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山东乐陵一中2015高三上数学教案:平面向量的线性运算


【学习目标】: 1. 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念、向量的几何表示. 2. 掌握向量加法、减法、数乘的运算,并理解其几何意义. 3. 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【学习重点】:理解平面向量的概念,掌握向量加法、减法、数乘的运算,并理解其几何意义. 【难点】向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义. 【自主学习】 : 1.向量的有关概念 (1)向量:具有____和____的量叫做向量,表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度(或模). (2)相等向量:长度_____且方向______的向量. (3)共线(平行)向量,如果向量的基线____________,则称这些向量共线或平行. (4)零向量:_________的向量,记作 0,零向量的方向不确定,规定零向量与任意向量平行. (5)向量 a 的单位向量:给定一个非零向量 a,_____________________叫做向量 a 的单位向量,若 a 的 单位向量记作 a0,则有____________ (6)相反向量:____________________的向量叫做 a 的相反向量记作-a. 2.向量的加法与减法 (1)加法法则:服从三角形法则,平行四边形法则,多边形法则. 运算性质:a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c). (2)向量的减法 ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以 ___________为始点,_______________ 为终点的向量. ②一个向量等于它的终点相对于点 O 的位置向量减去它的始点相对于点 O 的位置向量,或简记为 “_______________” . 3.实数与向量的积 (1)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,规定: ①长度:|λa|=|λ||a|; ②方向:当 λ>0,a≠0 时,λa 与 a 的方向相同; 当 λ<0,a≠0 时,λa 与 a 的方向相反; 当 λ=0 或 a=0 时,0a=0 或 λ0=0. (2)运算律:设 λ、μ∈R,则:①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb. 4.平行向量基本定理 如果 a=λb,则 a∥b;反之,如果 a∥b,且 b≠0,则一定存在唯一一个实数 λ,使 a=λb. 【自我检测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√” ,错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量( ) (2)若 a∥b,b∥c,则 a∥c( ) (3)a∥b 是 a=λb(λ∈R)的充要条件( ) → → → (4)若 O 是△ABC 的重心,则OA+OB+OC=0( ) a b 2.设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是( ) |a| |b| A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b| 3.设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 → → → 4.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λAO,则 λ=________. 【合作探究】 【例 1】 给出下列四个命题,其中假命题的个数为( ) → → ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; ②若AB=DC,则四边形 ABCD 为平行四边形;

③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练 1】给出下列四个命题,其中假命题的个数为( ) ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③设 a0 是单位向量,若 a∥a0,且|a|=1,则 a=a0; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. A.1 B.2 C.3 D.4

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D 三点共线;

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

【变式训练】 → → → 如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,AF=3e1-ke2,且 A、C、F 三点共线,则 k=__.

知识总结 方法总结

【达标检测】 1.设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μ c; ③给定单位向量 b 和正数 μ,总存在单位向量 c 和实数 λ,使 a=λb+μ c;

④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb+μ c. 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2012· 辽宁高考)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ) A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 3.下列命题中是真命题的是( ) ①对任意两向量 a、b,均有:|a|-|b|<|a|+|b|; ②对任意两向量 a、b,a-b 与 b-a 是相反向量; → → → ③在△ABC 中,AB+BC-AC=0; → → → → ④在四边形 ABCD 中,(AB+BC)-(CD+DA)=0. A.①②③ B.②④ C.②③④ D.②③ → → → 4. 设 a,b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为________. → → → 5 已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA+OB+OC=0,则△ABC 的内角 A 等于________. 1 2 6.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC. 2 3 → → → 若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. → → → → → 7.设点 M 是线段 BC 的中点,A 在直线 BC 外,BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|, → 则|AM|=________.

→ → → → → 8.已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点,点 P 满足PA+BP+CP=0,AP=λPD,求实数 λ 的值.


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