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安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《椭圆的简单性质》(北师大版选修2-1)


理解教材 新知
§1

知识点

第 三 章

考点一 把握热点 考向 考点二 考点三 应用创新演练

1.2

中国第一颗探月卫星——“嫦娥一号”发射后,首
先进入一个椭圆形地球同步轨道,在第16小时时它的 轨迹是:近地点200 km,远地点5 100 km的椭圆,地 球半径约为6 371 km.

问题1:此时椭圆的长轴长是多少?
?a-c=6 ? 提示:? ?a+c=6 ?

371+200 ? 2a=18 042 km. 371+5 100

问题2:此时椭圆的离心率为多少?
提示:∵a=9 021,c=2 450, c ∴e=a=0.271 6.

椭圆的简单性质
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图像

标准方程

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)

y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

焦点的位置 范围 顶点 对称性 轴长 离心率

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

|x|≤a,|y|≤b (±a,0),(0,±b)

|x|≤b,|y|≤a (0,±a),(±b,0)

对称轴:坐标轴 对称中心: (0,0) 长轴长 2a ,短轴长 2b e= c a ∈ (0,1)

1.椭圆上到中心距离最远和最近的点:短轴端点 B1 和 B2 到中心 O 的距离最近;长轴端点 A1 和 A2 到中心 O 的距离最远. 2.椭圆上一点与焦点距离的最值:点(a,0),(-a,0) 与焦点 F1(-c,0)的距离,分别是椭圆上的点与焦点 F1 的 最大距离和最小距离.

3. 椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度, 的大 e 小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的圆扁程度.因为 a2 b b 2 =b +c ,所以a= 1-e ,因此,当 e 越趋近于 1 时,a越
2 2

b 接近于 0,椭圆越扁;当 e 越趋近于 0 时,a越接近于 1, 椭圆越接近于圆.当且仅当 a=b 时,c=0,两焦点重合, 图形变为圆,方程为 x2+y2=a2.所以 e 越大椭圆越扁,e 越小椭圆越圆.

[例 1]

已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e

3 = 2 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、 顶点坐标.

[思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式, m 表示出 用 3 a,b,c,再由 e= 2 ,求出 m 的值,然后再求 2a,2b, 焦点坐标,顶点坐标.

[精解详析]

x2 y2 椭圆方程可化为 m+ m =1(m>0), m+3

m?m+2? m ∵m- = >0, m+3 m+3 m m 2 2 ∴m> ,即a =m,b = . m+3 m+3 ∴c= a -b = 3 由e= 2 ,得
2 2

m?m+2? . m+3 m+2 3 = ,解得m=1, m+3 2

y2 ∴椭圆的标准方程为 x2+ 1 =1. 4 1 3 ∴a=1,b=2,c= 2 . ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1, 两焦点坐标分别为
? F 1? - ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ,0?,F2? 2 ,0?, 2 ? ? ?

顶点坐标分别为
? ? 1? 1? A1(-1,0),A2(1,0),B1?0,-2?,B2?0,2?. ? ? ? ?

[一点通]

求椭圆的性质时,应把椭圆方程化为

标准方程,注意分清楚焦点的位置,准确地写出a,
b的数值,进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点的坐标等几何性质.

1.椭圆的短轴长是 2,长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆 的焦距是 A.2 3 B.4 3 ( )

C. 3 D.2 5 解析:易知 2b=2,∴b=1,且 a=2,
∴c2=a2-b2=3,∴c= 3, 焦距 2c=2 3. 答案:A

2.已知椭圆方程为4x2+9y2=36,求椭圆的长轴
长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
x2 y2 解:把椭圆的方程化为标准方程 9 + 4 =1. 可知此椭圆的焦点在 x 轴上, 且长半轴长 a=3, 短半轴长 b=2;又得半焦距 c= a2-b2= 9-4= 5. 因此,椭圆的长轴长 2a=6,短轴长 2b=4;两个焦点的 坐标分别是(- 5, ( 5, 四个顶点的坐标分别是(- 0), 0); 5 3,0),(3,0),(0,-2),(0,2).离心率 e= 3 .

[例 2]

求适合下列条件的椭圆的标准方程.

2 (1)离心率 e=3,短轴长为 8 5; (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且焦距为 6. [思路点拨]

x2 (1)焦点的位置不确定,可设标准方程为a2

y2 y2 x2 +b2=1,或a2+b2=1(a>b>0). (2)画出图形,结合图形明确已知条件.

