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2011年高考数学二轮复习课件专题一:第4讲《导数及其应用》


第4讲 导数及其应用 讲

要点知识整合
1.几何意义 . f(x 处的切线的斜率为 = ′ 曲线 y=f(x)在 P(x0, 0))处的切线的斜率为 k=f′(x0)(其 = 在 其 中 f′(x0)为 y=f(x)在 x0 处的导数 . ′ 为 = 在 处的导数). 2.求导数的方法 . (1)基本导数公式:C′=0(C 为常数 ;(xm)′=mxm-1(m 基本导数公式: ′ 为常数); 基本导数公式 ′ (sinx)′=cosx; (cosx)′=- (e (a ′ ∈Q); ; ′ ; ′=-sinx; x)′=ex; x)′ ; ′ 1 1 x =a lna;(lnx)′= ;(logax)′= logae. ; ′ ′ x x (2)导数的四则运算:(u±v)′=u′±v′; 导数的四则运算: 导数的四则运算 ′ ′ ′ u′v-uv′ ′ - ′ u (v≠0). (uv)′=u′v+uv′;( )′= ≠ . ′ ′ + ′ v′ v2

3.函数的性质与导数 . (1)在区间 ,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 f(x)在 在区间(a, 内 在区间 ′ > , 在 区间(a, 上单调递增 上单调递增. 区间 ,b)上单调递增. 在区间(a, 内 在区间 ,b)内,如果 f′(x)<0,那么函数 f(x)在区 ′ < , 在区 上单调递减. 间(a,b)上单调递减. , 上单调递减 (2)求极值的步骤 求极值的步骤 ①求 f′(x);②求 f′(x)=0 的根;③判定根两侧导数 ′ ; ′ = 的根; 的符号; 下结论. 的符号;④下结论. (3)求函数 f(x)在区间 , 上的最大值与最小值的步骤 在区间[a, 求函数 在区间 b]上的最大值与最小值的步骤 注意取舍); ①求 f′(x);②求 f′(x)=0 的根 注意取舍 ; ′ ; ′ = 的根(注意取舍 求出各极值及区间端点处的函数值 处的函数值; ③求出各极值及区间端点处的函数值; 比较其大小,得结论(最大的就是最大值 最大的就是最大值, ④比较其大小,得结论 最大的就是最大值,最小的就 是最小值). 是最小值 .

热点突破探究
典例精析

题型一 导数的几何意义
例1 若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂直于 轴 = 存在垂直于y轴 若曲线 存在垂直于

的切线,则实数 的取值范围是 的取值范围是________. 的切线,则实数a的取值范围是 .

1 解析】 x∈ , +∞ 【解析】 ∵f′(x)=5ax + , ∈(0, ∞), ′ = + , x 1 4 ,+∞ 上有解. ∴由题知 5ax + =0 在(0,+∞)上有解. ,+ 上有解 x 1 ,+∞ 上有解. 即 a=- 5在(0,+∞)上有解. =- ,+ 上有解 5x ∵x∈(0,+∞), ∈ ,+∞ , ,+ 1 ∴- 5∈(-∞,0). - . 5x 即 a∈(-∞,0). ∈- .
4

【答案】 (-∞,0) 答案】 - ,

【题后拓展】 求曲线切线方程的步骤是: 题后拓展】 求曲线切线方程的步骤是: (1)求出函数 =f(x)在点 =x0的导数,即曲线 =f(x)在点 求出函数y= 在点 在点x= 的导数,即曲线y= 在点 求出函数 P(x0,f(x0))处切线的斜率; 处切线的斜率; 处切线的斜率 (2)在已知切点坐标 0,f(x0))和切线斜率的条件下,求得 在已知切点坐标P(x 和切线斜率的条件下, 在已知切点坐标 和切线斜率的条件下 切线方程为y- 切线方程为 -f(x0)=f′(x0)·(x-x0). = - . 注意: 当曲线 当曲线y= 在点 在点P(x 处的切线平行于y轴 注意:(1)当曲线 =f(x)在点 0,f(x0))处的切线平行于 轴 处的切线平行于 (此时导数不存在 时,由切线定义可知,切线方程为 =x0; 此时导数不存在)时 由切线定义可知,切线方程为x= 此时导数不存在 (2)当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解. 当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解. 当切点坐标不知道时

