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2016高考数学二轮复习 专题八 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想课件 理


第1讲 函数与方程思想、数形结合思想

高考定位

函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学

思想,高考对函数与方程思想的考查,一般是通过函数与导

数试题,三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查,
重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题,通过方程 思想求解一些待定系数等,对数形结合思想的考查,一般体 现在填空题中.

1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的 数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函 数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问

题获得解决的思想方法.
(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立 方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运 用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程的思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就
转化为不等式 f(x)> 0,借助于函数的图象和性质可解决有关问 题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2) 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的 观点去处理数列问题十分重要.

(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决,
这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

3.数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面,其应用大致可以分为两种情形: (1)借助形的生动和

直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比
如应用函数的图象来直观地说明函数的性质; (2)借助于数的精 确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形 作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻

底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数
学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;

第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,

做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围 .数学中的知识, 有的本身就可以看作是数形的结合.

热点一 函数与方程思想的应用 [微题型1] 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题

【例 1 - 1 】 设函数 f(x) = cos2x + sin x + a - 1 ,已知不等式 17 1≤f(x)≤ 4 对一切 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 解 f(x)=cos2x+sin x+a-1
=1-sin2x+sin x+a-1
? =-?sin ?

1?2 1 x-2? +a+ . 4 ?

1 因为-1≤sin x≤1,所以当 sin x=2时, 1 函数有最大值 f(x)max=a+ , 4 当 sin x=-1 时,函数有最小值 f(x)min=a-2. 17 因为 1≤f(x)≤ 对一切 x∈R 恒成立, 4 17 所以 f(x)max≤ 且 f(x)min≥1, 4 1 17 ? ? a+ ≤ , 4 4 解得 3≤a≤4, 即? ? ?a-2≥1, 所以 a 的取值范围是[3,4].

探究提高

(1)在解决不等式问题时,一种最重要的思想方法就是

构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题;(2)函数f(x)> 0或f(x)<0恒成立,一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0;已知恒成 立求参数范围可先分离参数,然后利用函数值域求解.

[微题型2] 运用函数与方程思想解决数列问题
【例 1-2】 已知数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p· 3n(n∈N*,p 为 常数),a1,a2+6,a3 成等差数列. (1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; n2 4 (2)设数列{bn}满足 bn=a ,证明:bn≤9. n

(1)解

由 a1=3,an+1=an+p· 3n,

得 a2=3+3p,a3=a2+9p=3+12p. 因为 a1,a2+6,a3 成等差数列, 所以 a1+a3=2(a2+6), 即 3+3+12p=2(3+3p+6), 得 p=2,依题意知,an+1=an+2×3n. 当 n≥2 时,a2-a1=2×31, a3-a2=2×32,?,an-an-1=2×3n 1.


将以上式子相加得 an-a1=2(31+32+?+3n-1), 3×(1-3n-1) n 所以 an-a1=2× =3 -3, 1-3 所以 an=3n(n≥2).又 a1=3 符合上式,故 an=3n.

2 n (2)证明 因为 an=3n,所以 bn= n. 3

(n+1)2 n2 -2n2+2n+1 所以 bn+1-bn= -3n= (n∈N*), n+1 n+1 3 3 1+ 3 若-2n +2n+1<0,则 n> 2 ,
2

即当 n≥2 时,有 bn+1<bn, 1 4 4 又因为 b1=3,b2=9,故 bn≤9.

探究提高

数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型:

(1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或 不等式求解. (2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式
? ?an-1≤an,? ?an-1≥an, ? 组? 求解. ? ?an≥an+1,? ?an≤an+1

(3)数列中前 n 项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数的单 调性或求使 an≥0(an≤0)成立时最大的 n 值即可求解.

[微题型3] 运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题
【例 1-3】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两 个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、 F 两点. → → (1)若ED=6DF,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值.



x2 2 (1)依题意得椭圆的方程为 4 +y =1,直线 AB,EF 的方程分

别为 x+2y=2, y=kx(k>0).如图, 设 D(x0, kx0), E(x1, kx1), F(x2, kx2),其中 x1<x2,且 x1,x2 满足方程(1+4k2)x2=4,

2 故 x2=-x1= 2.① 1+4k → → 由ED=6DF知 x0-x1=6(x2-x0), 1 5 10 得 x0=7(6x2+x1)=7x2= 2; 7 1+4k

