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浙江高考历年真题之函数与导数大题(文科)


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浙江高考历年真题之函数与导数大题
(教师版)
1、 (2005 年)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|. (Ⅲ)若 h( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ?1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围
2

解析:(Ⅰ)设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,则
? x0 ? x ? 2 ? 0, ? x0 ? ? x, ? 即? ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ?
∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上,∴ ? y ? x ? 2x,即y ? ?x ? 2x, 故g ? x ? ? ?x ? 2x
2 2 2

(Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ?1 , 可得2x ? x ?1 ? 0
2

当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解
2

王新敞
奎屯

新疆

2 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ?

1 2

王新敞
奎屯

新疆

因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? 2

? ?

1? ?
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅲ) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x2 ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1
? ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,

? ? ?1

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? . 1? ?

1? ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ? 1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 1? ?
综上,? ? 0.
2、 (2006 年)设 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c , 若a ? b ? c ? 0 ,f(0)f(1)>0,求证:
2

(Ⅰ)方程 f ( x) ? 0 有实根。

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(Ⅱ)-2<

a <-1; b

(Ⅲ)设 x1 , x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则.

3 2 ?| x1 ? x2 | < 3 3

解析: (Ⅰ)证明:若 a = 0, 则 b = -c ,
f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) ? ?c ? 0 , 与已知矛盾, 所以 a ≠ 0.
2

方程 3ax ? 2bx ? c = 0 的判别式 ? ? 4(b2 ? 3ac),
2

由条件 a + b + c = 0,消去 b,得 ? ? 4(a2 ? b2 ? ac) ? 4 ?(a ? c)2 ? c 2 ? ? 0 2 4 故方程 f (x) = 0 有实根.

? ?

1

3

? ?

2b c a?b ?? , x1 ? x2 ? , 3a 3a 3a 4 b 3 2 1 所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? ( ? ) ? . 9 a 2 3
(Ⅱ)由条件,知 x1 ? x2 ? ? 因为 ?2 ?

b 1 4 ? ?1, 所以 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ,故 a 3 9

3 2 ? x1 ? x2 ? 3 3

3、 (2007 年)已知 f ( x) ?| x2 ?1| ? x2 ? kx . (Ⅰ)若 k ? 2 ,求方程 f ( x) ? 0 的解;

2) (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在 (0, 上有两个解 x1,x2 ,求 k 的取值范围,并证明

1 1 ? ?4. x1 x2

解析: (Ⅰ)当 k=2 时,
2

f ( x) ?| x2 ?1| ? x2 ? 2x ? 0
2

① 当 x ? 1 ? 0 时, x ≥1 或 x ≤-1 时,方程化为 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 解得 x ?
2

?1 ? 3 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ,因为 0 ? . ? 1 ,舍去,所以 x ? 2 2 2
1 , 2

②当 x ? 1 ? 0 时,-1< x <1 时,方程化为 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? 由①②得当 k=2 时,方程 f ( x) ? 0 的解所以 x ? (Ⅱ)不妨设 0<x1<x2<2,

1 ?1 ? 3 或x?? . 2 2

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因为 f ( x) ? ?

?2 x2 ? kx ? 1 ?kx ? 1

| x |? 1 | x |? 1

所以 f ( x ) 在(0,1]是单调函数,故 f ( x ) =0 在(0,1]上至多一个解, 若 1<x1<x2<2,则 x1x2=- 由 f ( x1 ) ? 0 得 k ? ?

1 <0,故不符题意,因此 0<x1≤1<x2<2. 2

1 , 所以 k ? ?1 ; x1

由 f ( x2 ) ? 0 得 k ? 故当 ?

7 1 ? 2 x2 , 所以 ? ? k ? ? 1; 2 x2

7 ? k ? ?1时,方程 f ( x) ? 0 在(0,2)上有两个解. 2

因为 0<x1≤1<x2<2,所以 k ? ?

1 2 , 2 x2 ? kx2 ?1=0 x1 1 1 ? ? 2x2 , x1 x2

消去 k 得

2 2x1 x2 ? x1 ? x2 ? 0 ,即

因为 x2<2,所以

1 1 ? ?4. x1 x2
2

4、 (2008 年)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x ( x ? a) 。
' (Ⅰ)若 f (1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ?0,2? 上的最大值。
2 解析: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ,

因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3 ,所以 a ? 0 .又当 a ? 0 时, f (1) ? 1 , f ?(1) ? 3 ,

, 所以曲线 y ? f ( x) 在 (1 f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .
(Ⅱ)解:令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? 当

2a . 3

2a ≤ 0 ,即 a ≤ 0 时, f ( x) 在 [0, 上单调递增,从而 fmax ? f (2) ? 8 ? 4a . 2] 3 2a ≥ 2 ,即 a ≥ 3 时, f ( x) 在 [0, 上单调递减,从而 f max ? f (0) ? 0 . 2] 当 3
当0 ?

2a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 ,即 0 ? a ? 3 时, f ( x) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? ,? 上单调递增, 2 3 ? 3? ?3 ?
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从而 f max ? ?

0 ?8 ? 4a,? a ≤ 2, ?0, 2 ? a ? 3. ?8 ? 4a,a ≤ 2, a ? 2. ?0,
3 2

综上所述, f max ? ?

