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北京市2015届2014年高三数学(文)模拟试题分类汇编:三角函数与解三角形

三角函数与解三角形
一、选择题 1. (2013 北京卷文)在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 5 , sin A ?

1 ,则 sin B ? ( 3
D. 1



A.

1 5

B.

5 9

C.

5 3

2. (2014 昌平第一学期期末)将函数 y ? 2 cos x 的图象向右平移 得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (A) y ? 2cos 2 x (B) y ? ?2cos 2 x

个单位长度,再将所

(纵坐标不变) ,得到的函数解析式为 (C) y ? ?2sin 2 x (D) y ? 2sin 2 x

3. (2013-2014 朝阳第一学期期末)已知 0 ? ? ? A.

?7

B. ?1

C.

π 4 π ,且 cos ? ? ,则 tan(? ? ) 等于 2 5 4 3 D. 7 4

4. (2013-2014 丰台第一学期期末)函数 y ? sin( x ?

?

) ? cos( x ? ) 的最大值是 6 3

?

(A)2

(B)1

(C) 3

(D)

3 2

5. (2013-2014 海淀第一学期期末) 在 ?ABC 中,若 a ? 2b ,面积记作 S ,则下列结论中一 . 定 成立的是 . A. B ? 30 B. A ? 2B C. c ? b D. S ? b2

二、填空题 1. ( 2014 北 京 卷 文 ) 在 ?ABC 中 , a ? 1 , b ? 2 , cos C ?

1 ,则 c ? 4



sin A ?

. 。 .

2. (2013-2014 东城第一学期期末) 在△ABC 中, a=15, b=10, A= 60o, 则 cosB= 3. (2013-2014 石景山第一学期期末)已知 sin ? =

3 ? ?), , 且? ? ( , 则c o s ?? 5 2

1

三、解答题
2 1. (2013 北京卷文)已知函数 f ( x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ?

1 cos 4 x 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期及最大值。 (2)若 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 f (? ) ?

2 ,求 ? 的值。 2

2. (2014 昌平第一学期期末)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,
A?

?
3

, cos C ?

3 , a ? 3. 3

(Ⅰ)求 sin B ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

3. (2014 北京卷文) 函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 6?

(1)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?

?? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?
y y0

O

x0

x

2

4. (2013-2014 朝阳第一学期期末)已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos2 x ? 2 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间.

? 4

5. (2013-2014 东城第一学期期末)已知函数 f(x)=2 3 sinxcosx-2 cos2x+l. (I)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 ? ∈(0,

? ) ,且 f( ? )=1,求 ? 的值。 2

6. (2013-2014 丰台第一学期期末)在△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,

已知 a ? 2 3,c ? 2 2,
?A ? 60O .

(Ⅰ)求 sinC 的值; (Ⅱ)求 b 边的长.

3

7.(2013-2014 海淀第一学期期末)函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

cos2 x ? 2sin x . sin x ? cos x

π 4

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.

8. (2013-2014 石景山第一学期期末)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? cos 2 x ?1 ( x ? R) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 ? ?

? ? ?? , 上的最小值,并写出 f ( x) 取最小值时相应的 x 值. ? 4 4? ?

g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) , 9. (2013-2014 西城第一学期期末)已知函数 f ( x) ? 3 cos ? x ,
且 g ( x) 的最小正周期为 π . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 3

6 , ? ?[?π, π] ,求 ? 的值; 2

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间.

4

10. (2014 朝阳一模)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 3cos2 x . (Ⅰ)求 f (0) 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. 2

? π? ? ?

11. (2014 大兴一模)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2sin x cos x ? sin 2 x. (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调增区间与最大值.

π 4

12. (2014 东城一模)在△A BC 中, a ? 5,sin C ? 2sin A. (I)求 c 的值; (Ⅱ)若 b=3,求 sin(2A 一

? )的值. 4

13. (2014 房山一模) 已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值.

? 2

5

14. (2014 丰台一模)已知函数 f ( x) ? 2cos x ? sin(? ? 2 x) ?1 .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间

[0, ] 2 上的最小值和最大值.

?

π 15. (2014 海淀一模)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) . 3 π (Ⅰ)求 f ( ) ; 6 π π (Ⅱ)求 f ( x) 在 [? , ] 上的取值范围. 2 2

B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? b ? c , 16.(2014 石景山一模 ) 在△ ABC 中,角 A ,

3a ? 2b sin A .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ?

7 ,求 c 边的长和△ ABC 的面积.

