当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质_图文

第二章

基本初等函数(Ⅰ)

2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质

学习目标:1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求 法.(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明 指数函数的性质.(重点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.指数函数的概念
x y = a 一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x x 是自变量,函数的定

R . 义域是___

思考:指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1?

[提示] 规定 a 大于 0 且不等于 1 的理由: (1)如果 a=0,当 x>0 时,ax 恒等于 0;当 x≤0 时,ax 无意义. 1 1 (2)如果 a<0,如 y=(-2) ,对于 x= , ,…时在实数范围内函数值不存在. 2 4
x

(3)如果 a=1,y=1x 是一个常量,对它无研究价值.为了避免上述各种情况, 所以规定 a>0 且 a≠1.

2.指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 性 质 过定点 单调性 奇偶性 对称性 在 R 上是增函数

R

(0,+∞ ,+∞) (0 (0,1) (0,1),即当 x=0 时,y=1
在 R 上是减函数 非奇非偶函数

y轴 函数 y=ax 与 y=a-x 的图象关于 y_ 轴对称

[基础自测] 1.思考辨析 (1)y=x2 是指数函数.( ) ) ) (2)函数 y=2-x 不是指数函数.(

(3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方.(

[答案] (1)× (2)× (3)√

2.函数 y=3-x 的图象是(

)

A
B [∵y=3
-x

B
选项正确.]

C

D

?1?x ? =? ?3? ,∴B ? ?

3.若指数函数 f(x)的图象过点(3,8),则 f(x)的解析式为( A.f(x)=x3
?1?x ? C.f(x)=? ?2? ? ?

)

【导学号:37102229】 B.f(x)=2x D.f(x)=x
1 3

B [设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则由 f(3)=8 得 a3=8,∴a=2,∴f(x)=2x,故选 B.]

4.函数 y=ax(a>0 且 a≠1)在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是________.

(1,+∞) [结合指数函数的性质可知,若 y=ax(a>0 且 a≠1)在 R 上是增函数, 则 a>1.]

[合 作 探 究· 攻 重 难]
指数函数的概念
(1)下列函数中,是指数函数的个数是( ①y=(-8) ;②y=2 ④y=(2a-1) A.1 C.3
x? x
x2-1

)

;③y=ax;

? 1 ? ? x a > ,且 a ≠ 1 ;⑤ y = 2· 3 . ? 2 ? ? ?

B.2 D.0
? 3? ? ? - ? 2?= ? ?

(2)已知函数 f(x)为指数函数,且 f

3 ,则 f(-2)=________. 9 【导学号:37102230】

1 (1)A (2) [(1)④为指数函数; 9 ①中底数-8<0, 所以不是指数函数; ②中指数不是自变量 x,而是 x 的函数, 所以不是指数函数; ③中底数 a,只有规定 a>0 且 a≠1 时,才是指数函数; ⑤中 3x 前的系数是 2,而不是 1, 所以不是指数函数,故选 A.

(2)设 f(x)=a (a>0 且 a≠1),由 f 1 a ,所以 f(-2)=3 = .] 9
-2 -2

x

? 3? ? ? - ? 2?= ? ?

3 3 3 - 2 得 a = ,所以 a=3,又 f(-2)= 9 9

[规律方法] 1.在指数函数定义的表达式中,要牢牢抓住三点: (1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数; (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上; (3)ax 的系数必须为 1. 2.求指数函数的解析式常用待定系数法.

[跟踪训练] 1.已知函数 f(x)=(2a-1)x 是指数函数,则实数 a 的取值范围是________.
?1 ? ? ? , 1 ?2 ?∪(1,+∞) ? ? ? ?2a-1>0, [由题意可知? ? ?2a-1≠1,

1 解得 a> ,且 a≠1, 2

所以实数 a

?1 ? ? 的取值范围是?2,1? ?∪(1,+∞).] ? ?

指数函数的图象的应用
(1)函数 f(x)=ax-b 的图象如图 211 所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是( A.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0 ) B.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0
图 211

(2)函数 y=ax-3+3(a>0,且 a≠1)的图象过定点________.

【导学号:37102231】

(1)D (2)(3,4) [(1)由于 f(x)的图象单调递减,所以 0<a<1, 又 0<f(0)<1,所以 0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故选 D. (2)令 x-3=0 得 x=3,此时 y=4.故函数 y=ax-3+3(a>0,且 a≠1)的图象过定 点(3,4).]

[规律方法] 指数函数图象问题的处理技巧? ?1?抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点?? ?2?利用图象变换,如函数图象的平移变换?左右平移、上下平移??? ?3?利用函数的奇偶性与单调性?奇偶性确定函数的对称情况, 单调性决定函数图 象的走势??

[跟踪训练] 2.已知 f(x)=2x 的图象,指出下列函数的图象是由 y=f(x)的图象通过怎样的变 化得到: (1)y=2x+1;(2)y=2x-1;(3)y=2x+1; (4)y=2-x;(5)y=2|x|.

[解]

(1)y=2x+1 的图象是由 y=2x 的图象向左平移一个单位得到.

(2)y=2x-1 的图象是由 y=2x 的图象向右平移 1 个单位得到. (3)y=2x+1 的图象是由 y=2x 的图象向上平移 1 个单位得到. (4)∵y=2-x 与 y=2x 的图象关于 y 轴对称, ∴作 y=2x 的图象关于 y 轴的对称图 形便可得到 y=2-x 的图象. (5)∵y=2|x|为偶函数,故其图象关于 y 轴对称,故先作出当 x≥0 时,y=2x 的图 象,再作关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=2|x|的图象.]

