0 的解集是{x|-7<x<-1}, 那么 a 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 S5 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =( ) S2 A.11 B.5 C.-8 D.-11 1 4 ? 5.若 x、y 是正实数,则(x+y)? ) ?x+y?的最小值为( A.6 B.9 C.12 D.15 → → 6.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角 为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2 7.设命题 p:?x∈Z,使 x +2x+m≤0,则?p 是( ) A.?x∈Z,使 x2+2x+m>0 B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 2 C 对于?x∈Z,都有 x2+2x+m≤0 D 对于任意 x∈Z,都有 x +2x+m>0 2 x 8.若点 P 在椭圆 +y2=1 上,F1、F2 分别是椭圆的两焦点,且∠F1PF2 2 =60° ,则△F1PF2 的面积是( ) 3 3 A.2 B.1 C. D. 2 3 第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把下列各题的 正确答案填写在答题卷相应的位置上) 高二数学(理科)试卷

1 1 ? ? 16 , 则 x ? y 的最小值为 x y



14.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A、B 两点,若线段 AB 的中 点的横坐标是 2,则|AB|=______. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b· cosA-c· cosA =a· cosC. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求△ABC 的面积.

16. (本小题满分 12 分) 第1页 (共 6 页)

? ?? ?x+2≥0 ? 已知 p:?x?? ? ,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0},若?p ?x-10≤0 ? ? ??
是?q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 设 函 数 f ( x) ? l o agx ( a为常数且 a ? 0, a ? 1 ), 已 知 数 列

17. (本小题满分 14 分) 在边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,F 是 DD1 的中点, (1) 求点 A 到平面 A1DE 的距离; D1 (2) 求证:CF∥平面 A1DE, (3) 求二面角 E-A1D-A 的平面角大小的余弦值。
A1

f ( x1 ), f ( x2 ), ? f ( xn ),?是公差为 2 的等差数列,且 x1 ? a 2 . 1 ( Ⅰ ) 求 数 列 {xn } 的 通 项 公 式 ; ( Ⅱ ) 当 a ? 时 , 求 证 : 2 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? . 3

C1 B1 F

20. (本小题满分 14 分) 过点 (0, 4) , 斜 率 为 ?1 的 直 线 与 抛 物 线
C E B

y 2 ? 2 px ( p ? 0) 交于两点 A、 B, 如果弦 AB
的长度为 4 10 。 ⑴求 p 的值; ⑵求证: OA ? OB (O 为原点) 。

18. (本小题满分 14 分) A 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,若采用甲 种原料,每吨成本 1000 元,运费 500 元,可得产品 90 千 克;若采用乙种原料,每吨成本为 1500 元,运费 400 元,可得产品 100 千克,如果每月原料的总成本不超过 6000 元,运费不超过 2000 元,那 么此工厂每月最多可生产多少千克产品?
新疆

D

王新敞
学案

高二数学(理科)试卷

第2页

(共 6 页)

台山侨中 2011-2012 学年度第一学期期末综合测试二 高二数学(理科)试卷 说明:1.本试卷共 4 页,考试时间为 120 分钟,满分 150 分; 2.各题均在答题卷指定位置上作答,否则无效;考试结束时, 只交回答题卷. 第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题给出的 4 个选项中只有一个是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的 位置上) 1.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6, B=120° ,则 a 等于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 2. 在等差数列{an}中, 已知 a1=2, a2+a3=13, 则 a4+a5+a6 等于( ) A.40 B.42 C.43 D.45

A.?x∈Z,使 x2+2x+m>0 B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 C.对于?x∈Z,都有 x2+2x+m≤0 2 D.对于任意 x∈Z,都有 x +2x+m>0 2 x 8.若点 P 在椭圆 +y2=1 上,F1、F2 分别是椭圆的两焦点,且∠F1PF2 2 =60° ,则△F1PF2 的面积是( ) 3 3 A.2 B.1 C. D. 2 3 第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把下列各题的 正确答案填写在答题卷相应的位置上) 15 9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,bc=30,S△ABC= 2 3,则∠A=________. 10.(2010 年广东)若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件 (c-a)· (2b)=-2,则 x=________. 11. 直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是____________. 12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 平面 AB1C 与平面 A1C1D 间的距离为( ) 3 3 2 3 3 A. B. C. D. 6 3 3 2 13 . 设 x ? 0 , y ? 0 , 且

3.若不等式 ax2+8ax+21<0 的解集是{x|-7<x<-1},那么 a 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 S5 4.(2010 年浙江)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 = S2 ( ) A.11 B.5 C.-8 D.-11 1 4 ? 5.若 x、y 是正实数,则(x+y)? ) ?x+y?的最小值为( A.6 B.9 C.12 D.15 → → 6.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角 为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2 7.设命题 p:?x∈Z,使 x +2x+m≤0,则?p 是( ) 高二数学(理科)试卷

1 1 ? ? 16 , 则 x ? y 的最小值 x y
为 . 14.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A、B 两点,若线段 AB 的中 点的横坐标是 2,则|AB|=______.