变式训练
1.已知函数 f(x)=x2-x+2,g(x)=3lnx,若 . = + , = , 直线 x=k 与曲线 y=f(x),y=g(x)分别相交于 = = , = 分别相交于 P,Q 两点,并且两曲线分别在 P 点和 Q 点处 , 两点, 的切线平行, 等于( ) 的切线平行,那么实数 k 等于 3 A.- B.1 .- . 2 3 3 C. D.- 和 .-1 .- 2 2 3 解析: 解析:选 C.因为 f′(x)=2x-1,g′(x)= , 因为 ′ = - , ′ = x 所以两曲线在 P 点和 Q 点处的切线的斜率分别 3 3 3 为 2k-1 和 ,依题意有 2k-1= ,解得 k= - - = = 2 k k (k=- 舍去 . =-1 =- 舍去).

题型二 利用导数研究函数的单调性
例2 (2010年高考课标全国卷 设函数 年高考课标全国卷)设函数 =ex-1 年高考课标全国卷 设函数f(x)= -x-ax2. - (1)若a=0,求f(x)的单调区间; 若 = , 的单调区间; 的单调区间 (2)若当 若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围. 的取值范围. 若当 时 , 的取值范围 【解】 (1)a=0时,f(x)=ex-1-x, = 时 = - , f′(x)=ex-1. = 当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+ 时, ∈- , 时 ; ∈ ,+∞)时 ,+ f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+ 单 单调递减, ,+∞)单 故 在 - , 单调递减 ,+ 调递增. 调递增.

(2)f′(x)=ex-1-2ax. ′ = - 由(1)知 ex≥1+x,当且仅当 x=0 时等号成立. 知 + , = 时等号成立. 故 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x, ′ ≥ - = - , 1 从而当 1-2a≥0,即 a≤ 时,f′(x)≥0(x≥0),而 f(0) - ≥ , ≤ ′ ≥ ≥ , 2 f(x)≥ 由 =0, , 于是当 x≥0 时, ≥0.由 ex>1+x(x≠0)可得 e-x>1 ≥ + ≠ 可得 1 -x(x≠0).从而当 a> 时,f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e- ≠ . ′ + = 2 x x (e -1)(ex-2a), , 故当 x∈(0,ln(2a))时,f′(x)<0,而 f(0)=0,于是当 x ∈ , 时 ′ , = , ∈(0,ln(2a))时,f(x)<0,不符合要求. , 时 ,不符合要求. 1 的取值范围为(- 综合得 a 的取值范围为 -∞, ]. . 2

题后拓展】 【题后拓展】 利用导数研究函数单调性的 一般步骤: 一般步骤: (1)确定函数的定义域; 确定函数的定义域; 确定函数的定义域 (2)求导数 f′(x); 求导数 ′ ; (3)①若求单调区间(或证明单调性 ,只需在 ① 若求单调区间 或证明单调性), 或证明单调性 的定义域内解(或证明 函数 f(x)的定义域内解 或证明 不等式 的定义域内解 或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. ′ ′ 的单调性, ②若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 的单调性 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问 ′ ≥ ′ ≤ 题求解. 题求解.

变式训练
2.已知函数 f(x)=x2+aln x. . = (1)当 a=- 时,求函数 f(x)的单调减区间; =-2 的单调减区间; 当 =- 的单调减区间 2 (2)若函数 g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上单调, ,+∞ 上单调, 若函数 = + ,+ 上单调 x 的取值范围. 求实数 a 的取值范围.

(1)由题意知 函数的定义域为 , ∞), 由题意知, 函数的定义域为(0, +∞ 解: 由题意知, + , ( + )(x- ) )( 2 2(x+1)( -1) =-2 f′ = - 当 a=- 时,′(x)=2x- = =- , x x 的单调递减区间是(0,1). 故 f(x)的单调递减区间是 的单调递减区间是 .

