当前位置:首页 >> 数学 >>

选修4-5不等式选讲 几何证明选讲 配套资料教师用书


选修 4-5 不等式选讲 第一节 不等式的基本性质与含绝对值不等式

(见学生用书第 249 页)

考纲传真 内容 要求 A 不等式的基本性质 含有绝对值的 不等式的求解 B C √ √

1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a>b?a-b>0,a<b?a-b<0,a=b?a-b=0. 2.不等式的性质 (1)a>b?b<a;a<b?b>a. (2)a>b,b>c?a>c;a<b,b<c?a<c. (3)a>b?a+c>b+c. (4)a>b,c>d?a+c>b+d. (5)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc.

(6)a>b>0,c>d>0?ac>bd. (7)a>b>0?an>bn(n?N,且 n>1). n n (8)a>b>0? a> b(n?N,且 n>1). 3.含有绝对值不等式的性质 (1)|a|+|b|≥|a+b|,(当且仅当 ab≥0 时,等号成立). (2)|a|-|b|≤|a+b|. (3)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等 式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} {x|x>a 或 x< -a} a=0 ? {x? R|x≠0} a<0 ? R

(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:

(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)若 a>b,c>0,则 ac>bc;若 a>b,c<0,则 ac<bc.( )

(2)对任意实数 a,b 都有不等式|a|-|b|≤|a+b|.(

)

(3)|x+a|+|x+b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a,b 的距 离之和.( ) )

(4)|f(x)|>a?f(x)>a 或 f(x)<-a.(

[解析] (1)是不等式的基本性质,所以正确;(2)是含有绝对值的 不等式的性质,所以正确;|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的 点 x 到点 a,b 的距离之和,故(3)错;(4)中当 a>0 时前后才等价,故 错. [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×

2 . ( 教材习题改编 ) 设 ab>0 ,下面四个不等式中,正确的是 ________(填序号). ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|; ④|a+b|>|a|-|b|. [解析] ∵ab>0,即 a,b 同号,则|a+b|=|a|+|b|, ∴①④正确,②③错误. [答案] ①④ 3. 已知|x-a|<b(a、 b?R)的解集为{x|2<x<4}, 则 a-b=________. [解析] 由|x-a|<b,得 a-b<x<a+b, 又|x-a|<b(a,b∈R)的解集为{x|2<x<4}, 所以 a-b=2. [答案] 2 4.(2014· 广东高考)不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集为________. [解析] 当 x<-2 时,原不等式即 1-x-x-2≥5,得 x≤-3, 此时得到 x≤-3;当-2≤x≤1 时,原不等式即 1-x+x+2≥5,此 时无解; 当 x>1 时, 原不等式即 x-1+x+2≥5, x≥2, 此时得到 x≥2,

于是原不等式解集为{x|x≤-3 或 x≥2}. [答案] {x|x≤-3 或 x≥2} 5.(2013· 陕西高考)设 a,b?R,|a-b|>2,则关于实数 x 的不等 式|x-a|+|x+b|>2 的解集是________. [ 解析 ] b|>2, ∴x∈(-∞,+∞). [ ∞) 答 案 ] ( - ∞ , + ∵ |x - a| + |x - b| = |a - x| + |x - b|≥|a - x + x - b| = |a -

(见学生用书第 250 页)

考向 1 含绝对值不等式的解法

【典例 1】

设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|.

(1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果?x?R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. [解] (1)若 a=-1 时,f(x)≥3,即|x-1|+|x+1|≥3, 3 ①当 x≤-1 时,不等式为 1-x+[-(x+1)]≥3,得 x≤-2; ②当-1<x<1 时,不等式为 1-x+x+1≥3,此时无解; 3 ③当 x>1 时,不等式为 x-1+x+1≥3,得 x≥2;
? ? 3 3? 所以不等式解集为?x?x≤-2 或x≥2?. ? ? ?

(2)①若 a=1,f(x)=2|x-1|不满足题设;

-2x+a+1,x≤a, ? ? ②若 a<1,f(x)=?1-a,a<x<1, ? ?2x-a-1,x≥1, -2x+a+1,x≤1, ? ? ③若 a>1,f(x)=?1-a,1<x<a, ? ?2x-a-1,x≥a,

f(x)最小值为 1-a;

f(x)最小值为 a-1.

要满足题设的充要条件是|a-1|≥2,即 a 的取值范围为(-∞, -1]∪[3,+∞).,【规律方法】 1.求解本题要注意两点:(1)要求的不等式的解集是各类情形的 并集,零点分段法操作程序是:找零点,分区间,分段讨论. (2)对 于第(2)要利用分类讨论的思想. 2.解决含绝对值问题关键是要去掉绝对值,即进行等价转换的 化归思想,去掉绝对值有两种方法:一是利用绝对值的定义,二是利 用几何意义. 【变式训练 1】 已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. -2x+5,x≤2, ? ? (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ? ?2x-5,x≥3.

[解 ]

当 x≤2 时,

由 f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时, f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时, 由 f(x)≥3, 得 2x-5≥3, 解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时, |x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2

-a≤x≤2-a. 由条件,得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 选修 4-5 不等式选讲考向 2 绝对值不等式的放缩功能 1? ? (2014· 课标全国卷Ⅱ ) 设函数 f(x) = ?x+a? + |x -
? ?

