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江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练(50个全部附答案)


江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(1)
班级学号姓名 1.设集合 A ? x x2 ? 2 x ? 3≤0 , B ? x x2 ? 5x≥0 ,则 A I ? ?R B ? ? ______.
uur 2.在平面直角坐标系中,已知向量 AB = (2,1),向量 uuu r uuu r AC = (3,5),则向量 BC 的坐标为.

?

?

?

?

开始 输入 x n←1 n←n+1 x←2x+1 n≤3 N 输出 x
(第 4 题)

3.在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 , 则 cos C ? . 4.已知实数 x∈[1,9],执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为. 5.在等比数列 , 比 为. 6.函数 f ( x) ? ( x2 ? x ? 1)e x ( x ? R) 的单调减区间为. 中, 为其前 项和,已知 ,则此数列的公

Y

结束

7.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E,F 分别为 BC,DC 的中点,沿 AE,EF,AF 折成一 个四面体,使 B,C,D 三点重合,则这个四面体的体积为. x2 y2 8.若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点 (2,1) 作圆 x2+y2=4 的切线,切点分别为 A,B, a b 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.

0 ?? ? 9. 已知函数 f ( x) ? A sin ( x ? ? ) ,x ? R ,A ? 0 ,

? 3

? . 2

y ? f ( x) 的部分图象,如图所示, P 、 Q 分别为该图象
相邻的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) ,点 R 的坐 标为 (1, 0) , ?PRQ ?

y P O O A
O

R A O

2? ,则 tan ?APQ ? . 3


Q O

x O

10.已知数列{an}的通项公式为 an=-n+p,数列{bn}的通项公式为 bn=2n 5.设
?an,an≤bn, cn=? 若在数列{cn}中,c8>cn(n∈N*,n≠8),则实数 p 的取值范围 ?bn,an>bn,

是. 11.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这种薄板须沿其对 角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板,沿 AC 折叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形

ACB?PD 的面积最大时制冷效果最好,设 AB=x 米.
D

B?
P C

A
(第 11 题)

B

(1)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (2)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

12.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,存在常数 A,B,C,使得 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 对任意 正整数 n 都成立. (1)若数列 {an } 为等差数列,求证:3A-B+C=0; (2)若 C=0,{an } 是首项为 1 的等差数列,设 P ? 大整数的值.
2014

?
i ?1

1?

1 1 ? 2 ,求不超过 P 的最 2 ai ai ?1

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(2)
班级学号姓名 1.已知 a,b 是实数,且 b +(4+i)b+4+ai=0(其中 i 是虚数单位) ,则|a+bi|的值是 . 2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子 朝上的面的点数分别为 x , y ,则 y ? 2 x 的概率为.
2

3. 如果双曲线的两个焦点分别为 F( 3) 和 F( 3) , 其中一条渐近线的方程是 y ? 1 0, 2 0, 则双曲线的实轴长为 . 4.底面边长为 2m,高为 1m 的正三棱锥的全面积为 m2. 5.在 △ ABC 中,已知 cos A ?

2 x, 2

4 1 , tan( A ? B) ? ? ,则 tan C 的值是. 5 2

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? 6.若关于 x 的不等式组 ? 2 的整数解集的集合为{-2},则实数 k 的取 ? ?2 x ? (2k ? 5) x ? 5k ? 0
值范围为.

?x ? y ? 0 ? 7.在平面直角坐标系中,不等式 ? x ? y ? 0 (a 为常数)表示的平面区域的面积为 8,则 ?x ? a ?
x? y?2 的最小值为. x?3 8.如图所示,矩形 An Bn Cn Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另 1 两个顶点 Cn 、 Dn 在函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的图 x * 像上,若点 Bn 的坐标为 ? n, 0 ? ( n ? 2, n ? N ) ) ,矩形

An Bn Cn Dn 的周长记为 an ,则 a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ? .
9.在△ ABC 中, ( AB ? 3AC) ? CB ,则角 A 的最大值为. 10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心 初始位置在 C (0,1) , 此时圆上一点 P 的位置在 (0,0) , 在 x 轴上沿正向滚动, 当圆滚动到圆心位于 ( 则 OP ? OC 为. y P 1C O 1
2? ( ,1) 3

??? ?

??? ?

??? ?

的 圆 时, x

2? ,1) 3

??? ? ????

11.如图, AB , CD 均为圆 O 的直径, CE ? 圆 O 所在的平面, BF ? CE . 求证:⑴平面 BCEF ? 平面 ACE ; E ⑵直线 DF ? 平面 ACE . F C A O
(第 11 题图)

B D

x2 y2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1. 6 2 (1)若 P 是椭圆 C 上的动点, M 点的坐标为(1,0),求 PM 的最小值及对应的点 P 的坐 标; (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的 AB 垂直平分线 l 交 x 轴于点 N,证明: 是定值,并求出这个定值. FN

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(3)
班级学号姓名

? ? ? ? 1.已知向量 a ? (1 ? 2 x,2) , b = ? 2, ?1? ,若 a ? b ,则实
数 x ?. 2.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果 是. 3.过点 P (2, ?1) ,在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a , b ,且满 足 a ? 3b 的直线方程为. 4.若一个长方体的长、宽、高分别为 3 、 2 、1,则它的外接球的表面积是. 5.已知某拍卖行组织拍卖的 10 幅名画中,有 2 幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一 幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为. 6.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a 3 取最小值时,数列 ?an ? 的通项公式

an=. 7. 记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x). 如果存在 x0∈[a, b], 使得 f(b)-f(a)=f′(x0)(b -a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“中值点” .那么函数 f(x)=x3-3x 在区 间[-2,2]上“中值点”的个数为. 8.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p > 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a > 0, b > 0) 有相同的焦点 F,点 a2 b2

A 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为. 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 3 x ? y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 交于

A , B 两点,则直线 OA 与直线 OB 的倾斜角之和为.
10. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型: 数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现 在第 4 行; 依此类推, 则第 63 行从左至右的第 7 个数 应是. 11. 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b,c, 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 满足:对于任意 x ? R, f ( x)≤ f ( A) 恒成立. 6 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 ,求 BC 边上的中线 AM 长的取值范围.
15 7 6 2 1

3

5

4

8

9

10

14

13

12

11

?