a 2 (2)由题意得 g′(x)=2x+ - 2,函数 g(x)在[1,+∞) ,+∞ 由题意得 ′ = + 在 ,+ x x 上是单调函数. 上是单调函数. ,+∞ 上的单调增函数, ①若 g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则 为 ,+ 上的单调增函数 g′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, ,+∞ 上恒成立, ′ ≥ ,+ 上恒成立 2 2 2 ,+∞ 上恒成立, 即 a≥ -2x 在[1,+∞)上恒成立,设 φ(x)= -2x2, ≥ ,+ 上恒成立 = x x ,+∞ 上单调递减, ∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减, 在 ,+ 上单调递减 ∴φ(x)max=φ(1)=0, = , ∴a≥0. ≥ ,+∞ 上的单调减函数, ②若 g(x)为[1,+∞)上的单调减函数, 为 ,+ 上的单调减函数 ,+∞ 上恒成立, 则 g′(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,不可能. ′ ≤ ,+ 上恒成立 不可能. ∴实数 a 的取值范围为 a≥0 ≥

利用导数研究函数的极值、 题型三 利用导数研究函数的极值、最值
例3 已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. = (1)若 f(x)在区间 ,+∞)上是增函数,求实数 a 在区间[1,+ 上是增函数, 若 在区间 ,+∞ 上是增函数 的取值范围; 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上 的极值点, 若 =- 的极值点 在 , 上 3 的最大值; 的最大值; (3)在(2)的条件下, 的条件下, 在 的条件下 是否存在实数 b, , 使得函数 g(x) =bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点?若存 的图象恰有 个交点? 的取值范围;若不存在, 在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明 理由. 理由.

【解】 (1)f′(x)=3x2-2ax-3. ′ = - ,+∞ 是增函数, ∵f(x)在[1,+∞)是增函数, 在 ,+ 是增函数 ,+∞ ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,即 ′ 在 ,+ 上恒有 ′ ≥ , ,+∞ 上恒成立, 3x2-2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立, - ≥ ,+ 上恒成立 a =-2a≥ ∴ ≤ 则必有 ≤1 且 f′(1)=- ≥0.∴a≤0. ′ =- 3 1 (2)依题意,f′(- )=0, 依题意, 依题意 ′ - = , 3 1 2 即 + a-3=0. - = 3 3 ∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x. = , = 1 2 令 f′(x)=3x -8x-3=0,得 x1=- ,x2=3. ′ = - = , 3

则当x变化时, 变化情况如下表: 则当 变化时,f′(x)与f(x)变化情况如下表: 变化时 与 变化情况如下表 x f′(x) ′ f(x) 1 - 6 (1,3) - ? 3 0 - 18 (3,4) + ? 4 - 12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是 =-6. 在 上的最大值是f(1)=- 上的最大值是 =-

(3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 函数 = 的图象恰有 个交点, 个交点,即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有 3 个不等实 = 根. ∴x3-4x2-3x-bx=0,∴x=0 是其中一个根, - = , = 是其中一个根, ∴方程 x2-4x-3-b=0 有两个非零不等实根. - - = 有两个非零不等实根. ??=16+4(3+b)>0 ? = + ( + ) ∴? ?-3-b≠0 - ≠ ? >-7 ∴b>- 且 b≠-3. >- ≠ ∴存在满足条件的 b 值,b 的取值范围是 b>-7 且 - b≠-3. ≠

【题后拓展】 利用导数求函数的极值或最 题后拓展】 值,关键是首先要正确求导,准确记忆常用 关键是首先要正确求导, 函数的求导公式及求导法则,其次令导函数 函数的求导公式及求导法则, 等于零,列出升降表,根据升降表确定极值, 等于零,列出升降表,根据升降表确定极值, 进而确定最值,注意不能忽视边界. 进而确定最值,注意不能忽视边界.

a 3.已知函数 f(x)=lnx- . . = - x (1)当 a>0 时, 在定义域上的单调性; 当 判断 f(x)在定义域上的单调性; 在定义域上的单调性 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值 . 的值. 若 在 , 上的最小值为 2

的定义域为(0,+ 解:(1)由题知 f(x)的定义域为 ,+∞),且 由题知 的定义域为 ,+∞ , + 1 a x+a f′(x)= + 2= 2 . ′ = x x x ,+∞ ∵a>0,∴f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上是 , ′ , 在 ,+ 上是 单调递增函数. 单调递增函数.