【典例 2 】 a|(a>0).

(1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 1? 1 ? ? ? [解] (1)证明:由 a>0,有 f(x)=?x+a?+|x-a|≥?x+a-?x-a??
? ? ? ?

≥2. 所以 f(x)≥2. 1? ? (2)f(3)=?3+a?+|3-a|.
? ?

5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+a,由 f(3)<5 得 3<a< 2 . 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+a,由 f(3)<5 得 2 <a≤3. 综上,a 的取值范围是?
? ?1+ 5

2

5+ 21? , 2 ?.,【规律方法】 ?

1.(1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩,结合基本不等式即 得证.(2)明确不等式后解关于 a 的绝对值不等式,再分类讨论. 2.含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利用 重要不等式|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+?an|≤|a1|+|a2|+?+ |an|进行放缩.

1 1 【变式训练 2】 已知实数 x,y 满足:|x+y|<3,|2x-y|<6,求 5 证:|y|<18. [证明] ∵3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 由题设知|x+y|<3,|2x-y|<6, 2 1 5 从而 3|y|<3+6=6, 5 ∴|y|<18.

考向 3 含绝对值不等式的应用(高频考点)

命题视角 含绝对值不等式的应用是历年高考重点, 主要命题角 度:(1)利用绝对值三角不等式求最值;(2)利用绝对值三角不等式求 参数范围;(3)借助函数考查绝对值不等式. 【典例 3】 (1)(2014· 江西高考)对任意 x,y?R,|x-1|+|x|+|y

-1|+|y+1|的最小值为________. 1 (2)(2014· 重庆高考)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+2a+2 对任意 实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 【思路点拨】 (1)利用绝对值不等式性质|a-b|≤|a|+|b|求解.

(2)利用绝对值不等式性质求|2x-1|+|x+2|的最小值进而可求得 a 的取值范围. [解析 ] =3, 即|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|最小值为 3. 1? 1? ? ?? ? (2)|2x - 1| + |x + 2| = ?x-2? + ??x-2?+|x+2|? ≥0 +
? ? ?? ? ?

(1)|x- 1|+ |x|+ |y- 1|+ |y+ 1|≥|x- 1- x|+ |y- 1- y- 1|

1? ?? ? 5 1 ??x- ?-?x+2??= ,当且仅当 x= 时取等号,因此函数 y=|2x-1| 2? 2 ?? ? 2 5 1 5 +|x+2|的最小值是2.所以 a2+2a+2≤2,即 2a2+a-1≤0,解得- 1? ? 1 1≤a≤2,即实数 a 的取值范围是?-1,2?.
? ?

[答案] (1)3

1? ? (2)?-1,2?,【通关锦囊】
? ?

1.正确合理地利用绝对值不等式性质 |a± b|≤|a|+|b|,消去变量 求最值,避免分类讨论造成的繁琐计算.

2.利用绝对值三角不等式求最值时,要指明取到等号的条件. 【变式训练 3】 (1)(2014· 安徽高考)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a| 的最小值为 3,则实数 a 的值为________. (2)(2013· 重庆高考)若关于实 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解, 则 实数 a 的取值范围是________. a [解析] (1)①当-1≤-2,即 a≤2 时, -3x-a-1,x≤-1, ? ?-x-a+1,-1<x<-a, 2 f(x)=? a ? 3 x + a + 1 , x ≥ - ? 2. a a 易知函数 f(x)在 x=-2处取最小值,即 1-2=3. 所以 a=-4. a ②当-1>-2,即 a>2 时, -3x-a-1,x≤-2, ? ? a f(x)=? x+a-1,-2<x<-1, ? ?3x+a+1,x≥-1. a a 易知函数 f(x)在 x=-2处取最小值,即2-1=3,故 a=8.综上 a =-4 或 8. (2)|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8, 所以 a 的取值范围为(-∞,8]. [答案] (1)-4 或 8 (2)(-∞,8] 熟记 1 种方法 零点分段讨论法是求解绝对值不等式的基本方 a

法.其操作程序是:找零点、分区间、分段讨论. 用好 3 个转化 1.|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x). 2.|f(x)| <g(x)?-g(x)<f(x)<

g(x). 3.对于不等式 f(x)<a 有解、无解,可转化为最值问题, 即(1)f(x)<a 有解?f(x)min<a;(2)f(x)<a 无解?f(x)min≥a. 具备 3 种思想 1.数形结合思想. 2.等价转化思想. 3.分类 讨论思想.

(见学生用书第 251 页)

思想方法之 22

分类讨论思想在含绝对值不等式中的应用

(2013· 辽宁高考)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2) 已 知 关 于 x 的 不 等 式 |f(2x + a) - 2f(x)|≤2 的 解 集 为 {x|1≤x≤2},求 a 的值. -2x+6,x≤2, ? ? (1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|=?2,2<x<4, ? ?2x-6,x≥4.

[解 ]

当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|,得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|,得 2x-6≥4,解得 x≥5. 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.

