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江西省景德镇一中等重点中学盟校2016届高三第一次联考数学理试题


江西省重点中学盟校 2016 届高三第一次联考 数学试卷(理科)
参考学校:景德镇一中 贵溪一中 吉安白鹭洲中学等 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 A. 1 ? 3i

z ? 3i ? 3 , i 是虚数单位,则 z ? ( z ?i
B. 1 ? 3i C. 3i

) D. ? 3i

2 2.已知集合 A ? x | x ? x ? 1 ? 0 , B ? ?x | ?2 ? x ? 2?,则 ?R A ? B ? (

?

?

?

?



A. ?? 1,1?

B. ?? 2, 2?

C. ?? 1, 2?

D. ? )

3.下列函数中,既是奇函数,又在定义域内为减函数的是( A. y ? ln C. y ?

1? x 1? x

B. y ? x ?

1 x

1 x

D. y ? x cos x

4.执行右边的程序框图,当 n ? 2, n ? N ? 时, f n ( x) 表示 f n ?1 ( x) 的 导函数,若输入函数 f1 ( x) ? sin x ? cos x ,则输出的函数 f n ( x) 可 化为( A. )

?? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?
? ?

B.

?? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?
? ?

C. ? 2 sin ? x ?

??
? 4?

D. ? 2 sin ? x ?

??
? 4?

? x?2 ? 5.已知 k ? 0 , x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,若 z ? x ? y 的最 ? y ? k ( x ? 4) ?
大值为 4,则 k 的取值范围是( A. (0,1) B. (0,1] ) C. (1, ??) D. [1, ??)

6.设数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 q(q ? ?1) 的等比数列,若 ?

?

1 ? ? 是等差数列,则 a ? a n n ? 1 ? ?

(

1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ?? ? ??( ? ) ?( a2 a3 a3 a4 a2015 a2016
A.4024 B.4026 C.4028

) D.4030

7. 4 位外省游客来江西旅游,若每人只能从庐山、井冈山、龙虎山中选择一处游览,则每 个景点都有人去游览的概率为 A.

8 9

B.

9 16

C.

3 4

D.

4 9


8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

1 6 1 3

B.

C.

2 3
5 6

D.

9.对于下列命题: ①若命题 p : ?x ? R, 使得 tan x ? x , 命 题 q : ?x ? R? ,lg2 x ? lg x ? 1 ? 0 则 命 题 “ p 且 ? q ” 是 真 命 题 ; ② 若 随 机 变 量 ? ? B(n, p) , E? ? 6, D? ? 3, 则

P (? ? 1) ?

3 4
2

③“ lg x, lg y , lg z 成等差数列”是“ y ? xz ”成立的充要条件;④已知 ? 服从正态分布

N (1, 22 ) ,且 P(?1 ? ? ? 1) ? 0.3 ,则 P(? ? 3) ? 0.2
其中真命题的个数是( A.1 个 ) C.3 个 D. 4 个

B.2 个

x2 y2 10.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线 a b
分别交于点 A 、B , O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, 三角形 AOB 的面积为 3 , 则p= ( ) A.1 B.

3 C.2 D.3 2 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 11.已知向量 a, b, c 满足 | a |?| b |? a? b ? 2 , (a ? c)? (b ? 2c) ? 0 ,则 | b ? c | 的最小值为
( ) A.

3 ?1 2
2

B.

7? 3 2
x 2

C.

3 2

D.

7 2

12.函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? a, g ( x) ? 2 ? x ,若 f [ g ( x)] ? 0 对 x ? [0,1] 恒成立,则实数 a 的

范围是(

) B. (??, e] C. (??,ln 2] D. [0, )

A. ( ??, 2]

1 2

二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知抛物线 小值为______ 14.已知 (1 ? ax)
5

1 2 y ? x 的焦点为 F ,点 A(2, 2) ,点 P 在抛物线上,则 | PA | ? | PF | 的最 4

(1 ? 2x) 4 的展开式中 x 2 的系数为 ? 16 ,则实数 a 的值为

15.已知 an ?

n(n ? 1) ,删除数列 {an } 中所有能被 2 整除的数,剩下 2
B1
B1

的数从小到大排成数列 {bn } ,则 b21 ? __________ 16.已知棱长为 1 的正方体有一个内切球(如图) , E 为 ABCD 的中心,

A1E 与球相交于 FE ,则 EF 的长为_________
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ?sin ? ,?2? , 其中 ? ? (0, b ? ?1, cos? ? 互相垂直, (1)求 tan 2? 的值; (2)若 sin ?? ? ? ? ?

?

?

?
2

);

10 ? ,0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

18.(本小题满分 12 分)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为 了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有 同学几何题和代数题各一题, 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位: 人) 几何题 男 女 合计 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

代数题 5 10 15

合计 30 20 50

25 10 35

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
2

n(ad ? bc)2 (参考公式 K ? 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
(1)能否在犯错的概率不超过 0.025 的前提下认为视觉和空间能力与性别有关?