12.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? ln x . (1)若 a=1,求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 的最大值; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(4)
班级学号姓名 1.已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数为 ? z ,若 2z? ? z ? 3 ? 4 i ,则 z?. 2.已知集合 A ? {x | x ? 5} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充分 不必要条件,则实数 a 的取值范围是.
1 3.已知一组正数 x1,x2,x3,x4 的方差为 s 2 ? ( x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? 16) ,则数据 x1,x2, 4 x3,x4 的平均数为.

4.在边长为 6 的等边△ABC 中,点 M 满足 BM ? 2 MA ,则 CM ? CB 等于. 5.将函数 y ? 2sin π x 的图象上每一点向右平移 1 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标 3 扩大为原来的 π 倍(纵坐标保持不变) ,得函数 y ? f ( x) 的图象,则 f ( x) 的一个解析式 3 为. 6.直线 x+a y+1=0 与直线(a +1)x-by+3=0 互相垂直,a,b∈R,且 ab≠0,则|ab|的最小值 是.
4
2 2

???? ?

????

???? ? ??? ?

7.四面体的四个面的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 、 S4 ,记其中最大的面积为 S ,则
取值范围是_. 8.平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

?S
i ?1

i

3S



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 a 2 b2

F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距

离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为. 9.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x2 ,若对区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且 p≠q,不等式
f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围是. p?q

10.函数 f(x)=sin2x+ 2 3 cos x﹣ 3 ,函数 g(x)=mcos(2x﹣ 若存在 x1,x2 ? [0,

2

? )﹣2m+3(m>0) , 6


? ,使得 f(x )=g(x )成立,则实数 m 的取值范围是 ] 1 2
4
S

11.如图,在四棱锥 S—ABCD 中,侧棱 SA=SB=SC=SD, 底面 ABCD 是菱形,AC 与 BD 交于 O 点. (1)求证:AC⊥平面 SBD; (2)若 E 为 BC 中点,点 P 在侧面△SCD 内及其边界 上运动,并保持 PE⊥AC,试指出动点 P 的轨迹, 并证明你的结论. A

D O B E

C

12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
6 ). 2 (1)求椭圆 E 的方程; ( 2,

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点

(2)若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆 上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . 设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的 斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值.

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(5)
班级学号姓名 1.若集合 A ? ??1,0,1? , B ? ? y | y ? cos(? x), x ? A? ,则 A ? B ? . 2.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 则实数 m =. 3.如图所示程序框图,输出结果是. 4.已知实数 a , , b 成等差数列,且 ab ? 0 , 则 1 ? ab 的取值范围为. 5.将一个体积为 27cm3 的正方体木块表面涂上蓝色, 然后锯成体积为 1 cm3 的小正方体,从中任取一块,则这一块恰有两面涂有蓝色 的概率是. 6.设向量 ,若 ,则 等于.

1 2

7.己知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,其前 n 项和为 Sn,若直线 y=a1x 与圆 (x﹣2) +y =1 的两个交点关于直线 x+y+d=0 对称,则 Sn=. 8 .已知 ?ABC 中,三个内角 A, B ,C 的对边分别为 a,b,c , 若 ?ABC 的面积为 S ,且
2 2

2 S ? ? a ? b ? ? c 2 , 则 tan C 等于.
2

0) 作曲线 C :y ? e x 的切线, 9. 过点 P(?1, 切点为 T1 , 设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 , 过点 H1

再作曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的 投影是点 H 2 ,?,依次下去,得到第 n ? 1 (n ? N) 个切 点 Tn ?1 .则点 Tn ?1 的坐标为. 10.如图放置的正方形 ABCD,AB=1,A,D 分别在 x 轴、y 轴 的正半轴(含原点)上滑动,则 OC ? OB 的最大值是

???? ??? ?



11.如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1D , AB ? AD .

求证: (1) AA1 ? BD ; (2) BB1 // DD1 . A1

D1 C1 B1 D A

M B

C

12. 对于任意的 n ? N * , 若数列 {a n } 同时满足下列两个条件, 则称数列 {a n } 具有 “性质 m ” :

an ? an ? 2 ? an ?1 ; ②存在实数 M ,使得 an ? M 成立. 2 n? (1)数列 {a n } 、 {bn } 中, an ? n 、 bn ? 2 sin ( n ? 1,2,3,4,5 ) ,判断 {a n } 、 {bn } 是 6 否具有“性质 m ” ; 1 7 (2)若各项为正数的等比数列 {cn } 的前 n 项和为 S n ,且 c3 ? , S3 ? , 4 4 求证:数列 {S n } 具有“性质 m ” .


江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(6)
班级学号姓名 1.设集合 A ? {1,2} ,则满足 A ? B ? {1,2,3} 的集合 B 共有个.

b ? R , a ? bi ? 2.设 a ,

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为. 1 ? 2i

3.已知 ? ? 0 ,函数 y ? 3sin(?? x ?

) 的周期比振幅小 1,则 ? ? . 4 4.若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104,则 a5 与 a7 的等比中项为.
5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,若在正方体内(包括边界)任取一点 M,则 四棱锥 M-ABCD 的体积不小于

?

1 的概率是. 8

6.如右流程图所给的程序运行的结果为 S=132,那么判断框 中应填入的关于 k 的判断条件是. (图中“=”表示赋值) 7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,且 a ?

5,

b ? 3,sin C ? 2sin A ,则 sin A ? .
8.若以椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F 为圆心, a 为半径的圆与椭圆的左准线交于 a 2 b2

不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是. 9.定义:若函数 f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应的函数与 f(x)的值域相同,则称变换 T 是 f(x)的同值变换.下面给出了四个函数与对应的变换: (1) f(x)=(x-1)2, T1 将函数 f(x)的图像关于 y 轴对称; (2) f(x)=2x 1-1,T2 将函数 f(x)的图像关于 x 轴对称;
-

(3) f(x)=

x ,T3 将函数 f(x)的图像关于点(-1,1)对称; x ?1

(4) f(x)=sin(x+

? ),T4 将函数 f(x)的图像关于点(-1,0)对称. 3

10.定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A,B, M ( x, y ) 是 f ( x ) 图象上任意 一 点 , 其 中 x ? ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? R ? ,向量ON ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB , 若 不 等 式

其中 T 是 f(x)的同值变换的有_______.(写 出所有符合题意的序号)

????