(2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x), -2a,x≤0, ? ? 则 h(x)=?4x-2a,0<x<a, ? ?2a,x≥a. a-1 a+1 由|h(x)|≤2,解得 2 ≤x≤ 2 . 又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}, a-1 a+1 所以 2 =1,且 2 =2,于是 a=3. 【智慧心语】 易错提示:(1)思维受阻,唯以寻找逆向求参数的绝对值不等式 问题的求解方法. (2)解绝对值不等式,分区间讨论去绝对值符号时分类不完全, 导致解题不完整. 防范措施:(1)逆向问题可正向求解,以本题为例,求出不等式 的解集后,与已知不等式的解集作比较,便可建立关于 a 的方程. (2)求解该类问题的关键是转化为不含绝对值符号的不等式,主 要方法有: 平方法、 零点分段法, 利用绝对值的几何意义或数形结合. 【类题通关】 +a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;
? a 1? (2)设 a>-1,且当 x??-2,2?时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? ?

(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x

[解 ]

(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则

? ? 1 y=? -x-2,2≤x≤1, ? ?3x-6,x>1.
其图象如图所示.从图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0.所以 原不等式的解集是{x|0<x<2}.
? a 1? (2)当 x∈?-2,2?时,f(x)=1+a. ? ?

1 -5x,x<2,

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.
? a 1? 所以 x≥a-2 对 x∈?-2,2?都成立. ? ?

a 4 故-2≥a-2,即 a≤3. 4? ? 从而 a 的取值范围是?-1,3?.
? ?

课后限时自测 (见学生用书第 375 页)

[A 级

基础达标练]

一、填空题 1.不等式|2x-1|<3 的解集为________. [解析] 不等式|2x-1|<3 可化为-3<2x-1<3,解得-1<x<2. [答案] {x|-1<x<2}

2.若不等式|x+1|+|x-2|≥a 对任意 x?R 恒成立,则 a 的取值 范围是________. [解析] ∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, ∴a≤3. [答案] (-∞,3] 3.不等式 x+|2x-1|<3 的解集为________.
? ?2x-1≥0, [解析] 原不等式可化为? ?x+?2x-1?<3 ? ?2x-1<0, ? 或? ? ?x-?2x-1?<3,

4? ? ? 1 4 1 解得2≤x<3或-2<x<2,所以原不等式解集是?x?-2<x<3? . ? ? ? 4? ? ? [答案] ?x?-2<x<3?
? ? ?

4. (2013· 重庆高考)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解, 则实数 a 的取值范围是________. [解析] ∵|x-5|+|x+3|=|5-x|+|x+3|≥|5-x+x+3|=8, ∴(|x-5|+|x+3|)min=8, 要使|x-5|+|x+3|<a 无解,只需 a≤8. [答案] (-∞,8] 5.(2014· 苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)已知函数 f(x) =|x+1|+|x-2|-|a2-2a|,若函数 f(x)的图象恒在 x 轴上方,则实数 a 的取值范围为________. [解析] 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以 f(x)的最小 值为 3-|a2-2a|. 因为函数 f(x)的图象恒在 x 轴上方,所以 f(x)min>0.

因此有|a2-2a|<3,解得 a∈(-1,3). [答案] (-1,3)
? a+b ? ?<1,则 b 的范围是________. 6.已知|a|<1,若? ?1+ab?

[ 解析 ]

? a+b ? ?a+b?2 2 2 2 2 ? ? <1 ? 2 <1 ? (a + b) <(1 + ab) ? a + b - 1 ?1+ab? ?1+ab?

-a2b2<0?(a2-1)(1-b2)<0, ∵|a|<1. ∴a2-1<0,∴1-b2>0,即-1<b<1. [答案] (-1,1) 4 7.(2014· 湖北八校联考)若不等式|x+1|+|x-3|≥a+a对任意的 实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. [解析] 当 a<0 时,显然成立;a>0 时,∵|x+1|+|x-3|的最小 值为 4, 4 ∴a+a≤4,∴a=2,综上可知 a∈(-∞,0)∪{2}. [答案] (-∞,0)∪{2} 8.已知不等式|x-2|>1 的解集与不等式 x2+ax+b>0 的解集相 等,则 a+b 的值为________. [解析] 由|x-2|>1 得 x-2<-1 或 x-2>1,即 x<1 或 x>3. 依题意得知,不等式 x2+ax+b>0 的解集是(-∞,1)∪(3,+ ∞),
? ?1×3=b, 于是有? 即 a=-4,b=3,a+b=-1. ?1+3=-a, ?

[答案] -1 二、解答题

9.(2014· 江苏南通二模)已知:a≥2,x?R.求证:|x-1+a|+|x -a|≥3. [证明] ∵|m|+|n|≥|m-n|, ∴|x-1+a|+|x-a|≥|x-1+a-(x-a)|=|2a-1|, 又 a≥2,故|2a-1|≥3, ∴|x-1+a|+|x-a|≥3. 10.(2014· 辽宁沈阳质检)设 f(x)=2|x|-|x+3|. (1)求不等式 f(x)≤7 的解集 S; (2)若关于 x 的不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解, 求参数 t 的取值范围. -x+3,x<-3, ? ? (1)f(x)=?-3x-3,-3≤x≤0, ? ?x-3,x>0.

