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另类


2010 年第 1 期

中学数学教学

35

另类 “恒成立” “有解” 与 问题
—— 《新高考试卷中的全称量词和存在量词》 —对 的补充
安徽省枞阳县会宫中学   朱贤良   付朝华   ( 邮编 :246740)    文 [ 1 ] 中 , 作 者 就 新 高 考 中 与 全 称 量 词 “ Π”特称量词 ?” 、 “ 有关的不等式及方程问题作 了系统的整理与区分 . 因为此类问题经常涉及到 诸如 “已知不等式恒成立 , 或不等式 、 方程有解 , 求参数的取值范围” 等问题 , 我们不妨将其称之 为 “恒成立”问题与 “有解”问题 . 受文 [ 1 ] 的启 发 , 结合自己的思考 , 笔者对文 [ 1 ] 作一点补充 , 以更全面地认识此类问题 . “恒成立” 问题与 “有解” 问题的处理思路是 将其等价转化为与函数最值或值域有关的问题 . 当函数的最大或最小值不存在时 , 该如何思考 ? 例 1  ( 文 [ 1 ] 中例 1 改编题 1) Π x ∈ ( 1 , 2) , 1 2 x - ln x - a > 0 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 2 是      . 1 分析  Π x ∈(1 , 2) , x2 - ln x - a > 0 Ζ Π x 2 1 2 ∈ (1 , 2) , a < x - ln x. 2 1 当 x ∈( 1 , 2) 时 , f ( x ) = x 2 - ln x 递增 , 其 2 1 1 , 2 - ln2 , 故 a ≤ . 值域为 2 2 1 注  文 [ 1 ] 中例 1 Π x ∈[ 1 , 2 ] , x 2 - ln x “ 2 1 2 - a > 0”此时函数 f ( x ) = , x - ln x 值域为 2 1 1 ( , 2 - ln2 , 从而 a < . 文 [ 1 ] 中答案有误) 2 2 例 2  ( 文 [ 1 ] 中例 1 改编题 2) Π x ∈ ( 1 , ) 1 x2 - ln x - a < 0 , 则实数 a 的取值范围 + ∞ , 2 是      . ) 1 分析  Π x ∈ ( 1 , + ∞ , x 2 - ln x - a < 2 1 2 ) 0 Ζ Π x ∈ (1 , + ∞ , a > x - ln x. 2 1 ) 当 x ∈( 1 , + ∞ 时 , 函数 f ( x ) = x2 - ln x 2 1 , + ∞ ,故 a ∈ . 递增 , 其值域为 2 例 3  ( 文 [ 1 ] 中例 1 改编题 3) ? x ∈ ( 1 , 2) , 1 2 x - ln x - a > 0 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 2 分析  ? x ∈ (1 , 2) , ? x ∈ (1 , 2) , a <
1 2 x - ln x. 2
参考文献 学通讯 ( 教师版) , 2009 ( 5) .
( 收稿日期 :2009 212 220)

是     .

1 当 x ∈( 1 , 2) 时 , f ( x ) = x 2 - ln x 递增 , 其 2 1 , 2 - ln2 , 故 a < 2 - ln2 . 值域为 2 小结  当函数 f ( x ) 的最值不存在时的 “恒 成立” “有解” 和 问题可以这样处理 : ( 1) 当 x ∈I 时 , 函数 f ( x) 的值域为 ( m , n) ,则 Π x ∈ I , a < f ( x) Ζ a ≤ m ; ? x ∈ I , a < ( x ) Ζ a < n; f Π x ∈ I , a ≤ f ( x) Ζ a ≤ m ; ? x ∈ I , a ≤ f ( x ) Ζ a < n; Π x ∈ I , a > f ( x ) Ζ a ≥ n; ? x ∈ I , a > f ( x) Ζ a > m ; Π x ∈ I , a ≥ f ( x ) Ζ a ≥ n; ? x ∈ I , a ≥ ( x ) Ζ a > m. f ( 2) 当 x ∈I 时 ,函数 f ( x) 的值域为 ( m, + ∞ ,则 ) Π x ∈ I , a > f ( x) Ζ a ∈ ; Π x ∈ I , a ≥ f ( x) Ζ a ∈ ; ? x ∈ I , a < f ( x ) Ζ a ∈ R; ? x ∈ I , a ≤ f ( x ) Ζ a ∈ R. ( 3) 当 x ∈I 时 ,函数 f ( x) 的值域为 ( - ∞, n) ,则 Π x ∈ I , a < f ( x) Ζ a ∈ ; Π x ∈ I , a ≤ f ( x) Ζ a ∈ ; ? x ∈ I , a > f ( x ) Ζ a ∈ R; ? x ∈ I , a ≥ f ( x ) Ζ a ∈ R; 读者可自行对例题再作适当改编 , 即可得到 上述各种类型问题 .
1  蒋寿荣 . 新高考试卷中的全称量词和存在量词 [J ]. 数

1 2 x - ln x - a > 0 Ζ 2


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