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文科立体几何线面,面面平行的定理与性质应用


直线、平面平行的判定及性 质

教材回顾夯实双基
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 条件 结论 a∩α=? ________ a∥α a?α,b?α, a∥α,a?β, ________ a∥α a∥b α∩β=b b∥α a∩α=___ ? a∥b ________ 定理 性质

2.面面平行的判定与性质 判定 定义 定理 性质

图形

α∩β=? 条件 ___________ 结论 α∥β

a?β,b?β, a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β

α∥β,α∩γ =a,β∩γ α∥β,a?β =b a∥b a∥α

思考探究
如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这 两个平面一定平行吗? 提示:不一定.如果这无数条直线互相平行,则这两个平 面就不一定平行.

考点探究讲练互动
考点突破
考点1 直线与平面平行的判定与性质
1 ABCD 中,CD∥AB,DC= AB, 例1 如图,在四棱锥 P2 试在线段 PB 上找一点 M, CM∥平面 PAD, 使 并说明理由.

【解】 当 M 为 PB 的中点时,CM∥平面 PAD. 证明如下: 法一:取 AP 的中点 F,连接 CM,FM,DF, 1 则 FM∥AB,FM= AB. 2 1 ∵CD∥AB,CD= AB, 2 ∴FM∥CD,FM=CD. ∴四边形 CDFM 为平行四边形. ∴CM∥DF. ∵DF?平面 PAD,CM?平面 PAD, ∴CM∥平面 PAD.

法二:在四边形 ABCD 中,设 BC 的延长线与 AD 的延长线 交于点 Q,连接 PQ,CM. ∵CD∥AB, ∴∠QCD=∠QBA. ∵∠CQD=∠BQA, ∴△CQD∽△BQA. QC CD 1 ∴ = = . QB AB 2 ∴C 为 BQ 的中点. ∵M 为 BP 的中点, ∴CM∥PQ. ∵PQ?平面 PAD,CM?平面 PAD, ∴CM∥平面 PAD.

跟踪训练

3.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,
EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF,若M是线段 AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.

证明:因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC, 所以△ABC∽△EFG. 由于 AB=2EF,因此,BC=2FG. 1 如图,连接 AF,由于 FG∥BC,FG= BC, 2 在 ? ABCD 中,M 是线段 AD 的中点, 1 则 AM∥BC,且 AM= BC, 2 因此 FG∥AM 且 FG=AM, 所以四边形 AFGM 为平行四边形, 因此 GM∥FA. 又 FA?平面 ABFE,GM?平面 ABFE, 所以 GM∥平面 ABFE.

考点2

平面与平面平行的判定与性质

例2 如图,在三棱柱ABC- 1B1C1中, A E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:

(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.

【证明】

(1)∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面. (2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,

∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG. ∵A1G EB,

∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.

跟踪训练

2.在正方体ABCD- 1B1C1D1中,M,N,P分别为棱DD1, A
CD,AD的中点. 求证:平面MNP∥平面A1C1B. 证明:如图,连接D1C,AD1, 则MN为△DD1C的中位线, ∴MN∥D1C.又∵D1C∥A1B, ∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B. 而MN与MP相交,MN,MP在平面MNP内,A1B,C1B在

平面A1C1B内.
∴平面MNP∥平面A1C1B.

考点3

线面、面面平行的综合应用 如图,已知α∥β,异面直线

例3

AB,CD和平面α,β分别交于A,B,C,D四点,E,F, G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:

(1)E,F,G,H共面; (2)平面EFGH∥平面α.

1 【证明】 (1)∵E,H分别是AB,DA的中点,∴EH綊 2 BD. 1 同理,FG BD,∴FG EH. 2

∴四边形EFGH是平行四边形, ∴E,F,G,H共面. (2)平面ABD和平面α有一个公共点A, 设两平面交于过点A的直线AD′.

∵α∥β,∴AD′∥BD.
又∵BD∥EH,∴EH∥BD∥AD′. ∴EH∥平面α.

同理,EF∥平面α.
又EH∩EF=E,EH?平面EFGH, EF?平面EFGH,∴平面EFGH∥平面α.

方法感悟
1.平行问题的转化方向如图所示:

2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维” 到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再 到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反, 但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不 可过于“模式化”.


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