[解 ]

当 x<-3 时,由 f(x)≤7 得 x≥-4,则-4≤x<-3; 10 当-3≤x≤0 时,由 f(x)≤7 得 x≥- 3 ,则-3≤x≤0; 当 x>0 时,由 f(x)≤7 得 x≤10,则 0<x≤10. 综上,不等式的解集 S=[-4,10]. (2)由 f(x)的表达式及一次函数的单调性可知,f(x)在 x=0 时取得 最小值-3,则不等式 f(x)+|2t-3|≤0,有解只需-3+|2t-3|≤0,解 得 0≤t≤3,所以 t 的取值范围是[0,3]. [B 级 能力提升练]

一、填空题 1.(2013· 山东高考)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,则使得|x+ 1|-|x-2|≥1 成立的概率为________. [解析 ] 当 x<-1 时,不等式可化为- x-1+x-2≥1,即-

3≥1,此式不成立. 当-1≤x≤2 时,不等式可化为 x+1-(2-x)≥1, ∴1≤x≤2. 当 x>2 时,不等式可化为 x+1-x+2≥1, 此式恒成立,∴此时 x>2. 综上:不等式|x+1|-|x-2|≥1 的解集为[1,+∞), ∴不等式|x+1|-|x-2|≥1,在区间[-3,3]上的解集为[1,3],其长 度为 2. 又 x∈[-3,3],其长度为 6, 2 1 由几何概型知识可得 P=6=3. 1 [答案] 3 2.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大 值为________. [ 解析 ] |x - 2y + 1| = |(x - 1) - 2(y - 2) - 2|≤|x - 1| + 2|y - 2| +

2≤1+2+2=5,当且仅当 x=0,y=3 时,|x-2y+1|取最大值 5. [答案] 5 二、解答题 1 1 3.(2014· 南京二模)已知 x,y?R,且|x+y|≤6,|x-y|≤4,求证: |x+5y|≤1. [解] ∵|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|, ∴由绝对值不等式性质,得 |x+ 5y|= |3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+ y)|+ |2(x-y)|=3|x+y|+2|x- 1 1 y|≤3×6+2×4=1.

即|x+5y|≤1.第二节

不等式的证明与利用不等式求最大(小)值

(见学生用书第 252 页)

考纲传真 内容 要求 A 不等式的证明(比较 法、综合法、分析法) 算术—几何平均不等式与柯西不等 式 利用不等式求最大(小)值 运用数学归纳法证明不等式 √ √ √ B C √

1.证明不等式的基本方法 (1)比较法 名称 作差 比较法 作商 a>b ?a-b>0;a<b ?a -b<0;a=b ?a-b=0 作差→变形→判断符号→ 得出结论 理论依据 证明步骤

比较法 a b<0,b>1? a<b

a b>0,b>1?a>b; 作商→变形→判断商与 1 的关系→得出结论

(2)综合法和分析法 ①综合法的结构形式: P→P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn? Q →Q
或等价变换 推导过程





已证过的不等式 和不等式的性质 的结论 ②分析法的结构形式: Q→Q?P1→P1?P2→P2?P3→?
寻找结论成立的

所要证明



P

充分条件过程





所要证明 的结论 的条件 2.算术—几何平均不等式 (1)两个结论: 明显成立

a+b ①如果 a,b>0,那么 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. a+b+c 3 ②如果 a,b,c>0,那么 3 ≥ abc,当且仅当 a=b=c 时, 等号成立. a1+a2+?+an n (2)定理: 若 a1, a2, ?, an 为正数, 则 ≥ a1a2?an, n 等号当且仅当 a1=a2=?=an 时成立. 3.柯西不等式 (1)定理 1 设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+

bd)2,其中等号当且仅当 ad=bc 时成立. (2)定理 2 设 α,β 为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α· β|,其中等 号当且仅当 α,β 共线时成立. (3)定理 3 设 x1,y1,x2,y2,x3,y3?R,则 ?x1-x2?2+?y1-y2?2 + ?x2-x3?2+?y2-y3?2

≥ ?x1-x3?2+?y1-y3?2,这个不等式称为三角形不等式. 4.利用不等式求最大(小)值 (1)利用算术—几何平均不等式求最大(小)值. (2)利用柯西不等式求最大(小)值.

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )

(2)综合法强调将问题进行合理变形转换,使之能运用定义、公 理、定理、性质推证命题.( )

(3)分析法要强调书写步骤的合理性,注意逻辑上的充分条件, 步步可逆不是指等价.( ) )

(4)使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用.(

[解析] 比较法包含求差与求商,所以(1)错;(2)(3)显然正确;使 用反证法时,“反设”可以作为推理的条件应用,所以(4)错. [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2.(教材习题改编)已知实数 x、y、z 满足 x+2y+3z=1,则 x2 +y2+z2 的最小值为________. [解析 ] =1, 1 所以 x2+y2+z2≥14. 1 [答案] 14 1 1 1 3.已知 a、b、c 都是正数,a+b+c=1,则a+b+c 的最小值是 ________. [解析] ∵a+b+c=1, 1 1 1 1 1 1 3 ∴a+b+c=(a+b+c)(a+b+c )≥3 abc× 3 1 1 1 3 a×b×c=9. [答案] 9 1 4.(2014· 广东深圳模拟)记 S=210+ 则 S 与 1 的大小关系是________. 1 1 1 1 1 1 [解析] 由于 10 <210, 10 <210,?, 11 <210, 2 +1 2 +2 2 -1 1 1 1 + 10 +?+ 11 , 2 +1 2 +2 2 -1
10

