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山东省实验中学2016届高三数学第二次诊断性考试试题 理


山东省实验中学 2013 级第二次诊断性考试 数学试题(理科)
2015.11

说明:试题分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷为第 1 页至 第 2 页, 第 II 卷为第 3 页至第 4 页, 试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规 定位置上,书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(本题包括 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项 符合题意) ...... 1. 设集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? y | y ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2 , 则CR ? A ? B ?等于 A.R C. ?? ?,?1? ? ?2,? ?? 2. 若f ( x) ?

?

?

?

?

? 2? ? ?0,? ?? B. ?? ?,
D.○

1 , 则f ( x)的定义域为 log 1 (2 x ? 1)
2

1 (? ,0) A. 2

1 (? ,?? ) B. 2

1 (? ,0) ? (0,?? ) C. 2

1 ( ? , 2) D. 2

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是 A. y ? 2 ? 2
x ?x

B. y ? cos x

C.

y ? log 0.5 x

D. y ? x ? x

?1

4.已知 sin ? ? cos ? ?

2 A. 3

4 ? (0 ? ? ? ), 则sin ? ? cos ?的值为 3 4 1 1 2 ? ? B. 3 C. 3 D. 3

5.已知命题 p:在△ABC 中, “C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要条件;命题 q: “a>b” 是“ac >bc ”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是 A.p 真 q 假 B.p 假 q 真 C.“p∨q”为假 D.“p∧q”为真
2 2

6.将函数 y ? sin 2x ? 3 cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 ? 个单位后,得到一个偶函数 的图象,则

?

的最小值为

? A. 12

? B. 6

? C. 4

5? D. 12

已知 f ( x) ? 3 sin x ? ?x, 命题 p : ?x ? (0, ), f ( x) ? 0, 则 2 7.

?

1

p是假命题 ; ?p : ?x ? (0, ), f ( x) ? 0 2 A. p是假命题 ; ?p : ?x0 ? (0, ), f ( x0 ) ? 0 2 B. p是真命题 ; ?p : ?x ? (0, ), f ( x) ? 0 2 C. p是真命题 ; ?p : ?x0 ? (0, ), f ( x0 ) ? 0 2 D.
8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? x ? 2 x , 若 f (2 ? a ) ? f (a) ,
2 2

?

?

?

?

则实数 a 的取值范围是 A. (??,?1) ? (2,??) B.(-2,1) C.(-1,2) D. (??,?2) ? (1,??)

A?
9.△ABC 中,

?
3

, BC ? 3
,则△ABC 的周长为

?? ? 4 3 sin? B ? ? ? 3 3? ? A.
?? ? 6 sin? B ? ? ? 3 3? ? C.

?? ? 4 3 sin? B ? ? ? 3 6? ? B.
?? ? 6 sin? B ? ? ? 3 6? ? D.
2

10.已知 y=f(x)是奇函数,且满足 f(x+2)+3f(-x)=0,当 x ? [0,2]时,f(x)=x -2x,则当 x ? [-4,-2]时,f(x)的最小值为

A.-1

1 B. 3 ?

1 C. 9 ?

1 D. 9

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a , b , c,且 a=15,b=10,A=60°,则 cosB= 。

12.

? x 2 , x ? [0,1] ? e ( e为自然对数的底数),则 f ( x ) dx的值为 设f ( x ) ? ? 1 , x ? (1, e] ?0 ? ?x



2

13.若曲线 C1:y=3x -ax -6x 在 x=1 处的切线与曲线 C2:y=e 在 x=1 上的切线互相垂直, 则实数 a 的值为 。 x 14.若函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[-2, 1]的最大值为 4, 最小值为 m, 则实数 m 的值为 。 15.对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题: ①q=0 时,f(x)为奇函数; ②y=f(x)的图象关于(0,q)对称; ③p=0,q>0 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根; ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根。 其中正确命题的序号为 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分)

4

3

2

x

f ( x) ?
已知函数

3 ?x 1 sin ?x ? sin 2 ? (? ? 0) 2 2 2 的最小正周期为 ? 。

(I)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间;

x ? [0, ] 2 时,求函数 f ( x) 的取值范围。 (II)当
17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p:方程 2 x ? ax ? a ? 0 在[-1,1]上有解,命题 q:只有一个实数 x0 满足不
2 2

?

等式

x0 ? 2ax0 ? 2a ? 0

2

,若命题“ p ? q ”是假命题,求实数 a 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)

已知f ( x) ? x1nx, g ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2 。
(I)求函数 f(x)的单调区间; (II)对一切的 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。 19.(本小题满分 12 分) 4 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cos B ? , b ? 2。 5 (I)当 A=30°时,求 a 的值; (II)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值。

?

3

20.(本小题满分 13 分) x 已知函数 f(x)=e -ax=1(a>0,e 为自然对数的底数)。 (I)求函数 f(x)的最小值; (II)若 f(x)≥0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值。 21.(本小题满分 14 分)

f ( x) ? a1nx ?
已知函数

a ?1 2 x ?1 2 。

1 1 当a ? ? 时, 求f ( x)在区间[ , e]上的最值 ; 2 e (I)
(II)讨论函数 f(x)的单调性; (III)当-1<a<0 时,有 f ? x ? ? 1 ?

a ln ? ?a ? 恒成立,求 a 的取值范围。 2

山东省实验中学 2013 级第二次诊断性考试 数学答案(理科) 2015.11 1-10 11. BCABC ADBDC

6 3

12.

