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山东省实验中学(2014年1月15日期末考试)高二文科数学试卷解析


山东省实验中学 2013-2014 学年度第二学期期末考试

文科数学试卷解析
解析人 戴又发 考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(共 70 分)
一、选择题(本题包括 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.每小题只有一个选项符合题意, 基础题 60 分,发展题 10 分) 1.已知全集 U = { 1,2,3,4,5,6},集合 A = { 1,3,5}, B = { 1,2},则 (CU B) ? A = A. Φ B. {5} C.

{3}

D. {3,5}

【解析】? CU B = {3,4,5,6} ,∴ (CU B) ? A = {3,5} ,故选 D.

x ∈ R,2 x + 1 > 0 ,则┐p 为 2.已知命题 p:?
A.

2

? x ∈ R,2 x 2 + 1 ≤ 0
2

x ∈ R,2 x + 1 > 0 B. ?
D. ? x ∈ R,2 x + 1 < 0
2

2

x ∈ R, 2 x + 1 ≤ 0 C. ?

【解析】全称命题的否定为特称命题,故选 C. 3.设 a ∈ R ,则 a > 1 是 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【解析】 “若 a > 1 则

1 < 1的 a
B. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 1 “若 < 1 则 a > 1 ”是假命题,故选 A. < 1 ”是真命题; a a
2 ,符合条件的三角形有 2
C. 2 个 D. 3 个

4.△ABC 中, a = A. 0 个

5 , b = 3 , sin B =
B. 1 个

【解析】∵角 B 不是最大角,于是 B = ∴ 角 A 可取两值,故选 C.

?
4

,再由

b a ,得 sin A = = sin B sin A

5 6

>

2 , 2

5. 设 x ∈ R ,向量 a = ( x,1) , b = (1,-2) ,且 a ⊥ b ,则 a + b =

A.

5

B.

10

C.

2 5

D. 10

【解析】由 a ⊥ b 得, x = 2 ;∴ a + b = ( 2,1) + (1,-2) = (3,-1) = 10 ,故选 B.

6. 下列函数中,最小值为 4 的是 A. C.

y = x+

4 x 4 (0 < x < ?) s in x

B. D.

y = e x + 4e - x y = log 3 x + 4 log x 3( x < 1)

y = s in x+

【解析】A 和 D 中, y 都能取负值,其最小值不为 4;C 中由于 sin x 最大值为 1,所以 y 的 最小值为 5;故选 B. 7. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n , a 2 + a3 = -5 , S 5 = -20 ,则 a10 等于 A. -90 【解析】由 S 5 = B. -27 C. -25 D. 0

{ }

5(a1 + a5 ) = -20 得 a 3 = -4 ,再由 a 2 + a3 = -5 ,于是 a 2 = -1 , 2

公差 d = -3 ,∴ a10 = a3 + 7d = -4 + 7 ×(-3) = -25 ;故选 C. 8. 设偶函数 f ( x) 在 (0, 且 f (2) = 0 , 则不等式 +∞ ) 上为减函数, 为 A. C.

f ( x ) + f (- x ) > 0 的解集 x

(-2,0) ? (2,+∞ ) (-∞,-2) ? (2,+∞ )

B. D.

(-2,0) ? (0,2) (-∞ ,-2) ? (0,2)

【解析】 f ( x) 为偶函数,不等式

f ( x ) + f (- x ) f ( x) > 0 变为 > 0 ,即 xf ( x) > 0 ; x x

又由 f ( x) 在 (0, +∞ ) 上为减函数,且 f (2) = 0 ,知 x > 0 时, x ∈ (0,2) ; 由偶函数性质,得解集为 (-2,0) ? (2,+∞ ) ,故选 A. 9. 已知函数 f ( x) = A sin(?x + ?)( x ∈ R, A > 0, ? > 0, ? < 则 f ( x) 的解析式是 A. B.

? ) 的图象(部分)如图所示, 2
y

2

? f ( x) = 2 sin(?x + )( x ∈ R) 6 ? f ( x) = 2 sin(2?x + )( x ∈ R) 6

o 1 3

5 6

x

-2

C. D.

? f ( x) = 2 sin(?x + )( x ∈ R) 3 ? f ( x) = 2 sin(2?x + )( x ∈ R) 3

【解析】记 f ( x) 的周期为 T,则有

T 5 1 1 = - = ,∴ T = 2 , ? = ? ; 4 6 3 2 1 ? f ( x) 可以表示为 f ( x) = 2 sin(?x + ? )( x ∈ R) ,再由 f ( ) = 2 ,可得 ? = ,故选 A. 3 6