由柯西不等式得 (x2+ y2+z2)(12+ 22+32)≥(x+2y+3z)2

1 1 1 1 1 1 210 ∴ S = 210 + 10 + ? + 11 < 10 + 210 + ? + 210 = 210 = 1 ,即 2 +1 2 -1 2 S<1. [答案] S<1 5.设 a>b>0,m= a- b,n= a-b,则 m 与 n 的大小关系 是________. [解析] ∵a>b>0, ∴m= a- b>0,n= a-b>0. ∵m2-n2=(a+b-2 ab)-(a-b) =2b-2 ab=2 b( b- a)<0, ∴m2<n2,从而 m<n. [答案] m<n

(见学生用书第 253 页)

考向 1 比较法证明不等式(高频考点)

命题视角 利用比较法证明不等式是历年高考重点, 主要命题角 度:(1)作差与 0 比较;(2)作商与 1 比较. 【典例 1】 (1)(2013· 江苏高考)已知 a≥b>0, 求证: 2a3-b3≥2ab2 -a2b. a+b (2)设 a,b?R+,求证:aabb≥(ab) 2 ≥abba. 【思路点拨】 [证明 ] (1)利用作差法证明;(2)利用作商法证明.

(1)2a3- b3- (2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)= (a2-

b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). ∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即 2a3-b3≥2ab2-a2b. a-b b-a ?a?a-b aabb (2) =a 2 b 2 =?b? 2 ,由指数函数的性质 ? ? a+b ?ab? 2 a a-b 当 a=b 时,(b) 2 =1; a-b ?a?a-b a 当 a>b>0 时,b>1, 2 >0,?b? 2 >1;
? ?

a-b ?a?a-b a 当 b>a>0 时,0<b<1, 2 <0,?b? 2 >1,
? ?

a+b 即 aabb≥(ab) 2 .

a+b 同理可证(ab) 2 ≥abba. a+b ∴aabb≥(ab) 2 ≥abba.,【通关锦囊】 1.当要证的不等式两边为代数和形式时,通常采用作差把定量 比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号, 从而降低了问题的难 度. 2.当要比较的两式呈幂的结构时,可结合函数的单调性,采用 作商比较法证明. 【变式训练 1】 (2014· 江苏苏州检测)设实数 a,b 满足 a≠b,

求证:a4+b4>ab(a2+b2). [解] 作差得 a4+b4-ab(a2+b2) =a3(a-b)+b3(b-a)=(a-b)(a3-b3) =(a-b)2(a2+ab+b2) b? 3 ? ?? =(a-b)2??a+2?2+4b2?.
?? ? ?

b? 3 ? 因为 a≠b,所以 a,b 不同时为 0,故?a+2?2+4b2>0,(a-b)2>0,
? ?

b? 3 ? ?? 所以(a-b)2??a+2?2+4b2?>0,
?? ? ?

即有 a4+b4>ab(a2+b2). 考向 2 用综合法与分析法证明不等式

【典例 2】 (2013· 课标全国卷Ⅱ)设 a,b,c 均为正数,且 a+b +c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ca≤3; a 2 b 2 c2 (2) b + c + a ≥1.

[解] (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得 a2+b2+ c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1, 1 即 ab+bc+ca≤3. a2 b2 c2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a 2 b 2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a 2 b 2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. a 2 b 2 c2 所以 b + c + a ≥1.,【规律方法】 1.综合法证明的逻辑关系是:A?B1?B2???Bn?B(A 为已知 条件或数学定义、定理、公理,B 为要证结论),它的常见书面表达 是“∵,∴”或“?”. 2 .分析法是寻找结论成立的充分条件,证明思路是 “ 执果索 因 ” , 其 框 图 表 示 为 : Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件 . 【变式训练 2】
*

(2014· 苏中三市、连云港联合调研)已知 a>0,

an+1+bn+1 a+b b>0,n?N ,求证: n n ≥ 2 . a +b an+1+bn+1 a+b [解] 欲证 n n ≥ 2 成立, a +b 只要证 2(an+1+bn+1)≥(a+b)(an+bn), 即要证 an+1+bn+1-anb-abn≥0.

