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6.2算术平均数与几何平均数(2)


知识回顾: 知识回顾: 1.重要定理:如果a,b∈R,那么a2+b2 ≥ 2ab(当 且仅当a=b时取“=”号)

a +b 2.定理: 如果a, b是正数,那么 ≥ ab 2 (当且仅当a = b时取“ ”号) =

已知x,y都是正数 求证: 都是正数, 例1 :已知 都是正数,求证: 是定值P,那么当 (1)如果积 是定值 那么当 )如果积xy是定值 那么当x=y时,和 时 x+y有最小值 2 P 有最小值 (2)如果和 是定值S,那么当 )如果和x+y是定值 那么当 是定值 那么当x=y时, 时
1 2 积xy有最大值 S 有最大值 4

注:用定理求最值的三个必要条件 :

一“正”、二“定”、三“相等” 相等”

证明: 证明 Q x, y ∈ R

+

x+ y (1)当xy为定值 P时, 有 ≥ P , 即x + y ≥ 2 P ; 2 当且仅当 x = y时, “=”号成立 .
x+ y S 1 2 ( 2)当x + y为定值 S时, 有 xy ≤ = , 即xy ≤ S 2 2 4

x+ y ∴ ≥ 2

xy

当且仅当 x = y时, “=”号成立 .

二、应用
4 例1:已知x>0,求y=2-3x- 的最大值 x
答案:2-4 3

例2:设0<x<2,求函数f(x)= 3 x(8 ? 3 x) 的最大值,并求相应的x值. 4 答案:当x = 时,最得最大值为4 3

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 例3 : 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为4800m3,深为 ,如果池底每 2的 深为3m,如果池底每1m 其容积为 深为 造价为150元,池壁每1m2的造价为120元,问 造价为 元 池壁每 的造价为 元 怎样设计水池能使总造价最低, 怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是 多少元? 多少元

解:设水池底面一边的长度为x, 水池的总
1600 造价为l元,得 l = 240000 + 720( x + ) x 1600 ≥ 240000 + 720 × 2 x ? = 297600 x 1600 当x = 时,即x=40时,l有最小值297600 x

1 例4:求函数f(x)=x+ 的最值 x 1 1 解:若x>0时,x+ ≥ 2, 当x= 时, x x 即x = 1时,取得最小值为2 1 1 若x < 0时,-x > 0, x+ = ?(? x+ ) ≤ ?2, x ?x 1 当-x= 时,即x = ?1时,取得最小值为2 ?x

注意:该题不满足 一正 一正”。 注意:该题不满足“一正 。

四、练习 2 1.求y = x 1 ? x 的最大值

3 2.求函数y=2x2+ (x>0)的最小值. x
提示:不满足 二定 二定“, 提示:不满足”二定 ,要进行均分拆项

3.设a, b ∈ R, 且a + b = 3, 求2 + 2 的最小值
a b

作业:三维设计课时作(五)


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