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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学(文)试题A卷


试卷类型:A

河北冀州中学

2015---2016 学年上学期第一次月考 高二年级文科数学试题 考试时间 120 分钟 试题分数 150

一选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={x|-3≤x≤0}, B={x|-1≤x≤3},则 A∩B =( ) A. [-1,0] B. [-3,3] C. [0,3] D. [-3, -1] 2.下列图像表示函数图像的是( )
y y y y

x

x

x

x

A

B

C

D

3. 在△ABC 中,若 tanAtanB>1,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 ) D. 60°

4. 在△ABC 中,若 a=2, ,B=60° ,则角 A 的大小为( A. 30°或 150° B. 60°或 120° C. 30° 5. 将函数 y ? sin( x ? 所得图象向左平移

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将

? 个单位,则所得函数图象对应的解析式为 3 1 ? ? 1 1 ? A. y ? sin( x ? ) B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? sin x D. y ? sin( x ? ) 2 3 6 2 2 6


?log 2 x ( x ? 0) 1 6. 已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f ( )] 的值是( 4 ( x ? 0) ?3
A. 8 B.

1 8

C. 9

D.

1 9

7. 已知 A(1, 2), B(3,1), 则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )

A.4 x ? 2 y ? 5

B. 4 x? 2 y ? 5 C. x? 2 y ? 5 D. x? 2 y ? 5

2

8. 若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是( A. a+c ≥ b-c B. ac>bc C. >0

D. (a﹣b)c ≥0

9. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 10. 如图所示的程序框图,若输出的 S=41,则判断框内应填入的条件是( A. k>3? B. k>4? C. k>5? D. k>6? )

11.已知平面向量 a ? (1, 2), b ? (?2, m) ,且 a // b ,则实数 m 的值为 ( A.1 B.4 C. ?1 D. ?4

?

?

? ?

)

12 . 如果数列{a n}满足 a1,a 2-a1,a 3-a 2,…,a n-a n-1,…是首项 为 1, 公比为 2 的等比数列,那么 an=( A.2 n ?1 -1 B.2 n -1 ) D.2 n +1

C.2 n —1

二 填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 13、已知| a |=2,| b |=4, a ⊥( a + b ),则 a 与 b 夹角的度数 为 .

?

?

?

?

?

?

?

14. 如果一个几何体的三视图如右图所示(单位长度:cm) , 则此几何体的表面积是 .

15. 已知实数 x,y 满足条件

,那么 2x﹣y 的最大值为______

16. 函数 y=3x 2 +

6 的最小值是_____ x2+1

三、解答题: (本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17.(10分)已知函数 f ( x) ?

? a sin 2 x ? cos 2 x 的图象过点 ( , 0) . 8 2

(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及最大值.

18. (12 分)已知数列{an}满足 a1=3 ,

,数列{bn}满足

. (1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{a n}的前 n 项和 S n.

19. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,且 PM=3MC, 求三棱锥 P﹣QBM 的体积.

20.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 满足 b +c =bc+a . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a 1 cosA=1,且 a 2 ,a 4 ,a 8 成等比数列, 求{ }的前 n 项和 Sn.

2

2

2

21. (12 分)已知向量

=(

cosωx,1) ,

=(2sin(ωx+

) ,﹣1) (其中 ≤ω≤ ) ,

函数 f(x)= (1)求 f( π)的值; (2)若 f( )=

? ,且 f(x)图象的一条对称轴为 x=



,f(



)=

2 2 ,且 3



求 cos(α﹣β)的值.

22. (12 分)某人上午 7:00 乘汽车以 v1 千米/小时(30≤v1≤100)匀速从 A 地出发到距 300 公里的 B 地,在 B 地不作停留,然后骑摩托车以 v2 千米/小时(4≤v2≤20)匀速从 B 地出发 到距 50 公里的 C 地,计划在当天 16:00 至 21:00 到达 C 地.设乘汽车、骑摩托车的时间 分别是 x,y 小时,如果已知所需的经费 p=100+3(5﹣x)+2(8﹣y)元,那么 v1,v2 分别 是多少时走的最经济,此时花费多少元?

一选择题 A 卷 B 卷 二 填空题 13. 三 解答题

高二年级 第一次月考 文科数学 答案 ACACDD BDDBDB DCCABC BBCBBD 120 0 14. 80+16 2 cm 2 15. 1 16. 6 2 —3

17. (1)由已知函数 f ( x) ?

a sin 2 x ? cos 2 x 2 a ? ? ? ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,? sin ? cos ? 0 , 2 4 4 8 解得 a ? 2 5分
2 sin(2 x ?

3分

(2)由(1)得函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ?
? 最小正周期 T ?

?
4

)

8分

2? ?? , 2
10 分 ,得

9分

最大值为 2 . 18. 解(1)证明:由





﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

所以数列{bn}是等差数列,首项 b1=1,公差为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ∴ (2) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)
n﹣1

∴Sn=a1+a2+…+an=3×1+4×3+…+(n+2)×3 ∴ ①﹣②得 =2+1+3+3 +…+3
2 n﹣1

﹣﹣﹣﹣①

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②(9 分)

﹣(n+2)×3 =

n

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

19 解: (1)∵PA=PD, ∴PQ⊥AD, 又∵底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°, ∴BQ⊥AD,PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PQB 又 AD?平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD;---------6 分 (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PQ⊥AD, ∴PQ⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴PQ⊥BC, 又 BC⊥BQ,QB∩QP=Q, ∴BC⊥平面 PQB, 又 PM=3MC, ∴VP﹣QBM=VM﹣PQB= 20. 解: (Ⅰ)∵b +c ﹣a =bc, ∴ ∴cosA= , ∵A∈(0,π) ,∴A = .---------4分 = ,
2 2 2

---------12 分

(Ⅱ)设{an}的公差为 d, ∵a1cosA=1,且 a 2,a 4,a 8 成等比数列, ∴a1= =2,且
2

= a2?a8,

∴(a1+3d) =(a1+d) (a1+7d) ,且 d≠0,解得 d=2, ∴an=2n, --------- 6 分



=

=



--------9 分

∴Sn=(1﹣ )+( =1﹣ =

)+(

)+…+(



. ---------- 12 分 =( cosωx,1) , =(2sin(ωx+ ) ,﹣1)=( (sinωx+cosωx) ,

21. 解: (1)∵向量 ﹣1)

∴函数 f(x)= ? =2cosωx(sinωx+cosωx)﹣1=2sinωxcosωx+2cos ωx﹣1 =sin2ωx+cos2ωx= ∵f(x)图象的一条对称轴为 x = ∴2ω× + = +kπ, (k∈Z) . sin(2ωx+ . ) ,--------2 分

2

又由 ≤ω≤ , ∴ω=1, ∴f(x)= ∴f( π)= (2)∵f( ∴sinα= , ∵ ∴cosα= ,cosβ= sin(2x+ ) ,--------4 分 )=﹣ ﹣ cos )= =﹣1, ------6 分
2 2 , 3

sin(2× π+ )=

,f(

sinβ= ,------8 分 , ,-------10 分 .------12 分

∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

22. 解:由题意得, ∵30≤v1≤100,4≤v2≤20



∴ 由题设中的限制条件得 9≤x+y≤14

于是得约束条件

目标函数 p=100+3(5﹣x)+2(8﹣y)=131﹣3x﹣2y--------(6 分) 做出可行域(如图) , 当 平行移动到过(10,4)点时纵截距最大,此时 p 最小.

所以当 x=10,y=4,即 v1=30,v2=12.5 时,pmin=93 元 -------- (12 分) (没有图扣 2 分)


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