17.(2014 西城一模) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (Ⅰ )求 A 的大小; (Ⅱ )如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求 a 的值. 3

6

18.(2014 年延庆一模) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin 2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的值域和最小正周期; (Ⅱ)设 ? ? (0,

?
2

) ,且 f (? ) ? 1 ,求 ? 的值.

19.(2014 昌平二模) 已知函数 f ( x ) ? cos x( 3sin x ? cos x) , x ? R . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及值域; (Ⅱ)求 f ( x ) 单调递增区间.

20.(2014 朝阳二模) 在

ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a ? 2 3 ,

A?

π . 3

(Ⅰ)若 b ? 2 2 ,求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2 ,求边 b 的长.

21.(2014 东城二模) 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3sin(? ? x)cos x.
2

(I)求 f ( ) 的值;

?

6

(Ⅱ)

的最大值和最小值.

22.(2014 丰台二模 ) 已知三 角形 ABC 中,∠ A, ∠ B, ∠ C 的对边长分别为 a, b, c , 且

a 2 ? b2 ? ab ? 3 , C ? 60o .
(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 a ? b 的取值范围.

7

23.(2014 海淀二模) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x ? a , a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 有零点,求实数 a 的取值范围.

B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? b ? c , 24.(2014 石景山二模 ) 在△ ABC 中,角 A ,

3a ? 2b sin A .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ?

7 ,求 c 边的长和△ ABC 的面积.

25.(2014 顺义二模) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求实数 a 的值;

a ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象过点 ( , 0) . 2 8

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值.

26.(2014 西城二模) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? 1 . (Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )当 x ? [ ?

π , 0] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2

8

三角函数与解三角形
一、选择题 1-5.BDDBD 二、填空题
15 8

6-10.

1. 2

2.

3. ?

4 5
1 cos 4 x 2

三、解答题
2 1. 解: (1) f ( x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ?

1 ? cos 2 x sin 2 x ? cos 4 x 2 1 1 ? sin 4 x ? cos 4 x 2 2

?

2 ? sin(4 x ? ) 2 4
2? ? ? 4 2

所以,最小正周期 T ? 当 4x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

( k ? Z ),即 x ?

k? ? ? ( k ? Z )时 2 16

f ( x)max ?
(2)因为 f (? ) ? 所以 sin(4? ? 因为

2 2

2 ? 2 sin(4? ? ) ? 2 4 2

?
4

) ?1

9? ? 17? ? 4? ? ? 2 4 4 4 ? 5? 9? 所以 4? ? ? ,即 ? ? 4 2 16

?

? ? ? ? ,所以

2. 解:(Ⅰ) 因为 A, B, C 为 ?ABC 的内角,且 A ?

?
3

, cos C ?

3 , 3

所以 sin C ?

6 . 3

所以 sin B ? sin( A ? C )

? sin A cos C ? cos A sin C
9

?

3 3 1 6 ? ? ? 2 3 2 3 3? 6 . 6
a c ? ,解得 c ? 2 2 . sin A sin C
………7 分

?

(Ⅱ) 在 ?ABC 中,由正弦定理 所以 ?ABC 的面积为 S ? 3. ⑴ f ? x ? 的最小正周期为 π
x0 ? 7π . 6

1 3 2 ?2 3 . ac sin B ? 2 2

………13 分

y0 ? 3

π? π ? 5π ? π ? ⑵ 因为 x ? ? ? ,? ? ,所以 2 x ? ? ? ? ,0 ? . 2 12 6 6 ? ? ? ?

于是当 2 x ? 当 2x ?

π π ? 0 ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最大值 0; 6 12

π π π ? ? ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最小值 ?3 . 6 2 3
2

4. 解: (Ⅰ)依题意 f ( x) ? 2sin x ? sin 2 x ?1

? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin(2 x ? ) . 4 ? ? ? 则 f ( ) ? 2 sin(2 ? ? ) ? 1 . ………….7 分 4 4 4 ?? ? ?. (Ⅱ) f ( x ) 的最小正周期 Τ ? ? π ? π π 3π 当 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? 时,即 kπ ? ? x ? kπ ? 时, f ( x ) 为增函数. 2 4 2 8 8
则函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? kπ ? 5.

? ?

π 3π ? , kπ ? ? , k ? Z . 8 8?