10. 已知 log 2 x , log 2 y ,2 成等差数列,则 M ( x, y ) 的轨迹的图象为

y

y

y

y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

【解析】由 log 2 x + 2 = 2 log 2 y ,得 x > 0, y > 0, y = 4 x ,显然选 A. 11. 设函数 f ( x) = x 3 - ( ) x -2 ,则 y = f ( x) 的零点 x0 所在区间为 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)
3

2

1 2

D. (3,4)

【解析】数形结合,在同一坐标系中分别作函数 x 和 ( ) x -2 的图象即可判定,零点 x0 所在 区间(1,2)内,故选 B. 亦可用区间端点代入,根据符号判定. 12. 如果实数 x, y 满足条件 x - y + 1 ≥ 0 ,那么 2 x - y 的最 0 , y + 1≥ 0 , x + y + 1 ≤ 大值为 A. 1

1 2

B. 0

C. -2

D. -3

【解析】当 x = 0, y = -1 时, 2 x - y 取得最大值 1,故选 A. 13. 设数列 an 满足: a1 = 2 , a n +1 = 1 等于 A. 1 B. 2 C. -

{ }

1 ,记数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,则 T2013 的值 an

1 2

D. -1

【解析】直接计算出 a1 = 2 , a 2 =

1 , a 3 = -1 , a4 = 2 , {an } 为周期数列,周期为 3, 2

又 a1 a 2 a3 = -1 ,于是 T2013 = (a1a2 a3 )

2013 3

= (-1) 671 = -1 ,故选 D.

14. 设数列 an 满足下列条件:a1 = 1 , 且对于任意的正整数 n , 恒有 a 2 n = nan , 则 a 2100 的 值为 A. 1 B.

{ }

2 99
n -1

C.

2100

D.

2 4950

【解析】由 a 2 n = nan 得 a 2 n = 2

a 2 n -1 ,

记 bn = a 2 n ,则 b1 = a2 = 1×a1 = 1 ,
1+ 2+3+?+( n -1) n ( n -1) 2

bn = 2 n -1 , bn -1
100× 99 2

于是 bn = 2

×b1 = 2

,∴ a 2100 = b100 = 2

= 2 4950 .故选 D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 80 分)
二、填空题(本题包括 5 小题,共 20 分,基础题 16 分,发展题 4 分) 15.已知 tan ? = 【解析】由 16.已知△ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为 【解析】由 tan ? =

3 ,? < ? <

3? ,则 cos? - sin ? = 2

3 ,? < ? <

3? ? ,知 ? = ? + , 2 3
3 -1 .应填 2

∴ cos? - sin ? = -

1 3 - ()= 2 2

3 -1 . 2

17. 设△ABC 是边长为 1 的正三角形,点 O 是平面上任意一点,则 OA + OB - 2OC = 【解析】由 OA + OB - 2OC = OA - OC + OB - OC = CA + CB , 而△ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴

OA + OB - 2OC = CA + CB = 3 .应填 3 .

18.已知 x > 0 , y > 0 ,且 围是

2 1 + = 1 ,若 x + 2 y > m 2 + 2m 恒成立,则实数 m 的取值范 x y

【解析】 ∵ x > 0 , y > 0 ,且

2 1 + = 1 ,∴ x y

x + 2 y = xy ≥ 2 2 xy ,即 xy ≥ 8 ,

又∵

m 2 + 2m < x + 2 y = xy 恒成立,∴ m 2 + 2m < 8 ,即

-4 < m < 2.

应填

-4 < m < 2.

19.定义:在数列 an 中,若满足

{ }

a n + 2 a n +1 ( d 为常数) ,我们称 {an } 为“比等差 =d, a n +1 a n

数列” .已知在“比等差数列”中, a1 = a 2 = 1 , a3 = 2 ,则

a 2014 的末位数字是 a 2011

【解析】

设 bn =

a n +1 an

,由

a n + 2 a n +1 =d a n +1 a n



数列 bn 为等差数列,且 b1 =

{ }

a3 a2 = 1 , b2 = = 2, a1 a2

于是

b2011 =

a 2012 a 2013 a 2014 = 2011 , b2012 = = 2012 , b2013 = = 2013 , a 2011 a 2012 a 2013



a 2014 = 2013 ×2012 ×2011 ,其末位数字是 6,应填 6. a 2011

三、解答题(本题包括 5 小题,共 60 分,基础题 44 分,发展题 16 分) 20.(本小题满分 10 分) 设命题 p:函数 f ( x) = (2 - 4 a) 是 R 上的减函数,命题 q:函数 y = lg(ax - x + a) 的定 义域为 R,若“p∧(┐q) ”为真命题,求实数 a 的取值范围. 【解析】当命题 p 为真命题时,由函数 f ( x) = (2 - 4 a) 是 R 上的减函数,得
x x 2