指数函数的定义域、值域问题
[探究问题] 1.函数 y=2
x2+1

的定义域与 f(x)=x2+1 的定义域什么关系?

提示:定义域相同.
2.如何求 y=2
x2+1

的值域?
x2+1

提示:可先令 t=x2+1,则易求得 t 的取值范围为[1,+∞),又 y=2t 在[1, +∞)上是单调递增函数,故 2 ≥2,所以 y=2
t

的值域为[2,+∞).

求下列函数的定义域和值域: (1)y= 1-3x;
?2? ? (2)y=? ?3? ? ?
-|x|



(3)y=4x+2x+1+2. 【导学号:37102232】 思路探究: 函数式有意义 ―→ 原函数的定义域 指数函数 原函数的值域 ――――→ 的值域

[解]

(1)要使函数式有意义,则 1-3x≥0,即 3x≤1=30,因为函数 y=3x 在 R

上是增函数,所以 x≤0,故函数 y= 1-3x的定义域为(-∞,0]. 因为 x≤0,所以 0<3x≤1,所以 0≤1-3x<1, 所以 1-3x∈[0,1),即函数 y= 1-3x的值域为[0,1). (2)要使函数式有意义,则-|x|≥0,解得 x=0, 所以函数
?2? ? y=? ?3? ? ?
-|x|

的定义域为{x|x=0}.
-|x|

因为 x=0,所以 即函数
?2? ? y=? ?3? ? ?
-|x|

?2? ? y=? ?3? ? ?

?2? ?0 =? ?3? =1, ? ?

的值域为{y|y=1}.

(3)因为对于任意的 x∈R,函数 y=4x+2x+1+2 都有意义,所以函数 y=4x+ 2x+1+2 的定义域为 R.因为 2x>0,所以 4x+2x+1+2=(2x)2+2×2x+2=(2x+1)2 +1>1+1=2, 即函数 y=4x+2x+1+2 的值域为(2,+∞).

母题探究:1.若本例(1)的函数换为“y=

?1?x ? ? -1”,求其定义域. ?3?

解]] [[解

x ?1 ? ?1 ?0 1??xx x ?? ? ? ? ? 1 1 1 0 ,∴x≤0,即函数的定义域为(-∞,0]. 由??3?? - -1 1≥ ≥0 0得 得 ≥ ??3 ?? ≥ ??3 ?? 由 ,∴x≤0,即函数的定义域为(-∞,0]. ? ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ?

2.若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”,再求函数的值域.
+1 x x+ 1 x2 x 2 [解] ∵0≤x≤2,∴1≤2x ≤4,∴y=4x +2x +2=(2x )2+2×2x +2=(2xx+1)2 +1. 1. +

2 令 2x=t,则 t∈[1,4],且 f(t)=(t+1)2 +1,

易知 f(t)在[1,4]上单调递增, ∴f(1)≤f(t)≤f(4),即 5≤f(t)≤26,
+ 即函数 y=4x+2x 1+2 的值域为[5,26].



[规律方法] 1.函数 y=af(x)的定义域与 y=f(x)的定义域相同. 2.函数 y=af(x)的值域的求解方法如下: (1)换元,令 t=f(x); (2)求 t=f(x)的定义域 x∈D; (3)求 t=f(x)的值域 t∈M; (4)利用 y=at 的单调性求 y=at,t∈M 的值域. 3.求与指数函数有关的函数的值域时,要注意与求其它函数(如一次函数、二 次函数)值域的方法相结合,要注意指数函数的值域为(0,+∞),切记准确运用 指数函数的单调性.

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.下列函数一定是指数函数的是( A.y=2x+1 C.y=3· 2x ) B.y=x3 D.y=3-x

D [由指数函数的定义可知 D 正确.]

2.函数

?1?x ? y=? ?2? (x≥8)的值域是( ? ?

) 【导学号:37102233】

A.R
? 1 ? ? C.?-∞,256? ? ? ?

? 1 ? ? B.?0,256? ? ? ? ? 1 ? ? D.?256,+∞? ? ? ?
?1?x ?1?8 1 ? ? ? ? 0<?2? ≤?2? = .] 256 ? ? ? ?

B [因为

?1?x ? y=? ?2? 在[8,+∞)上单调递减,所以 ? ?

3.函数 y=
[0,+∞) [由 ∴函数 y=

?1?x ? 1-? ?2? 的定义域是________. ? ?
?1?x ? 1-? ?2? ≥0 ? ? ?1?x ?1?0 ? ? ? 得?2? ≤1=? ?2? ,∴x≥0, ? ? ? ?

?1?x ? 1-? ?2? 的定义域为[0,+∞).] ? ?

4.若函数 f(x)是指数函数,且 f(2)=2,则 f(x)=________. 【导学号:37102234】
2
x

[设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则 f(2)=a2=2,
x

∴a= 2(a=- 2舍去),∴f(x)= 2 .]

5.设 f(x)=3

x

?1?x ,g(x)=?3? . ? ?

(1)在同一坐标系中作出 f(x),g(x)的图象; (2)计算 f(1)与 g(-1),f(π)与 g(-π),f(m)与 g(-m)的值,从中你能得到什么结 论?

[解]

(1)函数 f(x),g(x)的图象如图所示:
1

(2)f(1)=3

?1?-1 ? =3,g(-1)=? ?3? =3, ? ?

?1?-π ? π f(π)=3π,g(-π)=? = 3 , ?3? ? ?

f(m)=3

m

?1?-m ? m ,g(-m)=? = 3 . ?3? ? ?

从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等, 即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于 y 轴对称.

谢谢观看