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【最新教材】高中数学人教A必修4学业分层测评10 三角函数模型的简单应用 含解析

新教材适用·高中必修数学
学业分层测评(十)

(建议用时:45 分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.已知某人的血压满足函数解析式 f(t)=24sin 160π t+110.其中 f(t)为血压,

t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )

A.60

B.70

C.80

D.90

【解析】 由题意可得 f=T1=1620ππ=80,所以此人每分钟心跳的次数为 80,

故选 C 项. 【答案】 C 2.如图 1-6-5,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s(cm)
和时间 t(s)的函数关系式为 s=6sin???2π t+π6 ???,那么单摆摆动一个周期所需的时 间为( )

A.2π s C.0.5 s

图 1-6-5 B.π s D.1 s

【解析】 依题意是求函数 s=6sin???2πt+π6 ???的周期,T=22ππ=1,故选 D

项. 【答案】 D 3.函数 f(x)的部分图象如图 1-6-6 所示,则下列选项正确的是( )

图 1-6-6

A.f(x)=x+sin x

B.f(x)=coxs x

C.f(x)=xcos x

D.f(x)=x???x-π2 ??????x-3π2 ???

【解析】 观察图象知函数为奇函数,排除 D 项;又函数在 x=0 处有意义,

排除 B 项;取 x=π2 ,f???π2 ???=0,A 项不合适,故选 C 项. 【答案】 C

4.(2016·杭州二中期末)一种波的波形为函数 y=-sinπ2 x 的图象,若其在区

间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整数 t 的最小值是( )

A.5

B.6

C.7

D.8

π 【解析】 函数 y=-sin 2 x 的周期 T=4 且 x=3 时 y=1 取得最大值,因此

t≥7.故选 C.

【答案】 C

5.下表是某市近 30 年来月平均气温(℃)的数据统计表:

月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12




均--



2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3

温 5.9 3.3

2.4



则适合这组数据的函数模型是( )
A.y=acosπ6 x B.y=acos(x-61)π +k(a>0,k>0) C.y=-acos(x-61)π +k(a>0,k>0)

D.y=acosπ6x-3 【解析】 当 x=1 时图象处于最低点,且易知 k=-5.9+2 22.8>0.故选 C. 【答案】 C 二、填空题
6.如图 1-6-7 是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴 表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是________.
【导学号:00680029】

图 1-6-7

【解析】 由题图可设 y=Asin(ωt+φ),则 A=2,

又 T=2(0.5-0.1)=0.8,

所以 ω=20π.8 =52π,

所以 y=2sin???52πt+φ???,

将点(0.1,2)代入 y=2sin???5π 2 t+φ???中,

得 sin???φ+π4 ???=1,

π

π

所以 φ+ 4 =2kπ+ 2 ,k∈Z,

π 即 φ=2kπ+ 4 ,k∈Z,

π 令 k=0,得 φ= 4 ,

所以 y=2sin???5π2 t+π4 ???.

【答案】 y=2sin???5π2 t+π4 ???

7.如图 1-6-8,点 P 是半径为 r 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置

P0 开始,按逆时针方向以角速度 ω(rad/s)做圆周运动,则点 P 的纵坐标 y 关于时

间 t 的函数关系式为________.

图 1-6-8 【解析】 当质点 P 从 P0 转到点 P 位置时,点 P 转过的角度为 ωt,则∠POx =ωt+φ,由任意角的三角函数定义知 P 点的纵坐标 y=rsin(ωt+φ). 【答案】 y=rsin(ωt+φ) 三、解答题

8.交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关系可用 E=220 3
sin???100π t+π6 ???来表示,求: (1)开始时的电压;(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间. π 【解】 (1)当 t=0 时,E=220 3sin 6 =110 3(伏),
即开始时的电压为 110 3伏.

(2)电压的最大值为 220 3伏,



ππ 100πt+ 6 = 2 ,即

t=3100秒时第一次取得这个最大值.

9.健康成年人的收缩压和舒张压一般为 120~140 mmHg 和 60~90 mmHg.

心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张

压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数 120/80 mmHg 为标准值. 设 某 人 的 血 压 满 足 函 数 式 p(t) = 115 + 25sin(160 π t) , 其 中 p(t) 为 血 压
(mmHg),t 为时间(min). (1)求函数 p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与正常值比较. 【解】 (1)函数 p(t)的最小正周期为

T=2|ωπ|=126π0π=810 min.

(2)此人每分钟心跳的次数即频率为:f=T1=80.

(3)p(t)max=115+25=140 mmHg, p(t)min=115-25=90 mmHg. 即收缩压为 140 mmHg, 舒张压为 90 mmHg,比正常值稍高.
[能力提升] 1.如图 1-6-9 所示,有一广告气球,直径为 6 m,放在公司大楼上空, 当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时,测得气球的视角为 2°(若 β 很小时, 可取 sin β ≈β ),试估算该气球的高 BC 的值约为( )

图 1-6-9

A.70 m

B.86 m

C.102 m

D.118 m

【解】 假设气球到人的距离 AC 为 s, ∴6=s×sin 2°=s×2×23π 60, ∴s≈171.887 m,

∴h=BC=s×sin 30°=85.94 m≈86 m.

【答案】 B

2.如图 1-6-10 所示,一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4

圈.记水轮上的点 P 到水面的距离为 d 米(在水面下则 d 为负数),则 d(米)与时



t(秒)之间满足关系式:d=Asin(ωt+φ)+k???A>0,ω >0,-π2 <φ

π <2

???.当

P



从水面上浮现时开始计算时间.有以下四个结论:①A=10;②ω=21π5 ;③φ=π6 ;

④k=5.则其中所有正确结论的序号是________.

图 1-6-10 【解析】 由题意知 A=10,k=5,T=640=15 秒,ω=2Tπ=21π5 .

所以 d=10sin???21π5 t+φ???+5. 又当 t=0 时,d=0,

所以 10sin φ+5=0,
所以 sin φ=-12, 又-π2 <φ<π2 ,所以φ=-π6 . 【答案】 ①②④

3.当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因

此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温

统计表.

(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿的月平均气温作出一个函数模型;

(2)当自然气温不低于 13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜于旅游,试根据你所确定

的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.

x(月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
份)

t(气

10.0

10.0

17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6

9.5

11.6 13.7 15.8

温)

6

6

【解】 (1)以月份 x 为横轴,气温 t 为纵轴作出图象,并以光滑的曲线连接

诸散点,得如图所示的曲线.

由于各地月平均气温的变化是以 12 个月为周期的函数, 依散点图所绘制的图象,我们可以考虑用 t=Acos(ωx+φ)+k 来描述. 由最高气温为 17.9 ℃,最低气温为 9.5 ℃, 则 A=17.9-2 9.5=4.2;

k=17.9+2 9.5=13.7.

显然2ωπ=12,故

π ω= 6 .

又 x=2 时 y 取最大值,依 ωx+φ=0,

π

π

得 φ=-ωx=- 6 ×2=- 3 .

所以 t=4.2cos???π6x-π3 ???+13.7 为惠灵顿市的常年气温模型函数式.

(2)作直线 t=13.7 与函数图象交于两点,

(5,13.7),(11,13.7).

这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于 13.7 ℃,是惠灵顿

市的最佳旅游时间.