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第1章行列式练习题答案

第一章练习题答案(部分)
一. 填空 1. 6.

11 ,奇.

2. i ? 5, k ? 3 .

3. n 2 ,

n(n ? 1) ? k . 7.正, 正. 2
12. ? 4 . 17. A31 ? 8 .

n(n ? 1) . 2

4. n ? 4k ? 1 或 4k ? 4(k ? 0) . 9.否. 14. 0 .

5.奇 偶.
n

8. ? a14 a23 a31a42 . 13. 2 , ?12 . 18. a ? ?7 . 23. ?

10. ( ?1) c . 15.

11. 3 . 16. a ? ?24 .

?? A
i ?1 j ?1

4

4

ij

? ?4 .

19.

3.

20. ?1 .

21. ? ? 1 或 ? ? ?1 . 24. ?1, ?3 , 二 计算题 1. 计算行列式

22. a ? 1或2 .

? x1 ? ?(b1a22 ? b2 a12 ) . ? x2 ? b2 a11 ? b1a21

1, 2, ?2 ,

25. 0,1, 2,?, n ? 2 .

2)

1 ? 1 1 0 ? 2 1 ? ? ? n ? 0 1

1 ? 1 1? ? ?0 ? 2 ? ? n ? 0

1 k ?2 k n n ( n?1) ? 1? 0 ? (?1) 2 ?1 ? ? ? n ! , ? k ?2 k ? ? 0

n

1 1 ? 2?n

1 ? 1 2?n 1 1 ? 2?n 1 0 ? ? ? ? ? 1 ? 1 1 n 1? n
a a ? x2 a ? a a a ? ? a a a ?

1 ? 1 2?n 1 0 ? 1 ? n n ?1 0 ? ? ? ? ? 0 ? 0 n ?1 n 1 ? n
1? ? ? xi
i ?1 n

1 ? 1 0 ? 1? n ? ? 0 ? 0
a xn

1 n ( n?1) 0 ? (?1) 2 (1 ? n) n ?1 ? 0n

a ? x1 a
4)

a x1

a x2 1 0 ? 0

a x3 0 1 ? 0

? ? ? ?

a ? a

a ? x3 ? ? a

? a ? xn

?1 ?1 ? ?1

n n 0 ? a ? ? xi ?1 ? ? 0 i ?1 ? i ?1 xi ? 1

? ?, ?

1
6) D ?

x1 x2 ?

x12 ? x1n

1

x1

x12 ? x1n

1

x1 x2 ?

x12 ? x1n x2 2 ? x2 n ? ?

1 ?

x2 2 ? x2 n 1 x2 ? ? ? ? ? 1 xn 2 0

x2 2 ? x2 n 1 ? ? ? ? xn 2 ? xn n 0 ? 0

1 xn xn 2 ? xn n 2 ? 2 ?2 ?2 ? ?2

1 xn xn 2 ? xn n ?2 ?2 ?2 ? ?2

? ? n ? ? n ? ? n ? ? n ?? ? (?1)n 2 ? ? xi ?V ? (?2)V ? ? (1 ? xi ) ? ? 2V ?(?1) n ? ? xi ? ? ? ? (1 ? xi ) ? ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?? ?
1

a ax ax 2 7) ? ax n ? 2 ax n ?1

?1 a ax ? ax n ?3 ax n ? 2

0 ?1 a ? ax n ? 4 ax n ?3

0 0 a ?1 0 0 0 0 a ? x ?1 0 0 0 0 a?x ? ? ? ? ? ? ? a ?1 0 0 0 ? ax a 0 0 0 ? ? ?

0 0 0 0 0 0 ? a(a ? x) n ?1 ? ? ? a ? x ?1 ? 0 a?x ? ? ?

a1 a2
8)

?1 0 ? 0 x ?1 ? 0 0 ? 0 0 x ? 0 0

0 0

a1 a2 ? a1 x a3 ? a2 x ? a1 x 2 ? an ?1 ? an ? 2 x ? ? an ? an ?1 x ? an ? 2 x 2 ? ? ? a1 x n ?1

?1 0 ? 0 0 ?1 ? 0 0 ? 0 0 0 ? 0 0

0 0

a3 ? an ?1 an

? 0 0 ? ? ? ? x ?1 ? 0 x

? 0 0 ? ? ? 0 ?1 ? 0 0

? an ? an?1 x ? an?2 x 2 ? ? ? a1 x n?1
1 2 3 ? n 1 x ?1 3 ? n 9) 1 2 x ?1 ? n ? ? 1 2 ? 3 ? ? x ?1 1 2 3 ? n 0 x ?1 0 ? 0 ?0 0 x?2 ? 0 ? ? 0 0 ? 0 ? ? x ? n ?1

? …,

? 1, n ? 1 ? 11) ? ?2, n ? 2 . ? 0, n ? 3 ?
三 证明题 1.

1 1 1 1 ? 1

2 1 x x ? x

3 2 1 x ? x

4 3 2 1 ? x

? n 1 2 3 4 ? n ?1 ?1 ?1 ? n ?1 0 ?1 ?1 ?1 ? ?1 x ?1 ?1 ?1 ? n?2 0 x ?1 ?1 ?1 ? ?1 0 x ?1 ?1 ? ? ? n?3 0 0 x ?1 ?1 ? ?1 0 0 x ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 ? ?1 0 0 0
0 0 0 0 ? ? ?1 ? ? ? ?

?1 ?1 ?1 ?1 ? 0

?1 ?1 ?1 ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?

n ?1

?x 0 0 0 x ?1 ? x 0 0 0 x ?1 ? x 0 ? 0 0 x ?1 ? x ? ? ? ? 0 0 0 0

? (?1) n?1 x n?2 ( x ? 0)

n ?1

2

按照中间两行展开

2


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