5、 (2009 年)(本题满分 15 分)已知函数 f(x)=x +(1-a) x -a(a+2)x+b(a,b ? R). (Ⅰ)若函数 f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围. ....
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

解析: (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 6、 (2010 年) (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 (a-b) (a, b ? R, a <b)。 (Ⅰ)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f ( x ) )处的切线方程; (Ⅱ)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个极值点, x3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x3 ? x1 , x3 ? x2 证明:存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后的等差数列,并求 x4 。

解析: (Ⅰ)当 a=1,b=2 时,因为 f’(x)=(x-1)(3x-5),故 f’(2)=1,f(2)=0,
所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2 (Ⅱ)证明:因为 f′(x)=3(x-a) (x- 由于 a<b.故 a<

a ? 2b ) , 3
[

a ? 2b a ? 2b .所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= . 3 3 a ? 2b 不妨设 x1=a,x2= , 3
因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点,故 x3=b. 又因为

a ? 2b a ? 2b 1 a ? 2b 2a ? b -a=2(b- ) 4= (a+ ,x )= , 3 3 2 3 3
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2 a ? b a ? 2b , ,b 依次成等差数列, 3 3 2a ? b 所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3
所以 a, 7、 (2011 年) (本大题满分 15 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax, a ? 0
2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间

x ? ?1, e? (Ⅱ)求所有实数 a ,使 e ?1 ? f ( x) ? e 对 恒成立。注:e 为自然对数的底数。
2

解析: (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? a2 ln x ? x2 ? ax ,其中 x ? 0 ,
所以 f '( x) ?

a2 ( x ? a)(2 x ? a) 2x ? a ? ? 。 x x

由于 a ? 0 ,所以 f ( x ) 的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞) (Ⅱ)证明:由题意得, f (1) ? a ? 1 ? c ? 1,即 a ? c 由(Ⅰ)知 f ( x ) 在[1,e]恒成立, 要使 e ? 1 ? f ( x) ? e2 对 x ? [1, e] 恒成立, 只要 ?

? f (1) ? a ? 1 ? e ? 1
2 2 2 ? f (e) ? a ? e ? ae ? e

,解得 a ? e 。

8、 (2012 年) (本题满分 15 分)已知 a ? R, 函数 f ( x) ? 4 x2 ? 2ax ? a. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x)? | 2 ? a |? 0.

Ⅰ 由题意得 f ?( x) ? 12 x 2 ? 2a 解析:( )

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??). 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 12( x ?

a a )( x ? ), 此时函数 f ( x) 的 6 6

单调递增区间为 ( ??, ? (Ⅱ)由于 0 ? x ? 1, 故

a a a a ] 和 [ , ??), 单调递减区间为 [? , ]. 6 6 6 6

当 a ? 2 时, f ( x)? | a ? 2 |? 4 x3 ? 2ax ? 2 ? 4 x3 ? 4 x ? 2; 当 a ? 2 时, f ( x)? | a ? 2 |? 4 x3 ? 2a(1 ? x) ? 2 ? 4 x3 ? 4(1 ? x) ? 2 ? 4 x3 ? 4 x ? 2.
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设 g ( x) ? 2 x 3 ? 2 x ? 1,0 ? x ? 1, 则g ?( x) ? 6 x 2 ? 2 ? 6( x ?

3 3 )( x ? ), 于是 3 3

x
g ?( x)
g ( x)
所以, g ( x) min ? g ( 故

0

(0,

3 ) 3

3 3
0 极小值

(

3 ,1) 3
+ 增

1

— 1 减

1

3 4 3 ) ?1? ? 0, 所以当 0 ? x ? 1 时, 2 x3 ? 2 x ? 1 ? 0. 3 9

f ( x) | a? 2 ? 34 ? 4 ? 2 0 . ? | x x ?

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浙江高考历年真题之函数与导数大题
1、 (2005 年)函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|. (Ⅲ)若 h( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ?1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围
2

2、 (2006 年)设 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c , 若a ? b ? c ? 0 ,f(0)f(1)>0,求证: (Ⅰ)方程 f ( x) ? 0 有实根。 (Ⅱ)-2<

a <-1; b

(Ⅲ)设 x1 , x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则.

3 2 ?| x1 ? x2 | < 3 3

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3、 (2007 年)已知 f ( x) ?| x2 ?1| ? x2 ? kx . (Ⅰ)若 k ? 2 ,求方程 f ( x) ? 0 的解; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在 (0, 上有两个解 x1,x2 ,求 k 的取值范围,并证明 2)

1 1 ? ?4. x1 x2

4、 (2008 年)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x2 ( x ? a) 。
' (Ⅰ)若 f (1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ?0,2? 上的最大值。

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5、 (2009 年)(本题满分 15 分)已知函数 f(x)=x +(1-a) x -a(a+2)x+b(a,b ? R).
3 2

(Ⅰ)若函数 f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围. ....
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

6、 (2010 年) (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 (a-b) (a, b ? R, a <b)。 (Ⅰ)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f ( x ) )处的切线方程; (Ⅱ)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个极值点, x3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x3 ? x1 , x3 ? x2 证明:存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后的等差数列,并求 x4 。

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7、 (2011 年) (本大题满分 15 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax, a ? 0
2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间

x ? ?1, e? (Ⅱ)求所有实数 a ,使 e ?1 ? f ( x) ? e 对 恒成立。注:e 为自然对数的底数。
2

8、 (2012 年) (本题满分 15 分)已知 a ? R, 函数 f ( x) ? 4 x2 ? 2ax ? a. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x)? | 2 ? a |? 0.

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