??? ?

??? ?

???? ? 1 2? MN ? k 恒成立, 则称函数 f ? x ? 在? a, b? 上 “k 阶线性近似” , 若函数 y ? x ? 在 ?1, x
上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为_______. 11. 某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形 ABCD 的三边 AB 、BC 、

CD 由长 6 分米的材料弯折而成, BC 边的长为 2t 分米(1 ? t ?

3 ); 曲线 AOD 拟从以下 2

两种曲线中选择一种 :曲线 C1 是一段余弦曲线 (在如图所示的平面直角坐标系中,其解析 式为 y ? cos x ? 1 ),此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h1 (t ) ; 曲线 C2 是一段抛物线, 其焦点到准线的距离为

9 ,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h2 (t ) . 8 (1)试分别求出函数 h1 (t ) 、 h2 (t ) 的表达式; y (2) 要使得点 O 到 BC 边的距离最大 , 应选用哪一种曲线 ?
O A D x

此时,最大值是多少?

B

C

???? ???? 1 ??? ? ???? 12.已知 A(?2,0), B(2,0), 点C、D 依次满足 AC ? 2, AD ? ( AB ? AC ) . 2 (1)求点 D 的轨迹; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、 B 为焦点的椭圆于 M 、N 两点,线段 MN 的中点到 y 4 轴的距离为 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程. 5

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(7)
班级学号姓名
n 1.设 z 是复数, a( z ) 表示满足 z ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单位 i , a(i) ? .

2.一个样本有五个数组成,且这五个数按 a,99,b,101,c 的顺序组成等差数列,则这个 样本的标准差为. 3.已知点 A、B、C 满足 | AB |? 3,| BC |? 4,| CA |? 5 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? CA ? AB 的值是.

4.关于 x 的不等式 ( x ? 2a)(ax ? 1) ? 0 的解为 x ?

1 或 x ? 2a ,则实数 a 的取值范围为. a
D1 B1 D A B C1

5.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,给出以下四个结论: ① D1C ∥平面 A1 ABB1 ;② A1 D1 与平面 BCD1 相交; A1

C

③AD⊥平面 D1DB ;④平面 BCD1 ⊥平面 A1 ABB1 . 其中正确结论的序号是.

?? x 2 ? 2ax, x ? 1, 6.已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实 x ? 1, ?ax ? 1, 数 a 的取值范围是.
7.已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2,点 M 、 N 分别为线段 BC 、 CD 上的两个不
???? ? ???? ???? ? 同点,且 MN ≤1 ,则 OM ? ON 的取值范围是______.

8.设圆 C : x2 ? y 2 ? 3 ,直线 l : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上,若在圆 C 上存在 一点 Q ,使得 ?OPQ ? 60? ( O 为坐标原点) ,则 x0 的取值范围为. 9 . 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 为 1 , 公 差 为 2 , 若 a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4a5 ????

?a2n a2n?1 ? t ? n2 对 n ? N * 恒成立,则实数 t 的取值范围是.
x2 y 2 10.如图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 , a b 1 上顶点为 A,离心率为 ,点 P 为第一象限内椭圆上的 F1 2 一点,若 S?PF1 A : S?PF1F2 ? 2 :1 ,则直线 PF1 的斜率为________.

y A O F2 P x

11.如图,棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱形,平面 AA1C1C⊥平面 ABCD. (1)证明:BD⊥平面 AA1C1C; (2)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP∥平面 DA1C1? D1 若存在,求出点 P 的位置;若不存在,说明理由. A1 B1 A B D C C1

12.设函数 f n ( x) ? 1 ? x ?

x2 x3 xn ? ? ? ? (?1) n ,n? N ?. 2 3 n (1)试确定 f 3 ( x) 和 f 4 ( x) 的单调区间及相应区间上的单调性;

(2) 说明方程 f 4 ( x) ? 0 是否有解,并且对任意正偶数 n ,给出关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 的解的 一个一般结论,并加以证明.

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(8)
班级学号姓名 1.直线 x ? (m ? 1) y ? 2 ? m 与 mx ? 2 y ? ?8 垂直的充要条件是 m =. 2.如果复数

2 ? bi (b ? R ) 的实部与虚部互为相反数,则 b =. 3?i

3.为了了解某年段 1000 名学生的百米成绩情况, 随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介 于 13 秒与 18 秒之间,将成绩按如下方式分成 五组:第一组[13,14) ;第二组[14,15);……; 第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布 直方图如图所示,已知图中从左到右的前 3 个组 的频率之比为 3∶8∶19,且第二组的频数为 8, 则调查中随机抽取了个学生的百米成绩.
2 2 2 2 4.设数列{ an }是公差不为 0 的等差数列,S 为其前 n 项和,若 a1 , ? a2 ? a3 ? a4

S5 ? 5 ,则 a7 的值为_____.
5.由命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得实数 m 的取值范围是 (a ,??) ,则实 数 a 的值是. 6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行, 若数列 {

1 } 的前 n 项和为 S n ,则 S 2013 的值为. f ( n)

7. 设双曲线的中心 O 关于其右焦点的对称点为 G, 以 G 为圆心作一个与双曲线的渐近线相 切的圆,则双曲线的右准线与圆 G 的位置关系是. 8.在△ABC 中,已知 sin A sin B cos C ? sin Asin C cos B ? sin B sin C cos A ,若

a, b, c 分别是角 A,B,C 所对的边,则

ab 的最大值为. c2

9 . 已 知 向 量 OA ? (? cos ? , ? sin ? ) , OB ? (? sin ? , cos ? ) , 其 中 O 为 坐 标 原 点 , 若

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? | BA |? 2| OB | 对任意实数 ? 、 ? 都成立,则实数 ? 的取
值范围是. 10.如图,点 A,B 分别在 x 轴与 y 轴的正半轴上移动,且 AB=2,若点 A 从( 3,0)移动到( 2,0),则 AB 中点 D 经过的路程为.

y B? B O D? D A? A x

(第 10 题图)