由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2, 2 得 x0 = . 1+2k 2 10 所以 = 2, 1+2k 7 1+4k 2 3 化简得 24k -25k+6=0,解得 k= 或 k= . 3 8
2

(2)根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别为 |x1+2kx1-2| 2(1+2k+ 1+4k2) h1= = , 2 5 5(1+4k ) |x2+2kx2-2| 2(1+2k- 1+4k2) h2= = . 2 5 5(1+4k )

又|AB|= 22+1= 5, 所以四边形 AEBF 的面积为 1 S=2AB(h1+h2) 4(1+2k) 2(1+2k) 1 =2· 5· = 2 5(1+4k ) 1+4k2 =2
2

1+4k2+4k ≤2 2, 1+4k2

1 当 4k =1(k>0), 即当 k=2时, 上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2. 即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2.

探究提高

解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合

问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变 化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变 量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

热点二 数形结合思想的应用 [微题型1] 运用数形结合思想解决函数、方程问题 【例2 -1 】 已知函数 f(x) =x2-2(a+ 2)x + a2 , g(x) =- x2 + 2(a - 2)x - a2 + 8 , 设 H1(x) = max{f(x) , g(x)} , H2(x) = min{f(x) , g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的

较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=
________.

解析

? ?f(x),f(x)≥g(x), H1(x)=max{f(x),g(x)}=? ? ?g(x),f(x)<g(x).

? ?f(x),f(x)≤g(x), H2(x)=min{f(x),g(x)}=? ? ?g(x),f(x)>g(x).

由 f(x)=g(x)?x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8, 解得 x1=a-2,x2=a+2. 而函数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2, g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8 的图象 的对称轴恰好分别为 x=a+2,x=a-2. 可见二者图象的交点正好在它们的顶点处,如图 1 所示,

因此 H1(x),H2(x)的图象分别如图 2,图 3 所示(图中实线部分)

可见,A=H1(x)min=f(a+2)=-4a-4,B=H2(x)max=g(a-2)=12
-4a.从而A-B=-16. 答案 -16

探究提高

(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角

等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的
代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟 悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方

程解的个数.
(2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型: ①研究函数的单调性与奇偶性:画出函数的图象,从图象的变化趋势看函数的

单调性,从图象的对称看函数的奇偶性.②研究函数的对称性:画出函数的图象,
可从图象的分布情况看图象的对称性.③比较函数值的大小:对于比较没有解析 式的函数值大小,可结合函数的性质,画出函数的草图,结合图象比较大小.

[微题型2] 运用数形结合思想解决不等式中的问题

【例 2-2】 若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b], 且 b-a=2,则 k=________.
解析 如图,分别作出直线 y=k(x+2)- 2与半圆 y= 9-x2. 由题意,知直线在半圆的上方,由 b-a=2,可知 b=3,a=1, 所以直线 y=k(x+2)- 2过点(1,2 2),则 k= 2.

答案

2

探究提高

不等式的解可转化为两个函数图象的一种相对位置关

系,故利用数形结合将问题转化为对两个函数图象位置关系的研 究,利用函数图象的几何特征,准确而又快速地求出参数的值或 不等式的解集.

[微题型3] 运用数形结合思想解决解析几何中的问题

【例2-3】 已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆
x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,则 四边形PACB面积的最小值为________.

解析 从运动的观点看问题,当动点 P 沿直线 3x+4y+8=0 向 左上方或右下方无穷远处运动时, 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC 1 1 =2PA· AC=2PA 越来越大,从而 S
四边形

PACB

也越来越大;当点 P

从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形 PACB 变小,显然,当 点 P 到达一个最特殊的位置,即 CP 垂直直线 l 时,S 四边形 PACB 应 有唯一的最小值,

|3×1+4×1+8| 此时 PC= =3, 2 2 3 +4 从而 PA= PC2-AC2=2 2. 1 所以(S 四边形 PACB)min=2×2×|PA|×|AC|=2 2. 答案 2 2

探究提高

在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合

图形上点的条件进行转换,快速求得最值.

1.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的

关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函
数思想. 2.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等式、

解方程以及讨论参数的取值范围等问题,二是在问题的研究中, 可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.

3.许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参变量中
必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为主元,构造 出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困扰,解方程 的实质就是分离参变量.

4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、 向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径, 当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过图形分析 这些数量关系,达到解题的目的. 5.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图 形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的.

6.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要
精确图象.


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