………….13 分

10

6. (Ⅰ)正弦定理

a c ? ,-----------------------------------3 分 sin A sin C

所以 sin C ?

c sin A 2 2 sin 60? 2 -------------------------6 分 ? ? a 2 2 3
b2 ? c 2 ? a 2 ,----------------------------9 分 2bc

(Ⅱ)由余弦定理 cos A ?

b2 ? 8 ? 12 得 cos 60? ? ,解得,b= 2 ? 6 .----------------------12 分 4 2b
B 的值为 2 ? 6 ------ --------------------------------------13 分
π cos π π 0 2 ? 2sin ? ? 2 ? 2 . ------------------------3 分 7.解: (Ⅰ) f ( ) ? π π 4 4 2 2 sin ? cos ? 4 4 2 2
(Ⅱ)由 sin x ? cos x ? 0 得 x ? kπ ? 因为 f ( x) ?

π ,k ? Z . 4

cos2 x ? 2sin x sin x ? cos x cos2 x ? sin 2 x ? ? 2sin x sin x ? cos x
? cosx ? sin x

------------------------------------5 分

π ? 2 sin( x ? ) , 4
11

-------------------------------------7 分

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 π . 因为函数 y ? sin x 的对称轴为 x ? kπ+

-------------------------------------9 分

π , k ? Z , ------------------------------11 分 2 π π π 又由 x ? ? kπ+ , k ? Z ,得 x ? kπ+ , k ? Z , 4 2 4 π 所以 f ( x ) 的对称轴的方程为 x ? kπ+ , k ? Z .-----------------------------------13 分 4 8. 解: (Ⅰ) f ( x ) ? 3 sin 2x ? cos 2x+1 …………2 分

? 2sin (2x ? ) +1 , 6 所以函数 f ( x) 的最小正周期 ?
(Ⅱ)因为 ?

?

……………4 分 ……………6 分

? ? ?x? , 4 4 ? ? 2? ? ? 2x ? ? , 3 6 3
? 3 ? ? sin(2x ? ) ? 1 , 2 6

……………8 分

……………10 分

? 3 ? 1 ? 2sin (2x ? ) +1 ? 3 , 6
所以当 2x ?

?

……………11 分

?
6

=?

?
3

,即 x = ?

? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 3 ? 1 . 4
……………13 分

π 9. (Ⅰ)解:因为 g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 π , 3
所以

2? ? ? ,解得 ω ? 2 . |ω|
6 6 ,得 3 cos 2? ? , 2 2 2 , 2
π , k ?Z . 4

……………… 3 分

由 f (? ) ?

即 cos 2? ?

…………… 4 分

所以 2? ? 2kπ ?

因为 ? ?[?π, π] , 所以 ? ? {?

7π π π 7π , ? , , }. 8 8 8 8

…………… 6 分

(Ⅱ)解:函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? 3 cos 2 x ? sin(2 x ? )
12

π 3

? 3 cos 2 x ? sin 2 x cos

π π ? cos 2 x sin 3 3

…………… 8 分

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
π ? sin(2 x ? ) , 3 π π π 由 2kπ ? ≤2 x ? ≤2kπ ? , 2 3 2 5π π ≤x≤kπ ? 解得 kπ ? . 12 12
………………10 分 ………………11 分 ………………12 分

5π π ,kπ ? ](k ? Z) .……13 分 12 12 π 10. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3
所以函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间为 [kπ ? 所以, f (0) ? ? 3 .

π π π ? 2kπ ≤ 2 x ? ≤ ? 2kπ , k ? Z , 2 3 2 π 5π ? kπ ≤ x ≤ ? kπ , k ? Z 得? 12 12
由? 所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? (Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

? ?

π 5π ? , kπ ? ? , k ? Z . 12 12 ?

……………………8 分

π , 2

π π 2π ≤ 2x ? ≤ 3 3 3 . π π 所以,当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 ? 3 ; 3 3 π π 5π 当 2x ? ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2 . ……………………13 分 3 2 12
π 2 2 2 2 2 ) ? 2? ? ( ) 2 ? 1 ................4 分 11. 解:(Ⅰ) f ( ) ? ( 4 2 2 2 2 (Ⅱ) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x .................2 分

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 ? ........................3 分 ?
π π π 3π π ? ? 2kπ ? 2x ? ? 2kπ . ? 2kπ ? 2x ? ? ? 2kπ, k ? Z ...........5 分 4 4 2 4 2 3π π ? ? kπ ? x ? ? kπ 8 8 π ? 3π ? ? kπ, ? kπ ? (k ? Z) ...............7 分 所以函数 f ( x) 的单调增区间是 ? ? 8 ? 8 ?
令 ?