11.请你设计一个纸盒.如图所示,ABCDEF 是边长为 30cm 的正六边形硬纸片,切去 阴影部分所示的六个全等的四边形,再沿虚线折起,正好形成一个无盖的正六棱柱 形状的纸盒.G、H 分别在 AB、AF 上,是被切去的一个四边形的两个顶点,设 AG ? AH ? x(cm). (1)若要求纸盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若要求纸盒的的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求此时纸盒的高与底面边 长的比. E D

F

C

H

AG

B

12.已知数列 (1)若数列 数列

的前 项和为

. , 是 , 的等差中项,求

是等比数列,满足 的通项公式; ,使对任意 都有

(2)是否存在等差数列

?若存在,请求

出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(9)
班级学号姓名 1.函数 f ( x) ? cos
px p ( x ? 1) 的最小正周期为. cos 2 2

2. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1, 则数据 a1 ,a2 ,a3 ,

S ←0 n←0 While S ≤ 1023 S ← S ? 2n n ← n ?1 End While Pr int n

a4 , a5 的方差为.
3.根据右图所示的算法,可知输出的结果为. 4.已知三个数 构成一个等比数列,则圆锥曲线 的离心率为.

(第3题)

5.已知 0 ? a ? 1 ,若 log a (2 x ? y ? 1) ? log a (3 y ? x ? 2) ,且 ? ? x ? y ,则 ? 的最大值为.
cos 2 x ? 5 ? 6.若 sin( ? x) ? , 且 0 ? x ? , 则 =. ? 4 13 4 cos( ? x) 4

7.如图,将一边长为 4 的正方形纸片按照图中的虚线所示的 方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为. 8.直线 l 与函数 y ? sin x( x ? [0, ? ]) 的图象相切于点 A ,切 l // OP ,O 为坐标原点, P为 图 1 第7 题

A? B C ?. 图象的极值点,l 于 x 轴交于 B 点, 过切点 A 作 x 轴的垂线, 垂足为 C , 则B
9 .在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P ( x1,y1 ) 、 Q ( x2,y2 ) ,定义: d ( P,Q) = x1 - x2

??? ? ??? ?

+ y1 - y2 .已知点 B (1 ,0) ,点 M 为直线 x - 2 y + 2 = 0 上的动点,则使 d ( B,M ) 取最小
值时点 M 的坐标是. 10.设 x,y 是正实数,且 x+y=1,则

x2 y2 的最小值是 ? x ? 2 y ?1



组号

分组

频数

频率

11. 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随 机抽取容量为 50 的学生成绩样本,得频率 分布表如下: (1)写出表中①②位置的数据; (2)为了选拔出更优秀的学生, 高校决定在第 三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学 生进行第二轮考核,分别求第三、四、五 各组参加考核人数;

第一组 第二组 第三组 第四组 第五组

? 230, 235? ? 235, 240 ?

8 ① 15 10 5 50

0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00

? 240, 245? ? 245, 250 ?
[250, 255]

合计

(3)在(2)的前提下,高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生,求 2 人中至少有 1 名是第 四组的概率.

12.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n 2 ? 2 n .数列 {bn } 中,b1 ? 1 ,它的第 n 项 bn 是 数列 {an } 的第 bn ?1 项 (n ≥ 2) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)若对任意的 n ? N * ,不等式 立,试求 m 的取值范围.

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? m2 ? m ? 1 恒成 b1 ? 1 b2 ? 1 b3 ? 1 bn ? 1

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练(10)
班级学号姓名 1.若复数(a+i)(1-2i)(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a=.

2.已知 a 为第二象限角,且 sin ? ?

4 ,则 tan ? =. 5
第二次 91 90 第三次 90 91 第四次 89 88 第五次 93 92

3.抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 甲 乙 第一次 87 89

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为. 4.已知数列 { an }满足 a1 =1,且对任意的正整数 m、n,都有 am?n ? 2012 ? am ? an ,则 a2014-a2013 ? . 5.已知实数 x,y 满足不等式组 最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为. 6.用计算机随机产生的有序二元数组(x,y)满足 ? 若目标函数 取得最大值时的唯一

??1 ? x ? 1, 对每个二元数组(x,y), ??2 ? y ? 2,

用计算机计算 x 2 ? y 2 的值,记“(x,y)满足 x 2 ? y 2 ? 1”为事件 A,则事件 A 发生的概 率为. 7. 已知函数 f ( x ) ,g ( x) 满足 f (5) ? 5, f '(5) ? 3, g (5) ? 4, g '(5) ? 1, 则函数 y ?

f ( x) ? 2 g ( x)


的图象在 x=5 处的切线方程为. 8. 已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x | ax2 ? bx ? c ? 0} , 且 ac ? 0 , 若 A? B ? 3 a, b, c ? R , ( 4 ,]

b a ? 2 的最小值为. a c 2 2 x y 3 9.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A、B 是椭圆的左、右顶点,P 是 2 a b cos(? ? ? ) 椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 ? 、 ? ,则 =. cos(? ? ? )
A ? B ? R ,则
10.将函数 y ?

2

? x 2 ? 2 x ? 3 ? 3 ( x ? ?0,2? )的图象绕坐标原点逆时针旋转 ? ( ? 为

锐角) ,若所得曲线仍是一个函数的图象,则 ? 的最大值为. 11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列.

3 ,且 b ? 3 ,求 a+c 的值; 2 (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.
(1)若 AB ? BC ? ?

??? ? ??? ?

12. 椭圆

x2 y 2 焦距为 4 2 ,A, B 分 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任一点 P 到两个焦点的距离的和为 6, a 2 b2

别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明: k1 ? k2 为定值; (3)设 C ( x, y )(0 ? x ? a) 为椭圆上一动点, D 为 C 关于 y 轴的对称点,四边形 ABCD 的面 积为 S ( x) ,设 f ( x) ?

S 2 ( x) ,求函数 f ( x) 的最大值. x?3

江苏南通 2015 高考数学二轮冲刺小练参考答案
(1)
3 ;2. 1. ? 0, (1,4) ;3 . ?
1 7. ; 3 8.

?

1 4

; 4.