0 < 2 - 4a < 1 ,即

1 1 <a< ; 4 2
2

当命题 q 为真命题时,由函数 y = lg(ax - x + a) 为 R,得 ax - x + a > 0 对任意实数 都成立,∴ a > 0 且 1 - 4a < 0 ,即 a >
2

2

1 ; 4

而命题“p∧(┐q) ”为真命题,必须 p 与┐q 同为真命题, 由

1 1 1 且 a ≤ ,知实数 a 的取值范围为空集. <a< 4 2 4

21.(本小题满分 12 分) 在数列 an 中,已知 a1 =

{ }

a n +1 1 1 = , bn + 2 = 3 log 2 a n (n ∈ N * ) . , an 4 4

(1)求数列 an 和数列 bn 的通项公式;

{ }

{ }

(2)设数列 cn 满足 cn = a n + bn ,求数列 cn 的前项和. 【解析】 (1)由已知条件得数列 an 为等比数列,首项为 ∴ an = ( ) n ; 又 bn + 2 = 3 log 2 a n = 3 log 2 ( ) n = 3 log 2 2 -2n = -6n ,

{ }
1 4

{ }

{ }
1 4

1 1 ,公比为 , 4 4

bn = -6n - 2 .
(2)由 c n = a n + bn = ( ) n - 6n - 2 ,

1 4

1 1 (1 - n ) n(n + 1) 4 4 cn }的前项和 S n = 数列 { - 6× - 2n 1 2 14 1 1 = (1 - n ) - 3n(n + 1) - 2n 3 4 1 1 = (1 - n ) - 3n 2 - 5n . 3 4
22.(本小题满分 12 分) △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2b cos A = c cos A + a cosC . (1)求角 A 的大小; (2)若 a =

7 , b + c = 4 ,求△ABC 的面积.

【解析】 (1)由 2b cos A = c cos A + a cosC = b ,得 cos A = ∴

A=

?
3

1 , 2


2 2 2 2 2

(2)由余弦定理,有 a = 7 = b + c - 2bc cos A = b + c - bc

= (b + c) 2 - 3bc = 16 - 3bc
∴ ∴

bc = 3 .
1 3 3 3 3 bc sin A = × = . 2 2 2 4

△ABC 的面积为 S ?ABC =

23.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = log a ( x + 1)( a > 1) ,若函数 y = g ( x) 的图象上任意一点 P 关于原点对称 点 Q 的轨迹恰好是函数 f ( x) 的图象.

(1)写出函数 g ( x) 的解析式;

m 成立,求 m 的取值范围. (2)当 x ∈[0,1) 时,总有 f ( x) + g ( x) ≥
【解析】 (1)由 f ( x) = log a ( x + 1)( a > 1) ,得

- g ( x) = log a ( ? - x + 1)( a > 1) , - x + 1)( a > 1) . ∴ 函数 g ( x) 的解析式为 g ( x) = - log a ( ?
(2)设 F ( x) = f ( x) + g ( x) = log a ( x + 1) - log a (- x + 1) = log a

1+ x , 1- x

由 F ( x) = log a ∴ 即

1+ x 2 = log a (-1 ) 知 F ( x) 在 [0,1) 上是增函数, 1- x x -1

m ,只需 F (0) ≥ m 即可, 当 x ∈[0,1) 时,总有 f ( x) + g ( x) ≥

m≤ 0 为 m 的取值范围.

24.(本小题满分 14 分) 已知数列 an 的首项 a1 =

{ }

3a n 3 * , a n +1 = , (n ∈ N ) . 2a n + 1 5

(1)求证:数列{

1 -1}为等比数列; an

(2)记 S n =

1 1 1 ,若 S n < 100 ,求最大正整数 n ; + +?+ a1 a 2 an

(3) 是否存在互不相等的正整数 m ,s ,n , 使得 m ,s ,n 成等差数列, 且 a m - 1 ,a s - 1 ,

a n - 1 成等比数列?如果存在,请给以证明,如果不存在,请说明理由.
【解析】 (1)∵

1 a n +1

=

2a n + 1 2 1 1 = + × , 3a n 3 3 an

1 a n +1


- 1 ==

1 1 1 1 1 × - == ( - 1) , 3 an 3 3 an

数列{

1 -1}为等比数列. an

(2)由(1)可得

1 1 1 2 1 1 1 2 == ( - 1) n-1 = n + 1 - 1 == ( - 1) n-1 = n ,即 an a1 an a1 3 3 3 3

于是 S n =

1 1 1 2 2 2 2 + +?+ = + 2 + 3 +?+ n + n a1 a 2 an 3 3 3 3

= 1由 S n < 100 ,即 1 -

1 +n, 3n

1 + n < 100 ,得最大正整数 n = 99 ; 3n


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