13

当2 x ?

π π π ? ? 2kπ,即x ? ? kπ (k ? Z) 时, f ( x) 的最大值为 2 .....9 分 4 2 8

13. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin 2 x ? 1 ? cos2 x

-------------2 分

? 2sin(2 x ? ) ? 1 6
2? ?? . 2 ? ? ? 5? (Ⅱ) 0 ? x ? ,?? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 1 ? ?? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6
∴ f ( x ) 的最小正周期 T ?

?

-----------------5 分

-----------------7 分

------------------4 分

? 0 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? 3 6 ? ∴ f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值是 3 ,最小值是 0 . ------------------6 分 2
14. 解: (Ⅰ)

?

f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4

?

?T ?

2? ?? 2 .------------------------------------------------------------- --7 分

? ?? x ? ?0, ? ? 2 ?, (Ⅱ)

? 2x ?

?

? ? 5? ? ?? , ? 4 ?4 4 ?

? ? 2 ? ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? 4 ? 2 ?
?2x ?

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

?
4

?

? 5? x? 4 即 2 时, f ( x) 的最小值为 ?1 ,
14

2x ?

?
4

?

?
2即

x?

?
8 时, f ( x) 的最大值为 2 . ------ -------------------13 分

π π π π 15. 解: ---------------------------------1 分 (Ⅰ) f ( ) ? sin ? sin( ? ) 6 6 6 3 π π ---------------------------------2 分 ? sin ? sin(? ) 6 6 π π ---------------------------------3 分 ? sin ? sin 6 6 π ---------------------------------4 分 ? 2sin ? 1 6
1 3 (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? sin x ? cos x 2 2
---------------------------------6 分

? 1 3 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) 3 2 2
π π ?x? 2 2 π π 5π 所以 ? ? x ? ? 6 3 6 1 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 2 3
因为 ?

--------------------------------8 分

--------------------------------10 分 --------------------------------12 分 --------------------------------13 分

1 所以 f ( x ) 的取值范围是 [? ,1] 2

16. 解: (Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A , 所以 3 sin A ? 2sin B sin A , 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 , ………………2 分

sin B ?
所以

3 2 ,

………………4 分 ………………6 分

因为 0 ? B ? ? ,且 a ? b ? c ,所以 B ? 60 . (Ⅱ)因为 a ? 2 , b ?

7,
1 2 ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 ,

( 7) 2 ? 22 ? c 2 ? 2 ? 2 ? c ?
所以由余弦定理得 ………………8 分
15

解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍) , 所以 c 边的长为 3 . ………………10 分

1 1 3 3 3 S?ABC = ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2 .
17. (Ⅰ)解:因为 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,

………………13 分

b2 ? c2 ? a 2 1 所以 cos A ? ? , 2bc 2
又因为 A ? (0, π) , 所以 A ?

……………… 4 分

π . 3

……………… 6 分

(Ⅱ)解:因为 cos B ?

6 , B ? (0, π) , 3

所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 由正弦定理

3 , 3

………………8 分

a b , ………………11 分 ? sin A sin B b sin A 得 a? ………………13 分 ? 3. sin B

18. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 1 ? cos 2 x sin 2 x ? , 2 2

…………4 分

1 1 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
? 2 2 2 1 ( sin 2 x ? cos2 x) ? 2 2 2 2 2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2
…………6 分

?

? f ( x) 的值域为 [1 ? 2 , 1 ? 2 ] , 最小正周期为 ? .……8 分
2 2
(Ⅱ) f (? ) ? 1 ,即:

2 ? 1 sin(2? ? ) ? ? 1 2 4 2
16

…………9 分

即: sin(2? ?

?
4

)?

2 2

∵ ? ? (0,

?
2
?

) , ? 2? ?

?
4

? (?

? 3?

, ) 4 4

…………11 分

? 2? ?

?
4

?
4



??

? 4

…………13 分

19. 解:(Ⅰ) 因为 f ( x) ? cos x( 3sin x ? cos x)

? 3sin x cos x ? cos2 x
? 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

………1 分

………3 分

? sin(2 x ?
所以 T ?

?
6

)?

2? ?? . 2

1 , 2

………4 分 ………6 分

因为 x ? R , 所以 ?1 ? sin(2 x ? 所以 ?

?
6

) ? 1.