3 ; 5.3 6. (?2, ?1) (或闭区间); 8

x2 y 2 ? ? 1 ;9. 4 3 ; 10.(12,17). 20 16 11. 解: (1) 由题意, AB ? x ,BC ? 2 ? x . 因x ?2? x, 故1 ? x ? 2 . 设 DP ? y , 则 PC ? x ? y . 因 △ ADP ≌△ CB ?P ,故 PA ? PC ? x ? y . 2 2 2 由 PA2 ? AD 2 ? DP 2 ,得 ( x ? y ) ? (2 ? x) ? y ? y ? 2(1 ? 1 ) , 1 ? x ? 2 . x 1 2 记△ ADP 的面积为 S1 ,则 S1 ? (1 ? )(2 ? x) ? 3 ? ( x ? ) ? 2 ? 2 2 , x x
当且仅当 x ? 好. (2)记△ ADP 的面积为 S 2 ,则

2 ∈(1,2)时,S1 取得最大值.故当薄板长为 2 米,宽为 2 ? 2 米时,节能效果最

S2 ? 1 x(2 ? x) ? (1 ? 1 )(2 ? x) ? 3 ? 1 ( x 2 ? 4 ) , 1 ? x ? 2 . 2 x 2 x 3 1 4 ?x ? 2 ? 0 ? x ? 3 2 . 于是, S 2? ? ? (2 x ? 2 ) ? 2 x x2
关于 x 的函数 S 2 在 (1, 3 2) 上递增,在 ( 3 2, 2) 上递减.所以当 x ? 故当薄板长为
3 3

2 时, S2 取得最大值.

2 米,宽为 2 ? 3 2 米时,制冷效果最好. 2 12.解⑴因为 ?an ? 为等差数列,设公差为 d ,由 an ? Sn ? An ? Bn ? C ,
得 a1 ? (n ? 1)d

1 ? na1 ? n(n ? 1)d ? An2 ? Bn ? C , 2 1 d 2 即 ( d ? A)n ? (a1 ? ? B)n ? (a1 ? d ? C) ? 0 对任意正整数 n 都成立. 2 2

?1 ? 2 d ? A ? 0, ? 1 所以 ? 所以 3 A ? B ? C ? 0 . ? a1 ? d ? B ? 0, 2 ? ? a1 ? d ? C ? 0, ? ?
⑵因为 而

?an ? 是首项为 1 的等差数列,由⑴知,公差 d ? 1 ,所以 an ? n .

1?

1 1 1 1 1 n2 (n ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? n2 n(n ? 1) ? 1 ? ?1? ?1? ? , ? ? 2 2 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 n (n ? 1) n (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) ? 2015 ? 1 2 2 3 3 4 2014 2015 2015 所以,不超过 P 的最大整数为 2014 .
所以 P ? (1 ?

(2)

? 3 11 6. [?3, 2) ;7. 6 ? 4 2 ;8.216;9. ; 10. . 2 6 2 11.解:⑴因为 CE ? 圆 O 所在的平面, BC ? 圆 O 所在的平面,所以 CE ? BC ,因为 AB 为圆 O 的 直径,点 C 在圆 O 上,所以 AC ? BC , 因为 AC ? CE ? C , AC , CE ? 平面 ACE ,
1. 2

2 ;2.

;3. 2

3 ;4.3

3;5.

所以 BC ? 平面 ACE ,因为 BC ? 平面 BCEF ,所以平面 BCEF ? 平面 ACE .

⑵由⑴ AC ? BC ,又因为 CD 为圆 O 的直径,所以 BD ? BC , 因为 AC , BC , BD 在同一平面内,所以 AC ? BD ,因为 BD ? 平面 ACE , AC ? 平面 ACE , 所以 BD

x2 y2 12.解: (1)设点 P 坐标为(x,y) ,则 + =1.因为点 M 的坐标为(1,0) , 6 2 2 2 x 2x 2 3 3 所以 PM2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+2- = -2x+3= (x- )2+ ,x∈[- 6, 6]. 3 3 3 2 2 3 6 3 5 所以当 x= 时,PM 的最小值为 ,此时对应的点 P 坐标为( ,± ) . 2 2 2 2 2 2 2 (2)由 a =6,b =2,得 c =4,即 c=2, 6 从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0),右准线方程为 x=3,离心率 e= . 3 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点 H(x0,y0) ,则 x12-x22 y12-y22 y1-y2 x12 y12 x22 y22 x0 + =1, + =1,所以 + =0,即 kAB= =- . 6 2 6 2 6 2 3y0 x1-x2 1 令 k=kAB,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y-y0=- (x-x0). k 2 2 令 y=0,则 xN=ky0+x0= x0.因为 F(2,0),所以 FN=|xN-2|= |x0-3|. 3 3 2 6 AB 2 6 3 AB 因为 AB=AF+BF=e(3-x1)+e(3-x2)= |x0-3|.故 = × = 6.即 为定值 6. 3 FN 3 2 FN

? 平面 ACE .因为 BF ? CE ,同理可证 BF ? 平面 ACE , 因为 BD ? BF ? B , BD, BF ? 平面 BDF ,所以平面 BDF ? 平面 ACE , 因为 DF ? 平面 BDF ,所以 DF ? 平面 ACE .

(3)
1.0;2.3;3. x ? 3 y ? 1 ? 0 或 y ? ? x ;4. 6 ? ;5.

1 2

? 8 2 n ?1 ; ; 6. 7. 2; 8. 2 ? 1 ; 9. 10. 2014. 15 3
∴ f ( x) ? sin(2 x ?

11. 解 (1) 由题意, ∵对于任意 x ? R, f ( x) ≤ f ( A) 恒成立, 当 f ( x) 取得最大值时, 2 x ? ∴ A ? k? ?

?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,即 x ? k? ?

?
3

6

) 的最大值为 f ( A) ,

,k ?Z ,

?
3

, k ? Z ,又∵A 是三角形的内角,即 0 ? A ? ? ,∴ A ?
2

?
3

. ①

(2)∵AM 是 BC 边上的中线,∴在△ ABM 中, AM ? 在△ ACM 中, AM ?
2

3 3 ? 2 AM ? ? cos ?AMB ? c 2 , 4 2

3 3 ? 2 AM ? ? cos ?AMC ? b 2 , ② 4 2 又∵ ?AMB ? ? ? ?AMC ,∴ cos ?AMB ? ? cos ?AMC , b2 ? c 2 3 ? 2 ①+②得 AM ? ? .由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? b2 ? c2 ? bc ? 3 , 3 2 4 2 2 3 3 b ?c 3 9 2 2 2 2 ? AM ≤ . ∵ 0 ? b ? c ? 3 ? bc≤ , ∴ 3 ? b ? c ≤6 , ∴ ? AM 2 ≤ , 即 2 2 4 4 2
12.解(1)若 a=1,则

f ( x) ? x x ? 1 ? ln x .当 x ? [1, e] 时, f ( x) ? x 2 ? x ? ln x ,

f ' ( x) ? 2 x ? 1 ?
? f ( x) max
(2)函数

1 2 x2 ? x ?1 ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 [1, e] 上单调增, x x ? f (e) ? e 2 ? e ? 1 .
ln x .* x

f ( x) 的定义域为 x ? (0, ??) .由 f ( x) ? 0 ,得 x ? a ?