第3页

(共 6 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2b· cosA-c· cosA =a· cosC. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 7,b+c=4,求△ABC 的面积. 解:(1)从已知条件: 2cosAsinB=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB. 1 ∵sinB≠0,∴cosA= . 2 故角 A 大小为 60° ; (2)由余弦定理: 7=a2=b2+c2-2bc· cos60° =b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 由 b+c=4 得 bc=3. 1 3 3 故△ABC 面积为 S= bcsinA= . 2 4 11.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a2-c2=2b,且 sinAcosC=3cosAsinC,求 b. 16. (本小题满分 12 分)
?x+2≥0 ? ? ?? 已知 p:?x?? ? ,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0},若?p ?x-10≤0 ? ? ??

m>0 ? ? ∴B A??1-m≤-2?m≥9, ? ?1+m≥10 即 m 的取值范围是{m|m≥9}. 解法二:∵若?p 是?q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件. ∴p 是 q 的充分不必要条件. 而 p:P={x|-2≤x≤10}, q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0} ?m>0 ∴P Q,即?1-m≤-2?m≥9.

?

? ?1+m≥10

∴m 的取值范围是{m|m≥9}. 17. (本小题满分 14 分) 在边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,F 是 DD1 的中点, (4) 求点 A 到平面 A1DE 的距离; D1 (5) 求证:CF∥平面 A1DE, (6) 求二面角 E-A1D-A 的平面角大 小的余弦值。 A
1

C1

B1

是?q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 19.解法一:p:{x|-2≤x≤10}, ∴?p:A={x|x<-2 或 x>10}, ?q:B={x|x<1-m 或 x>1+m,m>0}. ∵若?p 是?q 的必要不充分条件,

(1)分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0) , A1 (2,0,2),E(1,2,0), D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 则

F

DA1 ? ? 2,0, 2 ? , DE ? ?1, 2,0 ? ,

D E A B

C

设平面 A1DE 的法向量是 n ? ? a, b, c ? ,

高二数学(理科)试卷

第4页

(共 6 页)

则?

? ?n ? DA1 ? 2a ? 2c ? 0 ? ? n ? DE ? a ? 2b ? 0



取 n ? ? ?2,1,2? , 点 A 到平面 A1DE 的距离是

?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ?1000x ? 1500y ? 6000 ? ?500x ? 400y ? 2000
z=90x+100y
新疆

y 5 4 M( 12 20 , ) 7 7 4 6

d?

DA ? n n

王新敞
学案

?

4 。 9

作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行 域:

(2) CF ? ? 0, ?2,1? ,

CF ? n ? ?2 ? 2 ? 0,?CF ? n ,所以,CF∥平面 A1DE。
(3) DC ? ? 0,2,0? 是面 AA1D 的法向量, cos ? ?

DC ? n DC n

?

1 3

12 ? x? ? ?2 x ? 3 y ? 12 ? 7 得? 由? ?5 x ? 4 y ? 20 ? y ? 20 ? 7 ?

o
新疆

x

王新敞
学案

令 90x+100y=t , 作 直 线 :90x+100y=0 即 9x+10y=0 的 平 行 线 90x+100y=t,当 90x+100y=t 过点 M( 的截距最大. 由此得出 t 的值也最大,最大值 zmax=90× 答:工厂每月生产 440 千克产品. 19. (本小题满分 14 分) 设 函 数 f ( x) ? l o agx ( a为常数且 a ? 0, a ? 1 ), 已 知 数 列

18. (本小题满分 14 分) 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨 成本 1000 元,运费 500 元,可得产品 90 千克;若采用乙种原料,每吨 成本为 1500 元,运费 400 元,可得产品 100 千克,如果每月原料的总成 本不超过 6000 元,运费不超过 2000 元,那么此工厂每月最多可生产多 少千克产品? 分析:将已知数据列成下表 甲原料(吨) 乙原料(吨) 费用限额 成本 1000 1500 6000 运费 500 400 2000 产品 90 100 解:设此工厂每月甲、乙两种原料各 x 吨、y 吨,生产 z 千克产品, 则:
新疆

12 20 , )时,直线 90x+100y=t 中 7 7

12 20 ? 100 ? =440. 7 7

王新敞
学案

f ( x1 ), f ( x2 ), ? f ( xn ),?是公差为 2 的等差数列,且 x1 ? a 2 . 1 ( Ⅰ ) 求 数 列 {xn } 的 通 项 公 式 ; ( Ⅱ ) 当 a ? 时 , 求 证 : 2 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? . 3 解: (Ⅰ) f ( x1 ) ? loga a2 ? 2 d ?2
第5页 (共 6 页)

高二数学(理科)试卷

? f ( xn ) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n
即: loga xn ? 2n
n

xn ? a 2n

(Ⅱ)当 a ?

1 ?1? 时, x n ? ? ? 2 ? 4? n 1 ?1? 1 ?? ? ? n 4 ? 4? 4 1 ? ?1? ? 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3? ? ? 4? ? ? 3 1? 4

20. (本小题满分 14 分)
2 过点 (0, 4) , 斜率为 ?1的直线与抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 交于两点 A、 B,

如果弦 AB 的长度为 4 10 。 ⑴求 p 的值; ⑵求证: OA ? OB (O 为原点) 。 解 ⑴ 直线 AB 的 方 程为 y ? ? x ? 4 , 联 立 方 程 ? 得, x ? 2( p ? 4) x ? 16 ? 0 .
2

? y ? ?x ? 4 ,消去 y 2 ? y ? 2 px
), 得



A(

x1 , y1

),B(

x2 , y 2

x1 ? x2 ? 2( p ? 4), x1x2 ? 16, ? ? 4( p ? 4)2 ? 64 ? 0
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
? 2 4( p ? 4) 2 ? 4 ? 16 ? 4 10
⑵ x1 ? x2 ? 2( p ? 4) ? 12, x1 x2 ? 16 解得 p ? 2

? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (? x1 ? 4)(? x2 ? 4) ? 2x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? 2 ?16 ? 4 ?12 ? 16 ? 0 ? OA ? OB
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