………7 分

1 ? 1 3 ? sin(2 x ? ) ? ? . 2 6 2 2 1 3 所以 f ( x ) 的值域为 [? , ] . 2 2
(Ⅱ) 因为 ?

………8 分 ………10 分 ………11 分 ………12 分

? 2k? , 2 6 2 2? ? ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 k? . 所以 ? 3 3 ?
所以 ?

?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

?

3

? k? ? x ?

?

6

? k? .

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], ( k ? Z) .

………13 分

20. (Ⅰ)解:由正弦定理

a b ? , sin A sin B



2 3 2 2 ? 2 . 3 sin B ,解得 sin B ? 2 2
17

由于 B 为三角形内角, b ? a ,则 B ?

? ? ? ?? . ………6 分 ,所以 C ? ? ? ? ? 3 4 12 4

(Ⅱ)依题意, cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 b 2 ? 4 ? 12 .整理得 b2 ? 2b ? 8 ? 0 , ,即 ? 2 4b 2bc
………13 分

又 b ? 0 ,所以 b ? 4 . 另解:

由于

a c ? ,所以 sin A sin C
π . 6

2 3 2 1 ? 3 sin C ,解得 sin C ? 2 . 2

由于 a ? c ,所以 C ?

由A?

π π ,得 B ? . 3 2
………13 分

由勾股定理 b2 ? c 2 ? a 2 ,解得 b ? 4 . 21. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x

? ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f ( ) ? 1 . (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, ? 所以,当 2 x ? 当 2x ?

? 6

…………………7 分

? 2

? ? 5? ? 2x ? ? . 6 6 6

? ? ? ? 时,即 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得最小值 0 ; 6 6

? 3 ? ? ? 时,即 x ? 时,函数 f ( x) 取得最大值 .…………………13 分 3 2 6 2

22.

18

23..解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin2 x ? cos2 x ? a ? 1 --------------------------4 分

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ) ? a ? 1 2 2 π ? 2sin(2 x ? ) ? a ? 1 6 ? 2(
∴周期 T ? (Ⅱ)令

---------------------------6 分 ----------------------------7 分

2π ? π. 2 π 6

f ( x) ? 0

,即 2sin(2 x ? ) ? a ? 1=0 ,

------------------------------8 分 --------------------------------9 分 ---------------------------------11 分

π 6 π 因为 ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 π 所以 ?1 ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 , 6 a f ( x)
则 a=1 ? 2sin(2 x ? ) , 所以,若 有零点,则实数

--------------------------------12 分 的取值范围是

[ ?1,3]

. -------------------13 分

24. 解: (Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A ,所以 3 sin A ? 2sin B sin A , 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 因为 0 ? B ? ? ,且 a ? b ? c ,所以 B ? 60 . (Ⅱ)因为 a ? 2 , b ?

………2 分 ………4 分

3 , 2

……6 分

7,
1 2 ,即 c ? 2c ? 3 ? 0 , 2
………8 分

2 2 2 所以由余弦定理得 ( 7) ? 2 ? c ? 2 ? 2 ? c ?

解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍) ,所以 c 边的长为 3 . ………10 分

1 1 3 3 3 . S?ABC = ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2
19

……13 分

a sin 2 x ? cos 2 x 2 ? a ? ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) , ? sin ? cos ? 0 ,————3 分 8 2 4 4 解得 a ? 2 ————7 分
25.解: (Ⅰ)由已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ?

? 最小正周期 T ?

2? ? ? ,———11 分 2

2 sin(2 x ? ) ———9 分 4

?

最大值为 2 .————13 分

26. (Ⅰ )解: f ( x) ? sin x cos x ? cos x ? 1
2

1 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?1 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ?

……………… 4 分

?

2 π 1 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2

……………… 6 分

2π ?π. ……………… 7 分 2 π 5π π π ≤ 2x ? ≤ - . (Ⅱ )解:由 ? ≤ x ≤ 0 ,得 ? 2 4 4 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 所以 ?1 ≤ sin(2 x ? ) ≤

π 4

2 , 2

……………… 9 分

所以

? 2 ?1 2 π 1 ? 2 ?1 ≤ sin(2 x ? ) ? ≤ 1 ,即 ≤ f ( x) ≤1 .…… 11 分 2 2 4 2 2

当 2x ? 当 2x ?

π π π π ? 2 ?1 ? ? ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) 取到最小值 f (? ) ? ;… 12 分 4 2 8 8 2 π 5π π π ? ? ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) 取到最大值 f ( ? ) ? 1 .………13 分 4 4 2 2

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