x+a + (2)由(1)可知:f′(x)= 2 . 由 可知: ′ = 可知 x ①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e] ≥ , + ≥ , ′ ≥ , 上恒成立, 上为增函数, 上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为增函数, 在 , 上为增函数 3 3 =-a= 舍去). ∴f(x)min=f(1)=- = ,∴a=- (舍去 . =- =- 舍去 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e] ≤ , + ≤ , ′ ≤ , 上恒成立, 上为减函数, 上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为减函数, 在 , 上为减函数 e a 3 舍去). ∴f(x)min=f(e)=1- = ?a=- (舍去 . = - =- 舍去 e 2 2

=-a, ③若-e<a<-1,令 f′(x)=0,得 x=- , - , ′ = , =- ,-a) 当 1<x<-a 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,- - ′ , 在 ,- 上为减函数; 上为减函数; 当 - a<x<e 时 , f′(x)>0,∴ f(x)在 (- a,e) ′ , 在 - , 上为增函数, 上为增函数, 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= ?a=- e. - = - + = =- 2 综上可知, =- 综上可知,a=- e.

题型四 导数的实际应用
例4 (本题满分 12 分)某摩托车生产企业,上年度生 本题满分 某摩托车生产企业, 某摩托车生产企业 万元/辆 万元/ 产摩托车的投入成本为 1 万元 辆,出厂价为 1.3 万元 本年度为适应市场需求, 辆,年销售量为 50000 辆.本年度为适应市场需求,计 划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆投入成本 划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆投入成本 增加的比例为 x(0<x<1), , 则出厂价格相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加,已知年利润=(每辆车的出 0.7x,年销售量也相应增加,已知年利润=(每辆车的出 厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. 厂价-每辆车的投入成本 ×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,写出本年度的年利 若年销售量增加的比例为 , 的函数关系式; 润关于 x 的函数关系式; 5 2 (2)若年销售量关于 x 的函数为 y=3240(-x +2x+ ), 若年销售量关于 = - + , 3 为何值时, 本年度的年利润最大? 则当 x 为何值时, 本年度的年利润最大?最大利润是多 少?

【规范解答】 (1)设年利润为 y, 规范解答】 设年利润为 , 则有 y= [1.3×(1+ 0.7x)- 1×(1+ x)]×50000·(1 = × + - × + × +0.4x)=50(-36x2+30x+300). = - + . =-1800x2+ 1500x+15000,x∈(0,1).3 分 即 y=- =- + , ∈ (2)依题意年利润 f(x)=[1.3×(1+0.7x)-1×(1+ 依题意年利润 = × + - × + 5 2 x)]×3240×(-x +2x+ ),x∈(0,1). × ×- + , ∈ . 3 162 3 (9x - 48x2+45x+50),x∈(0,1). 即 f(x)= = + , ∈ . 5

的最大值, 要求 f(x)的最大值,即求 g(x)=9x3- 48x2+ 45x+50, 的最大值 = + , x∈(0,1)的最大值 分 的最大值.6 ∈ 的最大值 则 g′(x)=27x2- 96x+45. ′ = + 5 由 g′(x)=0 得 x= 或 x=3(舍)…..9 分 ′ = = = 舍 9 5 5 ∈ 时 ′ < 当 x∈(0, )时,g′(x)>0;当 x∈( ,1)时,g′(x)<0. ∈ , 时 ′ > ; 9 9 5 5 5000 有最大值, . ∴ x= 时 , g(x)有最大值, g(x)max= g( )= = 有最大值 = 9 9 81 5 162 5000 = = 2000. ∴ f(x)max= f( )= × 9 5 81 5 综上, 综上, 当 x= 时, = 9 万元……12 分 本年度年利润最大为 2000 万元

【规律方法】 解决实际应用问题的关键在于建 规律方法】 立数学模型和目标函数, 问题情景”译为数学 立数学模型和目标函数,把“问题情景 译为数学 问题情景 语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关 语言,找出问题的主要关系, 系近似化、形式化,抽象成数学问题, 系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为 常规问题,选择合适的数学方法求解, 常规问题,选择合适的数学方法求解,不同的设 参方法会得到不同的数学模型. 参方法会得到不同的数学模型.

