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精品高中数学北师大版选修2-1课时作业:3.1.2 椭圆及其标准方程(2) Word版含解析

北师大版数学精品教学资料 第三章 §1 课时作业 22 一、选择题 1.已知 P 为椭圆 C 上一点,F1,F2 为椭圆的焦点,且|F1F2|=2 3,若|PF1|与|PF2|的等 差中项为|F1F2|,则椭圆 C 的标准方程为( x y A. + =1 12 9 x2 y2 x2 y2 C. + =1 或 + =1 12 9 9 12 解析:由已知 2c=|F1F2|=2 3, ∴c= 3. 又 2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4 3, ∴a=2 3.∴b2=a2-c2=9. x2 y2 x2 y2 故椭圆 C 的标准方程是 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 答案:C x2 y2 2.若方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是( m+9 25-m A.-9<m<25 C.16<m<25 25-m>0 ? ? 解析:依题意,有?m+9>0 ? ?m+9>25-m 解得 8<m<25. 答案:B 3.“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.8<m<25 D.m>8 ) 2 2 ) x2 y2 B. + =1 9 12 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 48 45 45 48 , x2 y2 解析:将方程 mx2+ny2=1 转化为 + =1,根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上,则 1 1 m n 1 1 1 1 有 >0, >0,且 > ,即 m>n>0.反之,m>n>0 时,方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的 m n n m 椭圆.故选 C. 答案:C x2 y2 4. [2014· 安徽省合肥六中月考]设 F1, F2 是椭圆 + =1 的两个焦点, P 是椭圆上的点, 9 4 且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2 的面积等于( A.5 C.3 ) B .4 D.1 解析:本题考查椭圆定义的综合应用.由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5,∴|PF1|+ |PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,由 22+42=(2 5)2 可知,△F1PF2 是 1 1 直角三角形,故△F1PF2 的面积为 |PF1|· |PF2|= ×4×2=4,故选 B. 2 2 答案:B 二、填空题 x2 y2 5.[2014· 北京东城区检测]已知 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭 25 9 圆于 A,B 两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________. 解析:本题主要考查椭圆的定义.由题意,知(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2| +|BF2|=2a+2a.又由 a=5,可得|AB|+(|BF2|+|AF2|)=20,即|AB|=8. 答案:8 x2 y2 6.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________, 9 2 ∠F1PF2 的大小为________. 解析:∵a2=9,b2=2, ∴c= a2-b2= 9-2= 7, ∴|F1F2|=2 7.又|PF1|=4, |PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF2|=2.由余弦定理得 22+42-?2 7?2 1 cos∠F1PF2= =- , 2 2×2×4 ∴∠F1PF2=120° . 答案:2 120° x2 y2 7.设 P 为椭圆 + =1 上的任意一点,F1,F2 为其上、下焦点,则|PF1||PF2|的最大值 4 9 是__________. 解析:由已知 a=3,|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF1|· |PF2|≤( |PF1|+|PF2| 2 ) =9. 2 当且仅当|PF1|=|PF2|=3 时,式中等号成立. 故|PF1|· |PF2|的最大值为 9. 答案:9 三、解答题 8x2 y2 8.已知椭圆 + =1 上一点 M 的纵坐标为 2. 81 36 (1)求 M 的横坐标; x2 y2 (2)求过 M 且与 + =1 共焦点的椭圆的方程. 9 4 8x2 y2 解:(1)把 M 的纵坐标代入 + =1 得 81 36 8x2 4 + =1,即 x2=9. 81 36 ∴x=± 3, 即 M 的横坐标为 3 或-3. x2 y2 (2)对于椭圆 + =1, 9 4 焦点在 x 轴上且 c2=9-4=5, x2 y2 故设所求椭圆的方程为 2+ 2 =1. a a -5 9 4 把 M 点的坐标代入得 2+ 2 =1, a a -5 解得 a2=15. x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 15 10 9.在直线 l:x-y+9=0 上取一点 P,过点 P 以椭圆 x2 y2 + =1 的焦点为焦点作椭圆. 12 3 (1)P 点在何处时,所求椭圆长轴最短; (2)求长轴最短时的椭圆方程. 解:(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为 F1(-3,0)、F2(3,0). 设点 F1(-3,0)关于直线 l 的对称点 F′1 的坐标为(x0,y0),当 P 在 F2F′1 与直线 l 的交 点处时,椭圆长轴最短. ?x +3=-1, 则? x -3 y ? 2 - 2 +9=0, 0 0 0 y0 ?x0=-9, ? 解之得? ?y0=6, ? ∴F′1(-9,6). 则过 F′1 和 F2 的直线方程为 y-6 x+9 = , -6 3+9 整理得 x+2y-3=0 ?x+2y-3=0, ?x=-5, ? ? 联立? 解之得? ?x-y+9=0, ?y=4, ? ? 即 P 点坐标为(-5,4) (2)由(1)知 2a=|F′1F2|= 180, ∴a2=45. ∵c=3,∴b2=a2