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深圳市2015届高三年级第一次调研考试文科数学(word版)

2015 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(文科)

2015.1

本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A)? P( B); 如果事件 A、 B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A)P( B); 1 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 V ? Sh . 3 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1、已知集合 U ? {2,0,1,5} ,集合 A ? {0,2} ,则 CU A =( ) A. ? B。 {0,2} C。 {1,5} D。 {2,0,1,5} 2、 i 是虚数单位,复数 i A. i B。 ? i
2

(i ? 1) 的虚部是(
C。1

y

) D。-1 ) -1 O 图1 x 1

3、 在四边形 ABCD 中, “ AC ? AB ? AD ” 是 “ABCD 是平行四边形” 的 ( A. 充分不必要条件 B.充要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4、若函数 y ? a ? b 的部分图象如图 1 所示,则
x

A. 0 ? a ? 1,?1 ? b ? 0 C. a ? 1,?1 ? b ? 0

B。 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 D。a?1,0?b

? x ?1 ? y ? 0 ,则 x ? 2 y 的最大值为( 5、已知实数 x, y 满足不等式组 ? ?x ? y ? 3 ?



A.3 B 。3 C。4 D。5 6、如图 2,三棱锥 A-BCD 中,AB ? 平面 BCD,BC ? CD,若 AB=BC=CD=2, 则该三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD)的面积为( ) A. 2 B。2 C。 2 2 D。 2 3
0

7、在 ?ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A= 60 , a ? 3 , b ? c ? 3 ,则 ?ABC 的面积 为( ) A.

3 4

B。

3 2

C。 3

D。2

8、已知 F1 , F2 分别是双曲线 C :

PF1 ? F1F2 ,则 C 的离心率是(
A. 2 ? 1 9、函数 f ( x ) ? x ? B。

x2 y2 ? ? 1( a, b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在 C 上,若 PF1 ? F1F2 ,且 a 2 b2
) C。 2 ? 1 D。 5 ? 1

5 ?1 2

1 在 (??,?1) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是( ) ax A. [1,??) B。 (??,0) U (0,1] C。 (0,1] D。 (??,0) U [1,??) 10、在平面直角坐标系 xoy 中,设点 M 与曲线 Ci 上任意一点距离的最小值为 d i (i ? 1,2) 。若 d1 ? d 2 ,则
称 C1 比 C2 更靠近点 M,下列为假命题的是( A. C1 : x ? 0 比 C2 : y ? 0 更靠近 M (1,?2) B。 C1 : y ? e 比 C2 : xy ? 1 更靠近 M (0,0)
x



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C.若 C1 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 比 C2 : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 更靠近点 M (m,2m) ,则 m ? 0 D.若 m ? 1 ,则 C1 : y 2 ? 4 x 比 C2 : x ? y ? m ? 0 更靠近点 M (1,0) 二填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分满分 20 分。本大题分为必做题和选做题两部 分 (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生必须做答。

? x 2 ? 3, x ? 0 ,则 2 x ? 0 3 ? x , ? . f (2015) ? f (?2015) ? 12、将容量为 n 的样本中的数据分成 5 组,绘制频率分布直方图。若批 1 至第 5 个长方形的面积之比 3:4:5:2:1,且最后两组数据的频数之各等于 15,则 n
11、已知函数 f ( x) ? ? 等于 . 13、执行图 3 的程序框图,则输出 S 的值为 . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算第一题的得分。 14、(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 点 (2, 距离等于 .
0 0

?
3

) 到直线 ? cos ? ? 3 的

15、(几何证明选讲选做题)如图 4,在 Rt?ABC 中, ?A ? 30 , ?C ? 90 ,D 是 AB 边上的一点,以 BD 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 E。若 BC=6,则 DE 的长 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步 骤 16. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ( ? ? 0 )的最小正周期是 π . (1)求 f (

π 3

5π ) 的值; 12

(2)若 f ( x0 ) = 3 ,且 x0 ? (

, ) ,求 sin 2 x0 的值. 12 3

? ?

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17.(本题满分 12 分) 空 气 质 量 指 数 ( 简 称AQI) 是 定 量 描 述 空 气 质 量 状 况 的 指 数 , 其 数 值 越 大 说 明 空 气 污 染 越严重,为了及时了解空气质量状况,广东各城市都设置了 AQI 实时监 测站. 下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监 测到的数据:
城市 广州 深圳 佛山 AQI 数值 118 94 160 城市 东莞 珠海 惠州 AQI 数值 137 95 113 城市 中山 湛江 汕头 AQI 数值 95 75 88 城市 江门 潮州 汕尾 AQI 数值 78 94 74 城市 云浮 河源 阳江 AQI 数值 76 124 112 城市 茂名 肇庆 韶关 AQI 数值 107 48 68 城市 揭阳 清远 梅州 AQI 数值 80 47 84

(1)请根据上表中的数据,完成下列表格: 空气质量 优质 良好 AQI 值范围 [0,50) [50,100) 城市个数

轻度污染 [100,150)

中度污染 [150,200)

(2)现从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式确定 6 个城市,省环保 部门再从中随机选取 2 个城市组织专家进行调研,则选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染” 的概率是多少?

18、(本小题满分 14 分) 如图 5,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,侧 SBC 是正三角形,点 E 是 SB 的中点,且 AE ? 平面ABC 。 (1)证明: SD // 平面ACE ; (2)若 AB ? AS , BC ? 2 ,求点 S 到平面 ABC 的距离。

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19、 (本小题满分 14 分) 已知各项为正的等差数列 {an } 的公差为 d ? 1 ,且 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足: b1 ? ? , an ?1bn ?1 ? an bn ? (?1)
n ?1

1 1 2 ? ? 。 a1a2 a2 a3 3
(n? N ) ,是否存在实数 ? ,使得数列 {bn } 为

等比数列?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。

20、 (本小题满分 14 分) 如图 5,A,B 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,F 为其右焦点,2 是|AF|与|FB| a2 b2

的等差中项, 3 是|AF|与|FB|的等比中项。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴, 若过 F 作直线 FQ 垂直于 AP,并交直线 l 于点 Q。证明:Q,P,B 三点共线。

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21、 (本小题满分 14 分) 已知 a, b ? R , 函数 f ( x) ? (ax ? 2) ln x ,g ( x) ? bx ? 4 x ? 5 , 且曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在 x ? 1 处有相同的切线。 (1)求 a, b 的值; (2)证明:当 x ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 恒在曲线 y ? g ( x) 的下方;
2

(2)当 x ? (0, k ] 时,不等式 (2k ? 1) f ( x) ? (2 x ? 1) g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围。

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