变式训练
4. . 某工厂生产某种产品, 已知该产品的月产量 x(吨) 某工厂生产某种产品, 吨 与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P=24200 元 吨 之间的关系为 = 1 2 - x, 且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x(元). = + 元. 问 5 该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大? 该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大? 最 大利润是多少? 利润 收入-成本) 大利润是多少?(利润=收入-成本 多少 利润=

解:每月生产 x 吨时的利润为 1 2 f(x)=(24200- x )x-(50000+200x) = - - + 5 1 3 =- x +24000x-50000(x≥0). - ≥ . 5 3 2 由 f′(x)=- x +24000=0 解得 ′ =- = 5 x1=200,x2=- 舍去). , =-200(舍去 . 舍去 +∞ 因 f(x)在[0, ∞)内只有一个极值点 x=200 使 f′(x)=0, 在 , + 内只有一个极值点 = ′ = , 故它就是最大值点, 故它就是最大值点,且最大值为 1 f(200)=- ×2003+24000×200-50000=3150000(元). =- × - = 元. 5 吨产品时的利润达到最大, 所以每月生产 200 吨产品时的利润达到最大,最大利润 万元. 为 315 万元.

方法突破 转 化 例 与 化 归

(2009年高考浙江卷 已知函数 年高考浙江卷)已知函数 =x3+(1-a)·x2 年高考浙江卷 已知函数f(x)= -

-a(a+2)x+b(a,b∈R). + + , ∈ . (1)若函数 若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 的图象过原点, 若函数 的图象过原点 的值; -3,求a,b的值; , , 的值 (2)若函数 在区间 -1,1)上不单调,求a的取值范围. 若函数f(x)在区间 在区间(- 上不单调, 的取值范围 的取值范围. 若函数 上不单调

的图象过原点, 【解】 (1)由函数 f(x)的图象过原点,得 b=0, 由函数 的图象过原点 = , 又 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2), ′ = - - + , f(x)在原点处的切线斜率是-3, 在原点处的切线斜率是- 在原点处的切线斜率是 , =-3, =-3 则-a(a+2)=- ,所以 a=- 或 a=1. + =- =- = a+2 + (2)由 f′(x)=0,得 x1=a,x2=- . 由 ′ = , , 3 < < , ?-1<a<1, ? 又 f(x) 在 ( - 1,1) 上 不 单 调 , 即 ? a+2 + ≠ ?a≠- 3 , ? a+2 + ? - , ?-1<- 3 <1, ? + ?a≠-a+2. ≠ ? 3 , ?-1<a<1, ? 解得? 1 ≠ ?a≠-2, ?



< < , ?-5<a<1, ? 或? 1 ≠ ?a≠-2. ?

1 1 的取值范围是(- ,- ∪ - 所以 a 的取值范围是 -5,- )∪(- ,1). . 2 2

【方法归纳】 方法归纳】

本题利用了转化与化归的方法, 本题利用了转化与化归的方法,

该法基本内涵是:人们在解决数学问题时, 该法基本内涵是:人们在解决数学问题时,常 常将待解决的问题A,通过某种转化手段, 常将待解决的问题 ,通过某种转化手段,归 结为另一问题B,而问题B是相对较容易解决 结为另一问题B,而问题B是相对较容易解决 的或已经有固定解决模式的问题, 的或已经有固定解决模式的问题,且通过问题 B的解决可以得到原问题 的解.如本题中函 的解决可以得到原问题A的解 的解决可以得到原问题 的解. 上不单调, 数f(x)在(-1,1)上不单调,则f′(x)=0在(-1,1) 在- 上不单调 = 在- 上有解,利用有解条件便可解决. 上有解,利用有解条件便可解决.

高考动态聚焦
考情分析 从近几年高考来看,本讲高考命题有以下特点: 从近几年高考来看,本讲高考命题有以下特点: 1.从内容上看,考查导数有三个层次: .从内容上看,考查导数有三个层次: (1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义; 导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义; 导数的概念 (2)导数的简单应用,包括求函数极值、求函数的单 导数的简单应用,包括求函数极值、 导数的简单应用 调区间、证明函数的单调性等; 调区间、证明函数的单调性等; (3)导数的综合考查,包括导数的应用题以及导数与 导数的综合考查, 导数的综合考查 函数、不等式等的综合题. 函数、不等式等的综合题.

2.从特点上看,高考对导数的考查有时单独考 .从特点上看, 查,有时在知识交汇处考查,常常将导数与函数、 有时在知识交汇处考查,常常将导数与函数、 不等式、方程、数列、 不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考 查. 3.从形式上看,考查导数的试题有选择题、填 .从形式上看,考查导数的试题有选择题、 空题、解答题,有时三种题型会同时出现. 空题、解答题,有时三种题型会同时出现.

