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新人教版高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理高效测评新人教A版必修5

2016-2017 学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理高效测 评 新人教 A 版必修 5

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

1.在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则角 A 的大小为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

解析: 在△ABC 中,由余弦定理得

cos A=AB22×+AABC×2-ABCC2=522+×352×-372=-12.

∵A∈(0°,180°),∴A=120°. 答案: D 2.在△ABC 中,已知 a2=b2+c2-bc,则角 A 为( )

A.π3

B.π6

C.23π

D.π3 或23π

解析: 由余弦定理得 cos A=b2+2cb2c-a2=2bbcc=12.

又 A∈(0,π ),∴A=π3 .

答案: A

3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos2A2=b2+cc,则△ABC 是(

)

A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形

D.等腰直角三角形 解析: 在△ABC 中, ∵cos2A2=b+ 2cc,

∴1+c2os A=2bc+12,∴cos A=bc, ∴由余弦定理知 cos A=b2+2cb2c-a2,

∴b2+2cb2c-a2=bc,∴b2+c2-a2=2b2, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形. 答案: A

4.在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则A→B·B→C的值为( )

A.79

B.69

C.5

D.-5

解析: 由余弦定理得

cos∠ABC=BC22+BCA·B2-ABAC2=722+×572×-582=17.

∵向量A→B与B→C的夹角为 180°-∠ABC,

∴A→B·B→C=|→AB||→BC|cos(180°-∠ABC)=5×7×???-17???=-5.
答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知在△ABC 中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC 的形状为____________. 解析: ∵2B=A+C,又 A+B+C=180°,∴B=60°.又 b2=ac,由余弦定理可得 b2 =a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac,所以有 a2+c2-ac=ac,从而(a -c)2=0,所以 a=c,故△ABC 为等边三角形. 答案: 等边三角形 6.(2012·北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=-14,则 b=________.

解析: ∵b+c=7,∴c=7-b. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×???-14???,解得 b=4. 答案: 4

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

7.在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,c=4( 3+1),解此三角形. 解析: 由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B

=82+[4( 3+1)]2-2×8×4( 3+1)·cos 60° =64+16(4+2 3)-64( 3+1)×12=96,

∴b=4 6.

方法一:由 cos A=b2+2cb2c-a2

96+

3+ 2-64 2

= 2×4 6

3+ = 2 ,

∵0°<A<180°,∴A=45°.

故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.

a

b

8

46

方法二:由正弦定理sin A=sin B,∴sin A=sin 60°,

∴sin

A=

2 2,

∵b>a,c>a,

∴a 最小,即 A 为锐角.

因此 A=45°.

故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.

8.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acosB.

(1)求角 B 的大小;

(2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值.

解析:

a (1)由正弦定理得sin

b A=sin

B=2R,R 为△ABC 外接圆半径.

又 bsin A= 3acos B,

所以 2Rsin Bsin A= 3·2Rsin Acos B,又 sin A≠0,

所以 sin B= 3cos B,tan B= 3.

又因为 0<B<π ,所以 B=π3 .

(2)由 sin

C=2sin

A

a 及sin

c A=sin

C,得 c=2a,

由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac, ∴a2+4a2-2a2=9,

解得 a= 3.故 c=2 3.

尖子生题库 ☆☆☆

9.(10 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B +(2c+b)sin C,
(1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

解析: (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 可求得 cos A=-12. 又∵A 为△ABC 内角, ∴A=120°. (2)由 a2=b2+c2+bc 得: sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, 又∵A=120°,sin B+sin C=1, ∴sin B=sin C=12. 因为 0°<B<90°,0°<C<90°, 故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.