也就是证明(a-b)(an-bn)≥0. 若 a≥b,则 a-b≥0,an-bn≥0, 所以(a-b)(an-bn)≥0; 若 a<b,则 a-b<0,an-bn<0, 所以(a-b)(an-bn)>0. an+1+bn+1 a+b 综上,(a-b)(a -b )≥0.从而 n n ≥ 2 . a +b
n n

考向 3 算术—几何平均不等式、柯西不等式的应用

【典例 3】

(1)(2014· 江苏高考)已知 x>0,y>0,证明:(1+x+

y2)(1+x2+y)≥9xy. (2)(2014· 无锡调研)已知 a,b,c 均为正数,且 a+2b+4c=3.求 1 1 1 + + 的最小值,并指出取得最小值时 a,b,c 的值. a+1 b+1 c+1 [解] (1)证明:∵x>0,y>0, 3 ∴1+x+y2≥3 xy2>0, 3 1+x2+y≥3 x2y>0, 3 3 ∴(1+x+y2)(1+x2+y)≥3 xy2· 3 x2y=9xy. 3 (2)∵a2+b2+c2≥ abc,当且仅当 a=b=c 时取“=”. ∵a+2b+4c=3,∴(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10. ∵a,b,c 为正数,∴由柯西不等式得
? 1 1 1 ? + + ? ?≥(1+ 2+2)2. [(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]· ?a+1 b+1 c+1?

当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2 时,等号成立.



11+6 2 1 1 1 + + ≥ 10 ,∴2(c+1)+2 2(c+1)+4(c+ a+1 b+1 c+1

1)=10, ∴c= 8-5 2 15 2-17 23-10 2 , b = , a = .,【规律方法】 7 7 7

1.利用算术、几何平均不等式证明不等式或求最值问题,是不 等式问题中的一个重要类型,重点要抓住算术、几何平均不等式的结 构特点和使用条件. 2.利用柯西不等式求最值,实质上是利用柯西不等式进行放缩, 结合已知条件求出最值,但要注意检验等式成立的条件. 【变式训练 3】 (2014· 福建福州模拟)已知大于 1 的正数 x,y, z 满足 x+y+z=3 3. x2 y2 z2 3 (1)求证: + + ≥2; x+2y+3z y+2z+3x z+2x+3y 1 1 1 (2)求 + + 的最小值. log3x+log3y log3y+log3z log3z+log3x [解] (1)证明:由柯西不等式得
? x y z ? + + ? ? ?x+2y+3z y+2z+3x z+2x+3y?
2 2 2

· [(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27. 又(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)=6(x+y+z)=18 3, x2 y2 z2 27 3 所以 + + ≥ =2. x+2y+3z y+2z+3x z+2x+3y 18 3 当且仅当 x=y=z= 3时,等号成立. (2)∵ 1 1 1 1 1 + + = + log3x+log3y log3y+log3z log3z+log3x log3?xy? log3?yz?

1 + . log3?zx?

由柯西不等式得:
? 1 1 1 ? ? ?[log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)]≥9, + + ?log3?xy? log3?yz? log3?zx??

∴? ≥ =

1 1 1 ? ? + + ?log3?xy? log3?yz? log3?zx??
?

9 log3?xy?+log3?yz?+log3?zx? 9 , 2log3?xyz?

3 又∵3 3=x+y+z≥3 xyz, 3 9 9 2 ∴xyz≤3 3,∴log3(xyz)≤2,得 ≥2×3=3, 2log3?xyz? ∴ 1 1 1 + + ≥3, log3x+log3y log3y+log3z log3z+log3x

当且仅当 x=y=z= 3时,等号成立,故所求的最小值是 3.

遵守 1 种原则 “正难则反”原则:当直接证明有困难时,常采 用反证法. 勿忘 1 点注意 利用算术—几何平均不等式, 柯西不等式求最值 一定注意等式成立的条件. 熟记 2 种方法 1.分析法: B?B1?B2???Bn?A(结论). (步步寻求不等式成立的充分条件)(已知). 2.综合法: A?B1?B2???Bn?B(已知). (逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).

(见学生用书第 254 页)

规范解答之 20

算术、几何平均不等式在证明不等式中的 应用

?1 1 1? (12 分)已知 a, b, c 均为正数, 证明: a2+b2+c2+?a+b+c? ? ?
2

≥6 3,并确定 a,b,c 为何值时,等号成立. —————————— —————————————— ——————— 因为 a,b,c 均为正数,由算述、几何平均不等式得 2 a2+b2+c2≥3(abc)3,① 1 1 1 1 + + ≥ 3( abc ) - a b c 3,(3 分)
?1 1 1? 2 所以?a+b+c?2≥9(abc)-3.② ? ? ?1 1 1? 2 2 故 a2+b2+c2+?a+b+c?2≥3(abc)3+9(abc)-3.(6 分) ? ?

[规范解答示例] [构建答题模板]

2 2 又 3(abc)3+9(abc)-3≥2 27=6 3,③ 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 2 2 当且仅当 3(abc)3=9(abc)-3时,③式等号成立.(10 分)

1 即当且仅当 a=b=c=34时,原式等号成立.(12 分),第一步 1 1 1 a2+b2+c2,a+b+c 分别用算术、几何平均不等式; ? 第二步 相加后又构成用算术、几何平均不等式的条件. ? 第三步 求出等号成立的条件. 【智慧心语】 易错提示:(1)是多次运用算术、几何平均不等式后化简错误; (2)是求解等号成立的 a,b,c 的值时计算出错. 防范措施:(1)注意不等式成立的条件. (2)要善于对式子进行恰当的转化、变形. 1 1 【类题通关】 若正数 a, b, c 满足 a+b+c=1, 求 + 3a+2 3b+2 1 + 的最小值. 3c+2 [解] 因为 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,所以(3a+2)+(3b +2)+(3c+2)=9.
? 1 1 1 ? 则?3a+2+3b+2+3c+2?[(3a+2)+(3b+2) ? ?