4 3

13.

1 3e

14.1/2 或 1/16

15.①②③

16.解:(Ⅰ) f ( x) ? 分

? 3 1 ? cos ? x 1 3 1 sin ? x ? ? ? sin ? x ? cos ? x ? sin(? x ? ) 4 6 2 2 2 2 2
??????????????? 6

因为 f ( x) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 分 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) .

? 6

4

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6 ? ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ? Z ????????8 3 6
由 2k ? ? 分 (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? 所以 ?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ? 1 所以函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ] 2 2
12 分 17.

? 2

? ? 7? ?[ , ] , 6 6 6

???????????????

∴当命题 p 为真命题时 分

a ? 1或 ?a ? 1? a ? 2 . 2

??????????????? 4

2 又“只有一个实数 x0 满足 x0 即抛物线 y ? x ? 2ax ? 2a 与 x 轴只有一 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ”,
2
2 个交点,∴ ? ? 4a ? 8a ? 0 ,∴ a ? 0 或 a ? 2 . ∴当命题 q 为真命题时,a ? 0 或 a ? 2 . 分

???????????????8

∴命题“p∨q”为真命题时, a ? 2 .∵命题“p∨q”为假命题,∴ a ? 2 或 a ? ?2 . 即 a 的取值范围为 (??, ?2) ? (2, ??) . 分 18.(Ⅰ) f ' ( x) ? ln x ? 1, 令f ' ?x ? ? 0, 解得0 ? x ? ???????????????12

1 ? 1? ,? f ( x)单调递减区间是 ? 0, ?; e ? e? 1 ?1 ? ?????????4 分 令f ' ?x ? ? 0, 解得x ? ,? f ( x)单调递增区间是 ? ,?? ?; e ?e ? 2 2 (Ⅱ)由题意: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 ? 2 即 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 3 1 ? x ? ?0,??? 可得 a ? ln x ? x ? ?????????6 分 2 2x 3x 1 设 h?x ? ? ln x ? , ? 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 ' ?? 则 h ?x ? ? ? ? ?????????8 分 2 x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3 ' ' 当 0 ? x ? 1 时, h ?x ? ? 0 ;当 x ? 1时, h ?x ? ? 0 ?????????10 分 ? 当 x ? 1时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? max =-2 ? a ? ?2 .

? a 的取值范围是 ?? 2,??? .

?????????12 分

4 3 19 .(1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5

5

a b a 10 5 由正弦定理 = ,可得 = ,所以 a= . sin A sin B sin 30° 3 3 1 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac·sin B,sin B= , 2 5 3 所以 ac=3,ac=10. 10 2 2 2 由余弦定理得 b =a +c -2accos B, 8 2 2 2 2 2 2 得 4=a +c - ac=a +c -16,即 a +c =20. 5 2 2 所以(a+c) -2ac=20,(a+c) =40. 所以 a+c=2 10.
x ? 20.(1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a

?????????4 分

?????????7 分

?????????10 分 ?????????12 分

? 由f 得 x?lna. () x? e?? a0
x

当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增. 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .
l n a

(6 分)

(2) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(1) ,设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
∴ g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴ g ( a ) 在 a ? 1 处取得极大值 g( 1 ) ?0. 因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 . 21.解: (Ⅰ)当 a ? ? ∵ (13 分)

f ( x)

1 1 x2 ?1 x x2 ?1 ? ? ? 1 ,∴ f ?( x) ? 时, f ( x) ? ? ln x ? . 2 2x 2 2x 2 4 f ?( x) ? 0 的 定 义 域 为 (0,??) , ∴ 由 得

x ? 1 . ---------------------------2 分 1 1 ∴ f ( x) 在区间 [ , e ] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到, e e
而 f (1) ? 分 (Ⅱ) f ?( x) ?

5 1 3 1 1 e2 1 e2 5 , f ( x) max ? f (e) ? ? , f ( x) min ? f (1) ? .--4 , f ( ) ? ? 2 , f (e) ? ? 4 e 2 4e 2 4 2 4 4

(a ? 1) x 2 ? a ,x ? (0, ??) . x ①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;-------------5
②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递增; ----------------6

分 分

6

?a ?a ?a 或x? ? (舍去) ,? x ? a ?1 a ?1 a ?1 ?a ?a ∴ f ( x) 在 ( ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减; --------------------8 a ?1 a ?1
2 ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

分 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递增; 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (

a ? ?1 当 时 , -----------------------10 分

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减. a ?1 a ?1 f ( x) (0,??) 在 单 调 递 减 ?a ) a ?1




(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 ? 1 ? a ? 0 时, f min ( x) ? f ( 即 原 不 等 式 等 价

f(

?a a ) ? 1 ? ln(?a) a ?1 2

---------------------------12 分 即 a ln

?a a ? 1 ?a a ? ? ? 1 ? 1 ? ln(?a) 整理得 ln(a ? 1) ? ?1 a ?1 2 a ?1 2 1 ?1 ? ∴ a ? ? 1 , ------13 分 又∵ ? 1 ? a ? 0 , 所以 a 的取值范围为 ? ? 1, 0 ? .-----14 e ?e ?



7


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