(ⅰ)当 x ? (0,1) 时, x ? a ≥ 0 , (ⅱ)当 x ? 1 时, 1 ? a ≥ 0 ,

ln x ? 0 ,不等式*恒成立,所以 a ? R ; x

ln x ? 0 ,所以 a ? 1 ; x

(ⅲ)当 x ? 1 时,不等式*恒成立等价于 a ? x ? 令 h( x ) ? x ?

ln x ln x 恒成立或 a ? x ? 恒成立. x x

x 2 ? 1 ? ln x ln x ,则 h?( x) ? .因为 x ? 1 ,所以 h?( x) ? 0 ,从而 h( x) ? 1 . x2 x ln x 因为 a ? x ? 恒成立等价于 a ? (h( x)) min ,所以 a ≤ 1 . x x 2 ? 1 ? ln x ln x 2 令 g ( x) ? x ? ,则 g ?( x) ? .再令 e( x) ? x ? 1 ? ln x , x2 x 1 则 e?( x) ? 2 x ? ? 0 在 x ? (1, ??) 上恒成立, e( x) 在 x ? (1, ??) 上无最大值. x 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是 (??,1) .

(4)
1.1 ? 4 i ; 2. a ? 5 ; 3.2;4.24;5. y ? 2sin x ? π ;

?

3?

6.2;7.(

2 4 , 3 3

];

8.

3 3

;9. [10, ?? ) ; 10.[ ,2].

11.证(1)∵底面 ABCD 是菱形,O 为中心.∴AC⊥BD, 又∵SA=SC,∴AC⊥SO,而 SO ? BD=O,∴AC⊥面 SBD. (2)取棱 SC 中点 M,CD 中点 N,连接 MN,则动点 P 的轨迹即是线段 MN. 证明如下:连结 EM、EN,∵E 是 BC 中点,M 是 SC 中点,∴EM//SB,同理 EN//BD. 又∵AC⊥平面 SBD∴AC⊥SB,∴AC⊥EM,同理 AC⊥EN, 又 EM ? EN=E,∴AC⊥平面 EMN,因此,当 P 点在线段 MN 上运动时,总有 AC⊥EP. P 点不在线段 MN 上时,不可能有 AC⊥EP. 12.解⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又 解得 b ? 3 或 b
2
4 2 2 3 + 2 ? 1 ,消去 a 可得, 2b ? 5b ? 3 ? 0 , 2 a 2b

1 x2 y2 2 ,则 a ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为 ? ? (舍去) ? ? 1. 4 3 2 y1 y ⑵设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ? 0 , k2 ? , x1 ? 2 2 4 y1 y0 y1 4 y12 , 因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ? ,所以, k1k2 ? ? x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)
2

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? 3 (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

4

4 y12 3 ? ? 为定值. 2 2( x1 ? 4) 2
; 7 . 2n ﹣ n2 ; 8 . ?

(5) 4 1 1 . {?1,1} ; 2 . ? ; 3 . 6 ; 4 . (??, ?1) ; 5 . ; 6 . 4 9
10.2.

4 3

;9.

e ?; ? n,
n

11.证明: (1)取线段 BD 的中点 M ,连结 AM 、 A1M ,因为 A 1D ? A 1 B , AD ? AB , 所以 BD ? AM , BD ? A1M .又 AM ? A 1 M ? M , AM 、A 1 M ? 平面 A 1 AM ,

所以 BD ? 平面 A1 AM .而 AA1 ? 平面 A1 AM ,所以 AA1 ? BD . (2)因为 AA1 // CC1 , AA 1 ? 平面 D 1 DCC1 , CC1 ? 平面 D 1 DCC1 ,所以 AA 1 DCC1 . 1 // 平面 D
又 AA 1 ? 平面 A 1 ADD1 ,平面 A 1 ADD 1 ? 平面 D 1 DCC1 ? DD 1 ,所以 AA 1 // DD1 . 同理得 AA1 // BB1 ,所以 BB1 // DD1 . 12.解(1)在数列 {a n } 中,取 n

a1 ? a3 ? 2 ? a 2 ,不满足条件①, 2 所以数列 {a n } 不具有 “ m 性质” ; 在数列 {bn } 中,b1 ? 1 ,b2 ? 3 ,b3 ? 2 ,b4 ? 3 ,

? 1 ,则

b5 ? 1 ,

? b3 ? 3 ? 2 3 ? 2b2 , b2 ? b4 ? 2 3 ? 4 ? 2b3 , b3 ? b5 ? 3 ? 2 3 ? 2b4 , n? 所以满足条件①; bn ? 2 sin ? 2 ( n ? 1,2,3,4,5 )满足条件②,所以数列 {bn } 具有“性 6 质m ” . 1 c c 7 (2) 由于数列 {c n } 是各项为正数的等比数列, 则公比 q ? 0 , 将 c3 ? 代入 S 3 ? 3 ? 3 ? c3 ? 2 4 q 4 q
则 b1 得,

6q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ?
对于任意的 n ? N ,
*

S n ? S n?2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? S n ?1 ,且 S n ? 2 2 2 2 2

1 1 1 或 q ? ? (舍去)所以 c1 ? 1 , c n ? 2 3 2 n ?1

, Sn

? 2?

1 2 n ?1

所以数列 {S n } 满足条件①和②,所以数列 {S n } 具有 “ m 性质” .

(6)
1.4; 2.15; 8. ( 3.1; 4. ?4 2 ; 5.