+(3c+2)]≥3

3

1 · ?3a+2??3b+2??3c+2?

3 3 ?3a+2??3b+2??3c+2?=9, 1 当且仅当 a=b=c=3时,等号成立.

即 为 1.

1 1 1 1 1 1 + + ≥1,故 + + 的最小值 3a+2 3b+2 3c+2 3a+2 3b+2 3c+2

课后限时自测 (见学生用书第 376 页)

[A 级

基础达标练]

一、填空题 1.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a、b、c 间的大小关 系是________. [解析] 由 得 a>c>b. [答案] a>c>b 2.设 x+y=2 3,则 m=x2+2y2 的最小值为________. 1 [解析] 由柯西不等式得(x2+2y2)(1+2)≥(x+y)2=12, 则 x2+2y2≥8. [答案] 8 3.若 a,b,c 都大于 0,且 a2+2ab+2ac+4bc=12,则 a+b+ c 的最小值是________. [ 解析 ] c)2≥12. 当且仅当 b=c 时取等号,即 a+b+c≥2 3. [答案] 2 3 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 12 + (b - 4 4 4 > > , 2+ 2 6+ 2 7+ 3

4.设 x,y?R 且 2x+3y=13,则 x2+y2 的最小值为________. [解析] (2x+3y)2≤(22+32)(x2+y2),∴x2+y2≥13. [答案] 13 5.(2014· 苏北三市测试)已知实数 x,y,z 满足 x+y+z=2,则 2x2+3y2+z2 的最小值为________. [解析]
?? z2]·

由 柯 西 不 等 式 知 (x + y + z)2≤[( 2 x)2 + ( 3 y)2 +

?? 1 ?2 ? 1 ?2 ? ? +? ? +12?, ?? 2? ? 3? ?

24 因为 x+y+z=2,所以 2x2+3y2+z2≥11, 2x 3y z 6 4 12 当且仅当 1 = 1 =1,即 x=11,y=11,z=11时,等号成立, 2 3 24 所以 2x2+3y2+z2 的最小值为11. [答案] 24 11

6.(2013· 陕西高考)已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1, mn=2.则(am+bn)(bm+an)的最小值为________. [解析 ] (am+bn)(bm+an)=ab(m2+n2)+ mn(a2+b2)≥2mnab+

mn(a2+b2)=mn(a+b)2=mn=2, 当且仅当 m=n= 2时等号成立. [答案] 2 1 1 1 a b 7.已知 0<a<b,且 M= + ,N= + ,则 M,N 1+a 1+b 1+a 1+b 的大小关系是________. 1-a 1-b 2?1-ab? [解析] M-N= + = , 1+a 1+b ?1+a??1+b?

1 又因 0<a<b,得 ab<1, 则 M-N>0,即 M>N. [答案] M>N 1 8.若 x+y+z=1,且 x,y,z?R,则 x2+y2+z2 与3的大小关系 为________. [解析] ∵(x+y+z)2=1, ∴x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=1, 又 2(xy+yz+zx)≤2(x2+y2+z2), 1 ∴3(x2+y2+z2)≥1,则 x2+y2+z2≥3. 1 [答案] x2+y2+z2≥3 二、解答题 9.(苏州市 2014 届调研调研测试)已知 x,y,z 均为正数,求证: x y z 1 1 1 yz+zx+xy≥x+y+ z . [证明] ∵x,y,z 都是正数, x y 1x y 2 ∴yz+zx= z (y+x)≥ z y z 2 z x 2 同理可得zx+xy≥x,xy+yz≥y 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2, x y z 1 1 1 得yz+zx+xy≥x+y+ z . 10.(2014· 江苏南通三模)已知 x>0,y>0,a?R,b?R.求证:
?ax+by?2 a2x+b2y ? ?≤ . x+ y ? x +y ?

[解 ]

?ax+by?2 a2x+b2y ?≤ 因为 x>0,y>0,所以 xy>0,所以要证? , x+y ? x+y ?

即证(ax+by)2≤(x+y)(a2x+b2y), 即证 xy(a2-2ab+b2)≥0, 即(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0 显然成立.
?ax+by?2 a2x+b2y ?≤ 故? . x+y ? x+y ?

[B 级

能力提升练]

一、填空题 1.(2014· 陕西高考)设 a,b,m,n?R,且 a2+b2=5,ma+nb =5,则 m2+n2的最小值为________. [解析] 由柯西不等式得(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2) 即 m2+n2≥5,∴ m2+n2≥ 5,∴所求最小值为 5. [答案] 5

2.(2014· 南京三模)已知 a,b,c?R,a2+2b2+3c2=6,则 a+b +c 的最大值为________. [ 解 析 ]
?12+? c)2]· ? ?

由 柯 西 不 等 式 , 得 [a 2 + (

2 b )2 + (

3

? 1 ?2 ? 1 ?2? ? +? ? ?≥(a+b+c)2,因为 a2+2b2+3c2=6, ? 2? ? 3? ?

