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上海市复旦大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:不等式 含答案(精品)


复旦大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

?x ? y ? 5 ? 1 . 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? y ? 5 ? 0 , 使 z = x +a y ?x ? 3 ?
值的最优解有无数个,则 a 的值为( A. - 3 【答案】D 2.已知 B. 3 ) C. - 1

(a>0)取 得 最 小

D. 1

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( a b
2 2

) B. ab ? b
2

A. a ? b C.

b a ? ?2 a b
)

D. | a | ? | b |?| a ? b |

【答案】D 3.已知 a ? 0, b ? ?1,则下列正确的是( A. a ? ab ? ab C. ab ? a ? ab 【答案】C 4.若 n<0,m>0,且 m+n>0,则下列不等式中成立的是( A.-n<m<n<-m C.-n<-m<n<m 【答案】B 5.不等式 x ? x 的解集是(
2

2

B. ab ? ab ? a
2

2

D. ab ? ab ? a
2

)

B.-m<n<-n<m D.-n<n<m<-m

) B. D.

A. C.

? ??,0? ?1, ???
2

? 0,1? ? ??,0? ? ?1, ???

【答案】D 6. “ x ? 1 ”是“ x ? x ? 0 ”的( A. 充分非必要条件 C. 充要条件 【答案】A ) B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 7. 设 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 z = ax + by ? x ? 0, y ? 0 ?
的最小值为( A. ) B.

2 3 则 ? (a > 0, b > 0)的是最大值为 12 , a b

25 6

8 3

C.

11 3

D. 4

【答案】A 8.已知

f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3), g ( x) ? 2 x ? 2. 若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则 m
) B. ( ?4,0) C. (?5, ?1) D. (?4, ?1)

的取值范围是( A. (?1,5)

【答案】B 9.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为( A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 【答案】B

)

?x ? y ? 1 ? 10.若变量 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z=x+2y 的最大值与最小值分别为( ?x ? 0 ?
A. 1,﹣1 C.1,﹣2 B.2,﹣2 D.2,﹣1

)

【答案】B 11.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产 品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润 是( ) A.1800 元 B.2400 元 C.2800 元 D.3100 元 【答案】C

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 12.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0 )的最大值 ?y ?1 ? 0 ?
为 12,则直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? a) A.0 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.下列命题为真的是____________. B.1
2

? ( y ? b)2 ? 2 的公共点个数为(
C .2 D.无法确定

)

1 1 ? b lg 2 2 2 2 ② 若a ? b ? 0, c ? d ? 0, 则a ? d ? b ? c
① 若a ? b, 则a lg

③ 若a ? b, 且a, b ? R, 则( ) ? ( )
a

1 3

1 3

b

1 ④当 x≥2 时,x+ 的最小值为 2 x

⑤当 0<x≤2 时, x ? 【答案】②③

1 无最大值 x
2

14. 己知不等式 ax -5x+b>0 的解集是{x|-3<x<-2}, 则不等式 bx -5x+a<0 的解集是____________. 【答案】 ? x ? ? 或x ? ?

2

? ?

1 2

1 3

?

?x ?1 ? 0 y ? 15.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 的最大值为 x?2 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
【答案】1 y≥x ? ? 16.已知 x、y 满足不等式组?x+y≤2 ? ?x≥a ____________ 【答案】



,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 3 倍,则 a=

1 3

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少要含 64 个单位的 碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用 分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订 多少个单位的午餐和晚餐?

【答案】设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐,设费用为 z ,则

z ? 2.5x ? 4 y ,由题意知:

?12 x ? 8 y ? 64 ?6 x ? 6 y ? 42 ? ? ?6 x ? 10 y ? 54 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

?3 x ? 2 y ? 16 ?x ? y ? 7 ? ? 即 ?3 x ? 5 y ? 27 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

画出可行域如图:

变换目标函数: y ? ? 上的截距,当截距

5 z 5 z x ? ,这是斜率为 ? ,随 z 变化的一族平行直线, 是直线在 y 轴 8 4 8 4

z 最小时, z 最小,由图知当目标函数过点 A ,即直线 x ? y ? 7 与 4

3x ? 5 y ? 27 的交点 (4,3) 时, z 取到最小值,即要满足营养要求,并且花费最少,应当为该
儿童分别预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐 18. 设命题 P: 关于 x 的不等式 a 的定义域为 R。 如果 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围 【答案】(1)依题得: y ? 50 12x ? ? (2)解不等式 ?2x
*

x 2 ?ax ?2a 2

>1(a>0 且 a≠1)为{x|-a<x<2a};命题 Q: y=lg(ax -x+a)

2

? ?

x( x ? 1) ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40x ? 98. (x ? N*) 2 ?

2

? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51

∵x ? N ,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 当且仅当 2 x ? 时,即 x=7 时等号成立. x ? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.
(3) (Ⅰ) (Ⅱ)y=-2x +40x-98=-(x-10) +102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理.
2 2

19.已知 a 、 b 、 c ? R , a ? b ? c ? 1 ,求证
?

1 1 1 ? ? ? 9. a b c

【答案】∵ a ? b ? c ? 1 ∴

1 1 1 a?b?c a?b?c a?b?c ? ? ? ? ? a b c a b c b c a c a b ? (1 ? ? ) ? ( ? 1 ? ) ? ( ? ? 1) a a b b c c b a c a c b ? 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a b a c b c



b a b a c a c b ? ? 2 ? ? 2 ,同理: ? ? 2 , ? ? 2 。 a c b c a b a b
1 1 1 ? ? ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9. a b c
2



20.已知不等式 ax - 3x + 6 > 4 的解集为 x x < 1或x > b (1)求 a , b 的值; (2)解不等式 ax
2

{

}

- (ac +b) x +bc < 0

【答案】 (1) a = 1, b = 2 (2) c < 2 时 x c < x < 2

{

}

c = 2 时?

c > 2 时 {x 2 < x < c}
21.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨 乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获 得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.问该 企业如何安排可获得最大利润,最大利润是多少? 【答案】设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系:

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有: ? ?3x ? y ? 13 ? ?2 x ? 3 y ? 18
目标函数 z ? 5 x ? 3 y

作出可行域(如图) 平移直线 z ? 5 x ? 3 y ,过点 B 时 z 取最大值.

? 3x ? y ? 13 ?x ? 3 由? ?? 即B(3,4) ?2 x ? 3 y ? 18 ? y ? 4
z max ? 5 ? 3 ? 3 ? 4 ? 27
故生产甲产品 3 吨,生产乙产品 4 吨时,可获得最大利润为 27 万元。

22.设不等式 x 【答案】 M

2

? x ? 0 的解集是 M , a, b ? M .试比较 ab ? 1与 a ? b 的大小;

? ?x 0 ? x ? 1?

因为 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1;所以 (ab ?1) ? (a ? b) ? (a ?1)(b ?1) ? 0 所以 ab ? 1 ? a ? b


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