5 ; 8

6.k

? 10(或 k ? 11 ) ;

5 ?1 ? 9.①③④;10. ? 3 ? 2, ,1) ; ? ?? . ? 2 ?2 ? 11.解:(1)对于曲线 C1 ,因为曲线 AOD 的解析式为 y ? cos x ? 1 , 所以点 D 的坐标为 (t ,cos t ? 1) ,所以点 O 到 AD 的距离为 1 ? cos t ,
7.

5 ; 5



AB ? DC ? 3 ? t ,则 h1 (t ) ? (3 ? t ) ? (1 ? cos t ) ? ?t ? cos t ? 4(1 ? t ? 3 )
2
2

对于曲线 C 2 ,因为抛物线的方程为 x 所以点 O 到 AD 的距离为 (2)因为 h1? (t )

??

9 4 4 y ,即 y ? ? x 2 ,所以点 D 的坐标为 (t , ? t 2 ) 4 9 9

4 2 AB ? DC ? 3 ? t 4 3 ,所以 h2 (t ) ? t 2 ? t ? 3(1 ? t ? ) t ,而 9 2 9

3 ? ?1 ? sin t ? 0 ,所以 h1 (t ) 在 [1, ] 上单调递减,所以当 t ? 1 时, h1 (t ) 取得最大值为 2 3 3 5 3 ? cos1 ,又 h2 (t ) ? 4 (t ? 9 )2 ? 39 , 而 1 ? t ? , 所以当 t ? 时 , h2 (t ) 取得最大值为 ,因为 2 2 2 9 8 16 ? 1 cos1 ? cos ? ,所以 3 ? cos1 ? 3 ? 1 ? 5 , 3 2 2 2 3 5 故选用曲线 C 2 ,当 t ? 时,点 E 到 BC 边的距离最大,最大值为 分米。 2 2
12.解(1)设 C( x0 , y0 ), D( x, y), AC ? ( x0 ? 2, y0 ), AB ? (4,0).

??? ?

??? ?

???? 2 ???? ? x0 ? x ? 2 x y AD ? ( 0 ? 3, 0 ) ? ( x ? 2, y ), 则 ? , 代入 AC ? ( x0 ? 2)2 ? y02 ? 4, 得x 2 ? y 2 ? 1. 2 2 ? y0 ? 2 y
所以,点 D 的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的圆. 2 2 (2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2). ① 椭圆的方程 x ? y ? 1(a2 ? 4); ② 2 2 a a ?4 由 l 与圆相切得:

1 ? 1, k 2 ? . 3 1? k
2

2k

将①代入②得: (a2 k 2 ? a2 ? 4) x2 ? 4a2 k 2 x ? 4a2 k 2 ? a4 ? 4a2 ? 0 ,

又 k2 ?

1 3 ?a 2 ? 3a(a 2 ? 4) ,可得 (a2 ? 3) x2 ? a2 x ? a4 ? 4a2 ? 0 ,有 x1,2 ? , 2(a 2 ? 3) 4 3
∴ 椭圆方程为

2 2 ∴ x1 ? x2 ? ? a ? ?2 ? 4 , a ? 8 . 2 a ?3 5

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(7)
1.4;2. 7. [2 ?

2;

3.-25 ;4. a ? ?

2 2



5.①④;6.

? ??,1? ? ? 2, ???

6 ? ;9. (??, ?12] ; 10. 2, 2) ;8. ?0, ? ? ? 5?

3 5



11. 证明: (1) 因底面 ABCD 为菱形, 所以 BD⊥AC, 又平面 AA1C1C⊥平面 ABCD.所以 BD⊥平面 AA1C1C. (2)存在这样的点 P 因为 A1B1∥AB∥DC,∴四边形 A1B1CD 为平行四边形.∴A1D//B1C 在 C1C 的延长线上取点 P,使 C1C=CP,连接 BP,因 B1B∥CC1,∴BB1∥CP, ∴四边形 BB1CP 为平行四边形则 BP//B1C,∴BP//A1D∴BP//平面 DA1C1. 12.解(1) f 3 ( x ) ? 1 ? x ?

x2 x3 ? 2 2 ? , f 3 ( x) ? ?1 ? x ? x ? ?( x ? x ? 1) ? 0 , 2 3

y ? f 3 ( x) 为 R 上的减函数;

x2 x3 x4 ? ? ? , f 4 ( x) ? ?1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ( x ? 1)( x 2 ? 1) 2 3 4 (??,1) (1,??) x + f 4? ( x) f 4 ( x) 减 增 y ? f 4 ( x) 在 (??,1) 上减,在 (1,??) 上增. 1 1 1 5 (2)由(1)可知, f 4 ( x) min ? f 4 (1) ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 0 ,所以 f 4 ( x) ? 0 无解, 2 3 4 12 猜想 n 为偶数时, f n ( x) ? 0 无解. f4 ( x) ? 1 ? x ?
证明:当 n 为偶数时,设 n ? 2k (k ? N ) ,则
?

f n? ( x) ? ?1 ? x ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? ? ? (?1) n x n?1 ? ( x ? 1)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2k ?2 ) 1 1 1 在 (??,1) 上减,在 (1,??) 上增, f n ( x) min ? f n (1) ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? (?1) 2k ( ) 2 3 2k
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? ?0 2 3 4 5 2k ? 2 2k ? 1 2k 2k 所以 n 为偶数时 f n ( x) ? 0 无解.

2 1. ? ; 3

2.1;

3.50;

(8) 2013 4.9;5.1;6. 2014

;7.相离;

8.

3 2



? 10. . 12 11. 解(1)由平面图形知,正六棱柱的底面正六边形的边长为 (30 ? 2 x) , 9. (??, ?3] ? [3, ??) ; 根据平面图形中的小阴影四边形,可得正六棱柱的高为 3x ,

15? , 所以纸盒的侧面积 S ? 6 ? (30 ? 2 x) ? 3x ? 12 3x(15 ? x) , x ? ? 0,
15 ,所以当 x ? 15 CM 时,侧面积 S 最大. 2 2 3 (30 ? 2 x)2 ? 3x ? 9 4 x3 ? 120 x 2 ? 900 x , x ? 0, (2)纸盒的的容积 V ? 6 ? ? 15? , ? ? 2 4 2 2 9 由 V ?( x) ? ?12 x ? 240 x ? 900 ? ? 0 得 x ? 5 ,或 x ? 15 (舍去) , 2
因为该二次函数开口向下,且对称轴方程为 x ?