所以(a+b+c)2≤11,所以- 11≤a+b+c≤ 11,当且仅当 a= 6 11 2b=3c= 11 时,a+b+c 取得最大值 11. [答案] 11

二、解答题 3.(2014· 江苏徐州三检)已知 x,y,z?R,且 x+2y+3z+8=0.

求证:(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14. [证明] 因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](12+22+32)≥[(x-1)+

2(y+2)+3(z-3)]2=(x+2y+3z-6)2=142, x-1 y+2 z-3 当且仅当 1 = 2 = 3 ,即 x=z=0,y=-4 时等号成立. 所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14.


相关文章:
《选修4-5 不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案).doc
选修4-5 不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)_数学_高中教育_教育专区。人教版不等式选讲, 选修4-5 不等式选讲 最新考纲:1.理解绝对值的几何...
选修4-5_不等式选讲(教材解读与教学建议)_图文.ppt
选修4-5_不等式选讲(教材解读与教学建议)_数学_高中教育_教育专区。 不等...平均不等式证明和应 用,理解二元和三元 平均不等式几何背 景,理解这些不等式的...
选修4-5 《不等式选讲》全册教案.doc
选修4--5 一、课程目标解读 不等式选讲 选修系列 4-5 专题不等式选讲,内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不 等式的证明、几个著名的不等式、...
选修4-4 坐标系与参数方程 选修4-5 不等式选讲.doc
选修4-4 坐标系与参数方程 选修4-5 不等式选讲_数学_自然科学_专业资料。精品 突破点 23 选修 4-1 几何证明选讲 选修 4-4 坐标系与参数方程 不等式选讲...
2015年高考文科数学复习:选修4-5不等式选讲(解析版).doc
选修4-5 不等式选讲 [考纲要求] (1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ① |ax+b|≤|a|+|b|. ② |a-b|≤|a-...
选修4-5--不等式选讲(相关答案).doc
选修4-5--不等式选讲(相关答案)_数学_高中教育_教育专区。教师用 第一节 考纲下载 绝对值不等式 1.理解绝对值不等式的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何...
选修4-5不等式选讲讲义.doc
选修4-5 不等式选讲讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰 不等式选...理解绝对值不等式的几何意义,并能利用绝 对值不等式的几何意义证明以下不等式:...
选修4-5 不等式选讲_图文.ppt
选修4-5 不等式选讲_其它考试_资格考试/认证_教育专区。选修4-5 不等式选讲 根据课程标准,本专题介绍一些重 要的不等式和它们的证明、数学归纳法 和它的简单...
不等式选讲(选修4-5)课件.ppt
不等式选讲(选修4-5)课件_数学_高中教育_教育专区。《不等式选讲》主要包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法.了解证明不等式的...
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细....doc
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案) - 选修 4-5 不等式选讲 最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及 ...
选修4-5_《不等式选讲》全册教案.doc
选修4-5_《不等式选讲》全册教案_数学_高中教育_教育专区。选修4-5_《不...数不小于它们的几何平均 数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值, ...
高中数学选修4-5精编讲义:不等式选讲.pdf
高中数学选修4-5精编讲义:不等式选讲 - 不等式选讲 学生姓名 授课教师 核心内容 ? ? 不等式选讲 1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式 2.理解绝对值的...
选修4-5 不等式选讲(绝对值不等式)_图文.ppt
选修4-5 不等式选讲(绝对值不等式)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三节 [最新考纲] 绝对值不等式 1.理解绝对值的几何意义;理解绝对值三角不等式的代数...
选修4-5 不等式选讲_图文.ppt
选修4-5 不等式选讲_互联网_IT/计算机_专业资料。选修4-5 第一节 目录 不等式选讲绝对值不等式 第二节 不等式证明的基本方法 人教A版数学 选修4-5 不...
选修4-5 不等式选讲.doc
选修4-5 不等式选讲_法律资料_人文社科_专业资料。第一节 绝对值不等式 考纲要求:1.理解绝对值不等式的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以 下不...
人教A版高中数学选修4-5_《不等式选讲》全册教案.doc
选修4--5 不等式选讲 1 一、课程目标解读 选修系列 4-5 专题不等式选讲,内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、 不等式的证明、几个著名的不等式...
选修4-5不等式选讲基本不等式学案及作业含答案.doc
选修4-5不等式选讲基本不等式学案及作业含答案_高二数学_数学_高中教育_教育...数不小于它们的几何平均数的定理, 并会应用它证明一些不等式及求函数的最值,,...
精品:选修4-5不等式选讲题型归纳总结教案.doc
精品:选修4-5不等式选讲题型归纳总结教案_数学_高中教育_教育专区。教学设计...的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义 求解. 2.含有绝对值的不等式的性质 ...
选修4-5 不等式选讲_图文.ppt
选修4-5 不等式选讲_互联网_IT/计算机_专业资料选修4-5 不等式选讲 目录 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练互动 名师讲坛精彩呈现 知能演练轻松闯关 ...
选修4-5不等式选讲教案教案.doc
选修4-5不等式选讲教案教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。富县高级中学...几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决最值问 题; 2.了解基本不等式的推广...
更多相关标签: