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《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习5-6章课件5-3平面向量的数量积


走向高考· 数学
人教A版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第五章

平面向 量

第五章

平面向量

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第五章
第三节 平 向 的 量 面 量 数 积

第五章

平面向量

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第五章

第三节

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基础梳理导学

第五章

第三节

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重点难点

引领方向

重点:平 向 的 量 及 几 意 , 量 的 质 面量数积其何义数积性 及运算律,数量积的坐标表示. 难点:数量积的性质和平面向量的长度、夹角问题.

第五章

第三节

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夯基 实础

稳根 固基

一向数积定 、量量的义 1. 量 a 与 b 的 角 向 夹 已两非向 知个零量 → → a、b,过 O 点 OA=a,OB=b,则 θ 作 a与b的 角 夹. a⊥b;

=∠A B (0≤θ≤π)叫 向 O 做量

π 当 θ=2时 a 与 b 垂 , 作 , 直记 当 θ=0 时 a 与 b 同 ; , 向 当 θ=π 时 a 与 b 反 . , 向

第五章

第三节

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2. 量 a 与 b 的 量 向 数积 已两非向 知个零量 a 和 b, 们 夹 为 它的角 θ, 们 数 我把量

|a||b|o θ 叫 a 与 b 的 量 cs 做 数 积 (或 积 ), 作 a , 规 零 内 记 b 并定 ·

向与一量数积 量任向的量为 3. 量 投 向的影

0.

→ → 如 , OA=a,OB=b, B 作 BB1 垂 于 线 图 过 直直
c · o 足 B1, OB1= |b|s 为 则 θ

OA,垂

叫向 做量

b在a方 上 投 . 向的影

第五章

第三节

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当θ为 角 , 图 锐时如

(甲), 是 值 它正;

当θ为 角 , 图 钝时如 当θ为 角 , 图 直时如

(乙), 是 值 它负; (丙), 是 0; 它

当 θ 为 0° , 是 |b|; 时它 当 θ 为 180° , 是 时它- |b|.

第五章

第三节

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4. 面 量 量 的 何 义 平向数积几意 数 积 a 等 a 的 度 |a|与 b 在 a 方 上 投 量 b · 于 长 向的影 的积 乘. |b|o θ cs

第五章

第三节

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二平向数积性 、面量量的质 1.a⊥b?a =0. b · 2. a 与 b 同 时 当 向 , a = |a||b| ; b · 当a与b反 时 向 , a =-|a||b| ; b · 特地 别 , a =|a|2 或|a|= a . a · a · a b · 3.cs θ=|a||b|. o 4.|a |≤|a| b|. b · |·

第五章

第三节

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三向数积运律 、量量的算 1.a =b (交 律 ). b · a · 换 2.(λa)· b=λ(a )=a· b · (λb). 3.(a+b)· c +b . c=a · c ·

第五章

第三节

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四平向数积坐表 、面量量的标示 1. a=(x1,y1),b=(x2,y2), a = x1x2+y1y2 . 若 则 b · 2. a=(x,y), |a|= 设 则 3. 向 若量 y2), |a|= 则
x2+y2 .

a的 点 标 终 坐 分 为 起坐和点标别
?x1-x2?2+?y1-y2?2 ,

(x1,y1),(x2,

4. a=(x1,y1),b=(x2,y2), a、b 都 非 向 , 设 且 是零量 则 a⊥b?a =0? x1x2+y1y2=0 b · .

第五章

第三节

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疑误 难区

点警 拨示 b=0, 为 因当 a⊥b 时 总 ,

1.若 a· b=0,a≠0 不 定 一有 有 a· b=0. 2. 于 数 对实 但于量 对向

a、b、c, b≠0 时 若 ab=bc, a=c. 当 , 则 a=c.

a,b,c,当 b≠0 时 由 a· , b=b· 却 不 c 推出

因 由 a· 为 b=b· 得 b· c (a-c)=0, 要 a-c 与 b 垂 即 . 只 直可

第五章

第三节

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3. 量 不 足 合 , 对 向 数 积 满 结 律 即 于 量 =a· c)一 不 立 这 因 (b· 般 成 , 是 为 与 c 共 , a· c)与 a 共 , 线 (b· 线而

a、b、c,(a· c b)· (a· c b)·

a· 与 b· 都 实 . b c 是数 c与a却 必 线 未共.

4. <a,b>=θ, a 在 b 方 上 投 为 若 则 向的影 在a方 上 投 为 向的影 |b|s c · o θ, 注 区 . 应意分

|a|s c · o

θ,b

第五章

第三节

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→ → 力OF在OS方 上 分 向的力

→ OS → → → OF′=|OFcs θ· , 与 OS共 |o → 是 |OS|

线向,要投 的量不和影

→ |O F cs θ 相 淆 |o 混. ∵当 b=a≠0 时 , a与b的 角 钝 . 夹为角

5.a· 和 a 与 b 夹 为 角 等 . b>0 角锐不价 夹 为 0,a· 角 b>0; 样 a· 不 价 同 b<0 等 于

第五章

第三节

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思想方法技巧

第五章

第三节

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1. 行 垂 问 常 转 为 个 量 平 与 直 平与直题常化两向的行垂. 2. 向 模 , 要 用 式 求量时主利公 为量数积运. 向的量的算 3. 用 量 直 平 的 件 造 程 函 是 参 利向垂或行条构方或数求数 或值题用方. 最问常的法 |a|2=a2, 模 运 转 将的算化

第五章

第三节

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考点典例讲练

第五章

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向量的数量积

[例 1]

(02 21·

广西百所重点中学阶段性检测)已知△ → → OB= 2,OC=OA )

OB 是以 OB 为 边 等 直 三 形 A 斜的腰角角,

→ → → 2 +(1-λ)OB,若 λ >1,则OC· 的取值范围是( AB A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-∞,0)∪( 5,+∞) D.(-∞,- 5)∪(0,+∞)

第五章

第三节

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分 : ∵ OB 析 △ A

是边 斜

OB= 2的 腰 角 角 , 等直三形



OA=AB=1, 可 立 角 标 , 向 的 标 算 解 故建直坐系用量坐运求.

第五章

第三节

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解: 如,立角标, 析 图建直坐系由 B(1 1) , ,

OB= 2, A(0 得 1) ,



第五章

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→ ∴OA=(0 1) ,

→ ,OB=(1 1) ,

→ ,∴OC=(0 1) ,

+(1-λ)1 (,) 1

=(2

→ → -λ,1-λ),∴OC· =(2-λ,1-λ),) AB (1 0 ·

=1-λ,又 λ2>1,

→ → 得 λ>1 或 λ<-1,∴1-λ∈(-∞,0)∪(2,+∞),故OC· 的 AB 取范是 值围 (-∞,0)∪(2, ∞). +

答案:A

第五章

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点 : () 注 到 △AO 评 1 意 B

是边 斜

OB= 2的 腰 角 角 等直三

→ → → 形可 , 设 OA=a, =b, 有 OB=a+b,|a|=|b|=1,a· AB 则 b=0, → → 于 OC· 可 λ 表 , 建 标 也 获 . 是 AB 用 示不坐系可解 () 以 A 为 点 2 原 , AO,AB 为 标 建 会 简 . 坐轴系更便

第五章

第三节

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(文)01 ( 1· 2

山烟一 东台模

)在 腰 角 角 等直三形

ABC 中 ,D 是

斜 BC 的 点 如 边 中,果 ________.

→ → → AB 的 为 2, (AB+AC)· 的 为 长 则 AD 值

第五章

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解: 由意知 析 题可,

1 2 2 AD= BC= = 2, 2 2

→ → → → → →2 (AB+AC)· =2AD· =2|AD| =4. AD AD

答案:4

第五章

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(理)在 形 AC 菱 BD A.2 C.2 或 2 -

→ → 中 若 AC=2, CA· 等 ( , 则 AB 于 B. 2 - D. 菱 的 长 关 与形边有

)

第五章

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→ → → 解 : AB+CA=CB, 菱 边 为 析 设形长 →2 →2 → → 2 +|CA| =|CB| 得 a +2AB· +4=a2. CA → → ∴AB· = 2. CA -

→2 → → a,由|AB| +2AB· CA

答案:B

第五章

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向量的模

[例 2]

设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, ) D.1

→2 → → → → → BC =16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( A.8 B.4 C.2

第五章

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→ → → → 解析:由|AB +AC |=|AB -AC |两 平 得 边 方 → → →2 →2 → → → → 2AB· =AB +AC -2AB· , AB· =0, AC AC 即 AC

→2 →2 AB +AC +

→ → →2 → → 所 AB⊥AC, 由 BC =16 得|BC|=4, 以 |AM|=2. 以 又 所

答案:C

第五章

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(文)设 F 为 物 抛线

y2=4x 的 点 焦 , A、B、C 为 物 上 抛线 )

→ → → → → → 三. 点 若 FA+FB+FC=0, |FA|+|FB|+|FC|等 ( 则 于 A.9 B.6 C.4 D.3

第五章

第三节

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解 : 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F(0 析 1 ,)

→ , 由 FA 则

→ → +FB+FC=0 得 x1-1+x2-1+x3-1=0, x1+x2+x3=3. 即 → → → 而|FA|+|FB|+|FC|可 化 转为 A、 C 三 到 线 距 , B、 点 准 的 离即 → |FA

→ → |+|FB|+|FC|=d1+d2+d3=x1+1+x2+1+x3+1=3+3=6.