[精解详析]

x2 y2 (1)设椭圆的标准方程为a2+b2=1,

y2 x2 或a2+b2=1(a>b>0). c 2 由已知得 e=a=3,2b=8 5,
2 2 c2 a -b 4 ∴a2= a2 =9,b2=80.

∴a2=144. x2 y2 y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为144+80=1 或144+80=1.

(2)如图所示,△ A1FA2 为一等腰直 角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且 OF=c,A1A2=2b, ∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18, x2 y2 故所求椭圆的方程为18+ 9 =1.

[一点通]

利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时, 通常采

用待定系数法,其步骤是: (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可 能有两种标准方程). (3)根据已知条件建立关于参数的方程,利用方程(组)求 c 参数,列方程(组)时常用的关系式为 b2=a2-c2,e=a等.

3.已知P(2,0),Q(0,-3)为椭圆上两点,则椭圆

的标准方程为________________________.
解析:易知 a=3,b=2,且焦点在 y 轴上,故椭圆的标 x2 y2 准方程为 4 + 9 =1. x2 y2 答案: 4 + 9 =1

4.已知椭圆的对称轴是坐标轴,中心 O 为坐标原点,F 是 一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是 6,且 cos 2 ∠OFA=3,则椭圆的标准方程为________________. 2 解析:∵椭圆的长轴长是 6,cos ∠OFA= , 3
∴点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点). c 2 ∴|OF|=c,|AF|=a=3,∴ = . 3 3 ∴c=2,b2=32-22=5. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程是 + =1 或 + =1. 9 5 5 9
x2 y2 x2 y2 答案: 9 + 5 =1 或 5 + 9 =1

5.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且过点A(3,0), 求椭圆的标准方程. x2 y2 解:若椭圆的焦点在 x 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0).
?2a=3× 2b, ? 由题意得? ?a=3, ? ?a=3, ? 解得? ?b=1. ?

x2 2 ∴椭圆方程为 9 +y =1;

y2 x2 若椭圆的焦点在 y 轴上,设方程为a2+b2=1(a>b>0),
?2a=3× 2b, ? 由题意得? ?b=3, ? ?a=9, ? 解得? ?b=3. ?

y2 x2 ∴椭圆方程为81+ 9 =1. x2 2 y2 x2 综上所述,椭圆的标准方程为 9 +y =1 或81+ 9 =1.

[例3]

(12分)如图所示,椭圆的中心在原

点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点, P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此 椭圆的离心率. [思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立a、c的关系式,

此题可利用kPF2=kAB以及a2=c2+b2来建立a、c的关系.

[精解详析]

x2 y2 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0). (3分)

则有F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0),? 直线PF1的方程为x=-c, x2 y2 b2 代入方程a2+b2=1,得y=±a ,?
? b2? ∴P?-c, a ?.又PF2∥AB,∴kPF2=kAB,? ? ?

(6分) (8分)

-b b2 ∴ = a ,即 b=2c. -2ac c2 1 ∴b2=4c2,∴a2-c2=4c2,∴a2=5.? 1 5 ∴e =5,即 e= 5 ,
2

(10 分)

5 所以椭圆的离心率为 5 .?

(12 分)

[一点通] (1)求椭圆离心率的方法: c ①直接求出 a 和 c,再求 e=a,也可利用 e= b2 1-a2求解.

②若 a 和 c 不能直接求出,则看是否可利用条件得到 a 和 c c 的齐次等式关系,然后整理成关于a的方程,即为关于离心率 e 的方程,进而求解. (2)求离心率范围时,常需建立不等关系,通过解不等式来求 离心率的范围.

6. 椭圆的短轴长大于其焦距,则椭圆的离心率的取值

范围是________.
解析:由题意 2b>2c,即 b>c,即 a2-c2>c, ∴a2-c2>c2,则 a2>2c2. c2 1 2 ∴a2<2,∴0<e< 2 . ? 2? ? 答案:?0, ? 2? ? ?

x2 y2 7.如图,A、B、C 分别为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的顶点与焦点, 若∠ABC=90° ,则该椭圆的离心率为 5-1 A. 2 3-1 B. 2 ( )

2-1 5+1 C. 2 D. 4 解析:∵∠ABC=90° ,∴|BC|2+|AB|2=|AC|2,
∴c2+b2+a2+b2=(a+c)2,又 b2=a2-c2, ∴a2-c2-ac=0.
? 5-1? - 5-1 ? ? ∴e +e-1=0,e= 2 ?e= 舍去?. 2 ? ?
2

答案:A

1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式,
要先化成标准形式,再确定焦点位置,求准a,b. 2.求离心率e时,注意方程思想的运用.


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