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第1章行列式练习题答案

第一章练习题答案(部分)

一. 填空

1. 11,奇.

2. i ? 5, k ? 3.

6. n(n ?1) ? k . 7.正, 正. 2

3.

n2 ,

n(n ?1)
.

2

8. ?a14a23a31a42 .

11. 3 .

12. ?4 .

13. 2 , ?12 .

4. n ? 4k ?1或 4k ? 4(k ? 0) . 5.奇 偶.

9.否.

10. (?1)n c .

14. 0 .

44

? ? 15.

Aij ? ?4 .

i?1 j ?1

16. a ? ?24 . 17. A31 ? 8 . 18. a ? ?7 .

19. 3 .

20. ?1.

21. ? ?1或 ? ? ?1.

22. a ? 1或2 .

23.

? ? ?

x1 x2

? ?

?(b1a22 ? b2a12 ) b2a11 ? b1a21

.

24. ?1, ?3 , 1, 2, ?2 ,

25. 0,1, 2,?, n ? 2 .

二 计算题

1. 计算行列式

2)

1 0 ?

? ?

1 2 ?

11

1

?

?

0 ?

? ?

1
2 ?

? 1? n 1

k?2 k 0
? ?

?

n ( n?1)
(?1) 2

???1 ?

n k ?2

1 k

? ??

n!,

n?01 n?0

0

1 1 ? 1 2?n 1 1 ? 1 2?n 1 1 ? 1 1

1

1 ? 2?n

1

0 ?

0 ? 1? n n ?1 0 ?

0

?

1? n

0

?

n ( n?1)
(?1) 2

(1 ?

n)n?1

??

??

??

??

??

??

2?n 1 ? 1 1

a ? x1 a

a

a a ? x2 a

4) a

a a ? x3

?

?

?

a

a

a

1? n 0 ? 0 n ?1 1? n

n

n

?a

1? a a a ?

?a

x1 x2 x3 n ?1 1 0 ?

?

? a
?

? xi
i ?1

?1

0 1?

? ??

? a ? xn

?1 0 0 ?

0? 0 0 n a

xn

? ? 0
0

?

n i ?1

? xi ?1?
?

n i ?1

a xi

? ?, ?

?

1

1 1 6) D ? ?

x1 x12 ? x1n 1 x1 x12 ? x1n 1 x1 x12 ? x1n

x2 x22 ? x2n 1 x2 x22 ? x2n 1 x2 x22 ? x2n

??

? ?? ? ?

? ?? ? ?

?

1 xn xn2 ? xnn 1 xn xn2 ? xnn 1 xn xn2 ? xnn 2 ? 2 ?2 ?2 ? ?2 2 0 0 ? 0 ?2 ?2 ?2 ? ?2

? ? ? ? ?

(?1)n

2

? ?

n

xi

??V

?

(?2)V

? ?

n

(1?

xi

)

? ?

?

2V

? ?(?1)

n

? ?

n

xi

? ?

?

? ?

n

(1

?

xi

)

? ?

? ?

? i?1 ?

? i?1

?

?

? i?1 ? ? i?1

??

1

a ?1 0 ? 0 0 a ?1 0 ? 0 0

ax a ?1 ? 0 0 0 a ? x ?1 ? 0 0

ax2 ax

7)

?

?

a ? 0 0 0 0 a?x ? 0

?

? ? ?? ?

?

?

0 ? a(a ? x)n?1 ?

axn?2 axn?3 axn?4 ? a ?1 0 0

0 ? a ? x ?1

axn?1 axn?2 axn?3 ? ax a 0 0

0 ? 0 a?x

a1 ?1 0 ? 0 0

a2 x ?1 ? 0 0

8)

a3 ?

0 ?

x ?0 0

?

? ??

a1 a2 ? a1x a3 ? a2 x ? a1x2
?

?1 0 ? 0 0

0 ?1 ? 0 0

0 0 ?0 0

??

??

an?1 0 an 0

0 ? x ?1

an?1 ? an?2 x ? ?

0

0 ? 0 x an ? an?1x ? an?2 x2 ? ? ? a1xn?1 0

0 ? 0 ?1 0 ?0 0

? an ? an?1x ? an?2x2 ??? a1xn?1

12 3 ?n 1 2 3 ?n

1 x ?1 3 ? n 0 x ?1 0 ? 0

9) 1 2 x ?1 ? n ? 0 0 x ? 2 ? 0

? …,

?? ?

?

?? ?

?

1 2 3 ? x ?1 0 0 0 ? x ? n ?1

? 1, n ? 1 11) ???2, n ? 2 .
?? 0, n ? 3

三 证明题

1.

12 3 4? n

1 2 3 4?n

?1 ?1 ?1 ?1 ? ?1

1 1 2 3 ? n ?1 0 ?1 ?1 ?1 ? ?1 x ?1 ?1 ?1 ?1 ? ?1

1 x 1 2 ? n ? 2 0 x ?1 ?1 ?1 ? ?1 0 x ?1 ?1 ?1 ? ?1

1

x

x

1

?

? n?3 0

0

x ?1

?1

?

? ?1

0

0 x ?1 ?1 ? ?1

?? ? ?

?

?? ? ?

?

? ? ??

?

1x x x? 1

0 0 0 0 ? ?1

0 0 0 0 ? ?1 n ?1

?x 0 0 0 ? 0

x ?1 ? x 0 0 ? 0

0 x ?1 ? x 0 ? 0

? 0

0 x ?1 ? x ? 0

? (?1)n?1 xn?2 (x ? 0)

? ? ??

?

0 0 0 0 ? ?1 n?1
2 按照中间两行展开

2


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