答案:B

第五章

第三节

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(理)已 在 面 角 标 中 知平直坐系,

A(-2,0)、B(3 1) ,

,O 为 原

→ → → 点 且 OM=α· +β· (α+β=1),若 N(0 , OA OB 1) , 值 ( 是 ) 1 B. 2 2 3 D.2

→ ,则|MN|的 小 最

3 A. 2 2 9 C.2

第五章

第三节

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→ → → 解 : 由OM=α· +β· (α+β=1)知 M,A,B 三 共 析 OA OB 点 线可求 ,以得 值是 就点 AB 所 直 方 为 在线程 → y=x+2, 以 |MN|的 小 所 最

3 3 2 N 到 线 AB 的 离 d= = 直 距 . 2 2

答案:A

第五章

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点 : 将 件 α+β=1 转 为 M、A、B 共 , 将 评 条 化 线及 转为 化点 N 到 线 AB 的 离 解 的 键 直 距是题关 .

→ |MN|

第五章

第三节

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向量的夹角

[例 3] +b)=61.

(01 21·

太原模拟)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b) a ( 2 ·

() 求 a 与 b 的夹角; 1 () 求|a+b|; 2 → → () 若AB=a,AC=b,求△ABC 的面积. 3

第五章

第三节

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解 : () ∵(2a-3b) a+b)=61, 析 1 ( 2 · ∴4a2-4a· b-3b2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴a· - 6. b= a· b 1 ∴cs θ=|a||b|= 2.∴θ=10 o - 2° . () a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· 2 | b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|= 13.

第五章

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() 由() 知∠BAC=θ=10 , 3 1 2° → → |AB|=|a|=4,|AC|=|b|=3, 1→ → ∴S△ABC=2|AC||ABs ∠BAC n i | 1 = ×3×4×s10 n2° i 2 =3 3.

第五章

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点 : () 求 非 向 夹 的 据 评 1 两零量角依 x1x2+y1y2 面量角取范是 2 2 2 2.平 向 夹 的 值 围 x1+y1· x2+y2 () 求 度 题 向 的 求 . 2 长问用量模解

a· b cs 〈a,b〉= o = |a||b| [° ,10 . 0 8° ] |a|2=a· 若 A(x1,y1), a,

→ B(x2,y2), |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. 则

第五章

第三节

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(文)01 ( 1· 2

安 “江 十 徽 南 校 ”联 )设 量 考 向 )

a,b 均 单 为位

向, 量 且 |a+b|=1, a 与 b 夹 为 ( 则 角 π A.3 2π C. 3 π B.2 3π D. 4

第五章

第三节

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1 解 : ∵(a+b) =1,∴a· - , 析 b= 2
2

1 ∴cs 〈a,b〉 - 2, o = 2π ∵〈a,b〉∈(0,π),∴〈a,b〉 3 , 选 C. = 故

答案:C

第五章

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(理)01 ( 1· 2

北海期 京淀中

)已 非 向 知零量

a,b,c 满 a+b 足 a与c

+c=0, 量 a,b 的 角 向 夹为 的 角 ( 夹 为 A.6° 0 C.10 2° ) B.9° 0

120° ,且|b|=2|a|, 向 则量

D.150°

第五章

第三节

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解 :由 知 析 已得

a· |·b|o2° b=|a| cs 0 1

= |a|2.又 c=-(a+b), -

所 a· - a· 以 c= (a+b)=-|a|2-a· b=0, 选 B. 故

答案:B

第五章

第三节

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向量的投影

[例 4]

设 a· b=4,若 a 在 b 方向上的射影的数量为 2, 1, a 与 b 的 角 于 则 夹等 ( )