真题聚焦

x 1.(2010 年高考课标全国卷 曲线 y= 年高考课标全国卷)曲线 = . 在 x+2 + ,-1)处的切线方程为 ) 点(-1,- 处的切线方程为 - ,- 处的切线方程为( A.y=2x+1 B.y=2x-1 . = + . = - C.y=- -3 =-2x- D.y=- -2 =-2x- . =- . =-
解析: 易知点(- ,- 在曲线上, ,-1)在曲线上 解析:选 A.易知点 -1,- 在曲线上, 易知点 x+2-x + - 2 且 y′= ′ 2= 2, (x+2) + ) (x+2) + ) 2 ∴切线斜率 k=y′|x=-1= =2. = ′ 1 由点斜式得切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1. + = + , = +

2.(2010年高考江西卷 等比数列 n}中,a1 . 年高考江西卷)等比数列 年高考江西卷 等比数列{a 中 =2,a8=4,函数 , ,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x = - - -a8),则f′(0)=( , = A. A.26 C.212 . ) B. B.29 D.215 .

解析: 函数f(x)的展开式含 的展开式含x项的系数为 解析:选C.函数 的展开式含 项的系数为 函数 a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212, 故选C. 而f′(0)=a1·a2·…·a8=212,故选 =

3.(2010年高考山东卷 观察 2)′=2x,(x4)′=4x3, . 年高考山东卷)观察 年高考山东卷 观察(x = , = (cosx)′=- =-sinx,由归纳推理可得:若定义在 上的 =- ,由归纳推理可得:若定义在R上的 函数f(x)满足 -x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则 满足f(- = 的导函数, 函数 满足 , 为 的导函数 g(-x)=( - = A.f(x) . C.g(x) . ) B.- .-f(x) .- D.- .-g(x) .-

解析: 由所给函数及其导数知, 解析:选D.由所给函数及其导数知,偶函数的导函 由所给函数及其导数知 数为奇函数.因此当 是偶函数时, 数为奇函数.因此当f(x)是偶函数时,其导函数应为 是偶函数时 奇函数, =-g(x). 奇函数,故g(-x)=- - =- .

1 4. (2010 年高考福建卷节选 已知函数 f(x)= 年高考福建卷节选)已知函数 . = 3 x3-x2+ax+b 的图象在点 P(0,f(0))处的切线 + , 处的切线 方程为 y=3x-2. = - (1)求实数 a,b 的值; 求实数 , 的值; m (2)设 g(x)=f(x)+ +∞ 设 = + 是[2, ∞)上的增函数 , + 上的增函数 x-1 - 求实数 m 的最大值. 的最大值.

解:(1)由 f′(x)=x2-2x+a 及题设得 由 ′ = + ?f′(0)=3, ?a=3, , ? ′ ) ? = , ? 即? ?f(0)=-2, ?b=- =- ? ( )=- , ? =-2.

1 3 m 2 (2)由 g(x)= x -x +3x-2+ 由 = - + 3 x-1 - m 2 . 得 g′(x)=x -2x+3- ′ = + - (x-1)2 - ) ,+∞ 上的增函数, 因为 g(x)是[2,+∞)上的增函数, 是 ,+ 上的增函数 ,+∞ 上恒成立, 所以 g′(x)≥0 在[2,+∞)上恒成立, ′ ≥ ,+ 上恒成立 m 2 ,+∞ 上恒成立. 即 x -2x+3- + - ,+ 上恒成立 2≥0 在[2,+∞)上恒成立. (x-1) - ) ,+∞ ,+∞ 设(x-1)2=t,因为 x∈[2,+∞),所以 t∈[1,+∞), - , ∈ ,+ , ∈ ,+ , m ,+∞ 上恒成立. 即不等式 t+2- ≥0 在[1,+∞)上恒成立. + - ,+ 上恒成立 t ,+∞ 上恒成立. 所以 m≤t2+2t 在[1,+∞)上恒成立. ≤ ,+ 上恒成立 ,+∞ 令 y=t2+2t,t∈[1,+∞),可得 ymin=3. = , ∈ ,+ , 故 m≤3,即 m 的最大值为 3. ≤ ,


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