列表:

x
V ?( x)

5? ? 0,
+

5 0 极大值 9 000

15? ?5,
?

V ( x)

所以当 x ? 5 CM 时,容积 V 最大,此时纸盒的高与底面边长的比为 12.解: (1)设等比数列 依题意,有 ? 由 (1) 得 q 当q
2

?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q ,

3. 4

2 ? 2a1 ? a3 ? 3a 2 , ? 即 ? a1 (2 ? q ) ? 3a1 q, (1) 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2(a3 ? 2). ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4. (2)

? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 .

? 1 时,不合题意舍;当 q ? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n

.

(2)假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则

[a1 ? (n ? 1)d ][a1 n ?

n(n ? 1) d ] ? 2n 2 (n ? 1) ,得 2 d2 2 3 3 1 * n ? ( a1 d ? d 2 )n ? (a12 ? a1 d ? d 2 ) ? 2n 2 ? 2n 对 n ? N 恒成立, 2 2 2 2

?d2 ? 2 ? 2, ?d ? 2, ?d ? ?2, 则? 解得 ? 或? 此时 an ?3 2 a1 ? 2, ?a1 ? ?2. ? ? a1 d ? d ? 2, ?2 1 2 ? 2 3 ?a1 ? 2 a1 d ? 2 d ? 0, ?
故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N 都有 an
*

? 2n ,或 an ? ?2n .

? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中 an ? 2n ,或 an ? ?2n .
4 3

(9)
1.2;2.8;3.11;4. 或 ; 5.-2; 6. ;7.

? ?4 1 8 3 9. (1, )10. . 2 ;8. 2 3 4 4
2

11.解(1)①②位置的数据分别为 12、0.3; (2) 第三、四、五组参加考核人数分别为 3、2、1; (3)设上述 6 人为 ABCDEF(其中第四组的两人分别为 D,E),则从 6 人中任取 2 人的所有情形为: {AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF}共有 15 种. 记“2 人中至少有一名是第四组”为事件 A,则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种. 所以 P( A) ?

9 3 3 ? ,故 2 人中至少有一名是第四组的概率为 . 15 5 5

12.解(1)∵数列 {an } 的前 n 项和 Sn

? n2 ? 2n ,

? S1 ? 3, (n ? 1) ∴a ? ? ? n 2 2 ? ? Sn ? Sn ?1 ? (n ? 2n) ? [(n ? 1) ? 2(n ? 1)] ? 2n ? 1, (n ≥ 2) ? 2n ? 1 (n ? N*) .
(2 ) 由 (1) 得 ab ∴ bn
n?1

? 2bn?1 ? 1.∵数列 {bn } 中,第 n 项 bn 是数列 ?an ? 的第 bn ?1 项 (n ≥ 2) ,

? 2bn?1 ? 1, (n ≥ 2) ,∴ bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1) , (n ≥ 2) 又∵ b1 ? 1 ,∴ b1 ? 1 ? 2 ,∴数列 {bn ? 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,
∴ bn (3 )

? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,∴ bn ? 2n ?1 .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1? n b1 ? 1 b2 ? 1 b3 ? 1 bn ? 1 2 2 2 2 2

∵对任意的 n ? N * , 1 ? ∴ 要 使 不 等 式

1 ?1, 2n

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? m2 ? m ? 1 恒 成 立 , 只 需 b1 ? 1 b2 ? 1 b3 ? 1 bn ? 1

m2 ? m ? 1≥1,解得: m ≤ 0 或 m ≥ 1 ,∴ m 的取值范围为 (??, 0] ? [1, ??) .

(10)
1. ? 2 ; 2. ?

? 3 4 ? ; 3.2;4.2013;5. a ? 1 ;6. ;7. 5 x ? 16 y ? 3 ? 0 ;8.6;9. ;10. 3 8 3 5
A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,? B ?

11.解(1)? A、B、C 成等差数列,? 2 B ? 由 AB ? BC ? ?

?

3



3 得, 2? 3 c ? a cos ? ? ,? ac ? 3 .① 2 3 2
2

又由余弦定理得 b
2 2

? a 2 ? c 2 ? 2ac cos


?

?a ? c ? 6 .

3 由①、②得, a ? c ? 2 3

,? 3 ? a 2 ? c 2 ? ac ,


(2) 2sin A ? sin C = 2sin A ? sin( 2? ? A) ? 2sin A ? ( 3 cos A ? 1 sin A) 3 2 2 3 3 ? = sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) , 2 2 6

?0 ? A ?

2? ? ? ? 3 ,?? ? A ? ? , ∴ 2sin A ? sin C 的取值范围为 (? , 3) . 3 6 6 2 2
x2 ? y2 ? 1 . 9

2 2 2 12.解(1)由题意得, 2a ? 6 ,∴ a ? 3 , 又 2c ? 4 2 ,∴ c ? 2 2 , b ? a ? c ? 1 ,

故椭圆的方程为

(2)设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) , A(?3,0) , B(3,0) ,则

2 x0 x2 2 2 ? y0 ? 1 ,即 y0 ?1? 0 , 9 9 2 x 1 2 1? 0 (9 ? x0 ) 2 y0 y0 1 y 9 9 0 则 k1 ? , k2 ? ,即 k1 ? k2 ? ? ? ? ? ,∴ k1 ? k2 为定值. 2 2 2 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 9 x0 ?9 x0 ?9 9

(3)由题意可知,四边形 ABCD 是梯形,则 S ( x) ?

x2 1 2 (6 ? 2 x) ? y ,且 y ? 1 ? 9 2

∴ f ( x) ?

S ( x) ? x?3

2

( x ? 3)2 (1 ?

x2 ) 2 3 2 9 ? ( x ? 3)(1 ? x ) ? ? x ? x ? x ? 3(0 ? x ? 3) x?3 9 9 3

x2 2 ? x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,解之得 x1 ? 1, 或 x ? ?3 (舍去) 3 3 当 0 ? x ? 1 , f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x) 单调递增; 当 1 ? x ? 3 , f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x) 单调递减; 32 所以, f ( x) 在 x ? 1 时取得极大值,也是最大值 . 9
∴ f ?( x) ? ?


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