且b在a方 上 投 的 量 向的影数为 π A.6 2π C. 3 π B.3 π 2π D. 或 3 3

第五章

第三节

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解: 由件, 析 条知 ∴|a|=4,|b|=2,

a· b a· b =2, =1,a· b=4, |b| |a|

a· b 4 1 ∴cs 〈a,b〉 o = = = , |a| b| 4×2 2 |· π ∴〈a,b〉 3. =

答案:B

第五章

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(02 21·

山联模 西合拟

)△ABC 的 接 的 心 外圆圆为

O, 径 半

→ → → → → → → 为 2,OA+AB+AC=0 且|OA|=|AB|, 向 则 量 CA在CB方 上 向 的影 投为 ( A. 3 C. - 3 ) B.3 D. 3 -

第五章

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→ → → → → 解 : ∵OA+AB+AC=0,∴OB=CA,∴四 形 OA 析 边 BC 为行边, 平四形又 → → → |OA|=|OB|=|AB|=2, 2o0 cs ° 3 = 3.

→ → ∴ A B =30° ∴CA在CB方 上 投 为 ∠ C , 向的影
答案:A

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向量垂直的充要条件

[例 5] -1), 果 量 如向 ( ) 23 A. 2 C.2

(01 21·

皖八联 南校考

)已知向量 a=(4 3) ,

,b=(2, λ 的值为

a+λb 与向量-b 互 垂 , 实 相 直则 数

3 B. 23 2 D.-5

第五章

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解 : a+λb=(4 析 3) , 2,1),

+λ(2, -1)=(3+2λ, 4-λ), -b=(-

∵(a+λb)⊥(-b),∴-2 +2λ)+4-λ=0, ( 3 2 ∴λ= 5, 选 D. - 故

答案:D

第五章

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(文)01 ( 1· 2

江十素测 南校质试

)已 向 知量

a=( x,cs x), s n i o b

=(1, 2), a⊥b, a2 x=________. - 且 则 tn

第五章

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解 : 由 a⊥b 得 s x-2o x=0, a x=2, 析 n i cs 即 tn 2 x a tn 4 4 则 a2 x= tn = = 3. - 1-tn 2x 1-4 a

4 答案:- 3

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(理)(2012· 北 定 模 河保一 ⊥a, 向 则量 A.0 ° C.10 2°

)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且 c )

a与b的 角 夹为 ( B.6° 0 D.150°

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解 : ∵c⊥a,∴c· 析 a=|a|2+a· b=1+a· b=0, ∴a· - 1, |a| b|o 〈a,b〉 - 1, b= 即 |· cs = 1 ∴cs 〈a,b〉 - , o = 2 ∵〈a,b〉∈[° ,10 ,∴〈a,b〉 10 0 8° ] = 2° .

答案:C

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课堂巩固训练

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一、选择题 → → 1.(文)在△ABC 中,“AB· <0”是“△ABC 为钝角三 AC 角形”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

[答案] A

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[解 ] 析 角,当 形而

→ → 当AB· <0 时 A 为 角 △ABC 一 是 角 AC , 钝, 定钝三 △ABC 是 角 角 时 不 定 钝三形,一有 → → AB· <. 因 AC 0 此 ”的 分 必 条 充 不 要

→ → “AB · <0”是“△ABC 为 角 角 AC 钝 三 形 件故 .选 A.

第五章

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(理)△ABC 的 个 角 三内 =0, △ABC 一 是 ( 则 定 A. 腰 角 角 等直三形 C. 边 角 等三形

A、 C 成 差 列 B、 等 数 , ) B. 角 角 直三形 D. 角 角 钝三形

→ → → (AB+AC)· BC

[答案] C

第五章

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[解析]

→ → → 因为(AB+AC)· =0, BC

→ → → → 所以(AB+AC( AC-AB)=0, ) · →2 →2 → → 即AC -AB =0,|AC|=|AB|, 又 2B=A+C,B=60° ,因此△ABC 是等边三角形,故 选 C.

第五章

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2.(01 21·

郑二 州 测 )已 向 知量 (

π a与b的 角 夹 为 ,|a|= 2, 3 )

则a在b方 上 射 的 量 向的影数为 A. 3 2 C. 2 B. 2 3 D. 2

[答案] C

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[解 ] 析

∵a 在 b 方 上 射 为 向的影

π |a|o 〈a,b〉= 2cs cs o 3

2 = 2 , 选 C. 故

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3.(01 21·

浙江金华十校联考)已知 a,b 满足 a· b=0,|a| )

=1,|b|=2,则|2a+b|等于( A.0 C.4 B.2 2 D.8

[答案] B

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[解 ] 析

|2a+b|2=4a2+4a· 2=4×1+0+22=8, b+b

所 |2a+b|=2 2, 选 B. 以 故

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第五章

第三节


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