(2) 现从选择做几何题的 10 名女生中任意抽取 3 人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙、丙三位女生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 EX

19.(本小题满分 12 分)在等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC ,

AD ?

1 BC ? 2 , ?ABC ? 60? , M 是 BC 的中点,将梯形 2

ABCD 绕 AB 旋转 90? ,得到梯形 ABC1D1 (如图)
(1)求证: BC1 ? AC (2)求二面角 D1 ? AM ? C 的余弦值

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,垂直于 x 轴 的焦点弦的弦长为

6 5 ,直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 错误!未找到引用源。与以原点为圆心 , 5

以椭圆的离心率错误!未找到引用源。为半径的圆相切. (1)求该椭圆错误!未找到引用源。的方程; (2)过右焦点错误!未找到引用源。的直线交椭圆于错误!未找到引用源。两点,线段错 误!未找到引用源。的中点为错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。的中垂线与错误!未找到引用源。轴和错误!未找到引用源。轴分 别交于错误!未找到引用源。两点.记错误!未找到引用源。 MFD 错误!未找到引用源。 的 面积为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的面积为错误! 未找到引用源。 .求

S1S2 的取值范围 2 S12 ? S2
1 ? ln 2 x . x2

21.(本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ?
2

(1)若 g ? x ? ? ax ? ln 2x ?1 (a ? R) ,讨论 g ? x ? 的零点个数

x 2 ? ?k x (2)存在 x1 , x2 ? ?1, ??? 且 x1 ? x2 ,使 f ?x 1 ? ? f ?
的取值范围.

1

ln x1? x

2

ln x

2

成立,求 k

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分 10 分) 如图,圆 O 的直径 AB ? 10 , P 是 AB 延长线上一点,

BP ? 2 ,割线 PCD 交圆 O 于点 C , D ,过点 P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于点
E ,交直线 AD 于点 F .
(1)求证: ?PEC ? ?PDF ; (2)求 PE ? PF 的值.

23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 , 以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为极 点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 6 .
(1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C 2 , 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (2)在曲线 C 2 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.

24. (本题满分 10 分) 已知关于 x 的不等式| x -

2 2 |+| x -1| ? ( a ? 0 ). a a

(1)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

江西省重点中学盟校 2016 届高三第一次联考 数学试卷(理科)答案
1-6 DBACBC 7-12 DCACBA
x

13. 3
x

14. 2

15. 861

16.

6 3

12.提示: g ?( x) ? 2 ln 2 ? 2 x, 令 m( x) ? 2 ln 2 ? 2x, m(0) ? ln 2 ? 0, m(1) ? 2ln 2 ? 2 ? 0

m?( x) ? 2x (ln 2)2 ? 2 ? 0 ∴ m( x) 在 [0,1] 只有一个零点 x0 ,∴ g ( x) 在 [0, x0 ) 单增,在 ( x0 ,1]单减,
∴ 1 ? g ( x) ? g ( x0 ) ? 2 0 ? x0 ?
x 2

2 x0 2 ? x0 ? 2 ,令 u ? g ( x) , f (u) ? 0 ? a ? ?u 2 ? 3u ln 2

∴a ? 2 17.解: (1)? a ? b ? ?sin ? ,?2?? ?1, cos? ? ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,? tan ? ? 2 ,

? ?

? tan 2? ?
(2)∵ ?

2 tan ? 4 ? ? ….6 分 2 1 ? tan ? 3 ? ? ?? ?

?
2

?
2

∴ cos(? ? ? ) ? 0

cos? ? cos?? ? (? ? ? )? ? cos? cos?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ?
…………12 分

3 10 5 10 2 5 2 ? ? ? ? 10 5 10 5 2

50?25?10 ? 10? 5? 400 18.解: (1) K ? ? ? 5.024,故在犯错的概率不超过 0.025 的前 30? 20? 35?15 63
2 2

提下认为视觉和空间能力与性别是有关的;???4 分 (2) X 可取的值为 0,1,2,3

P? X ? 0 ? ? P? X ? 2 ? ?
X

3 2 1 C7 C7 C3 21 7 , , ? ? ? P X ? 1 ? ? 3 3 C10 24 C10 40 1 2 3 C7 C3 C3 7 1 , ? ? ? P X ? 3 ? ? 3 3 C10 40 C10 120

0

1

2

3

P? X ?
E?X ? ? 0 ?

7 24

21 40

7 40

1 120

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ???12 分 24 40 40 120 10

19.解: (1)在等腰梯形 ABCD 中,? ?ABC ? 60? ,? AC ? AB ,同理 AC1 ? AB , 而据题意可知:二面角 C ? AB ? C1 为 90 ? ,则平面角为 ?CAC1 ? 90? ,即 AC ? AC1 又? AB ? AC1 ? A ,? AC ? 平面ABC 1 ,? BC1 ? AC ;???6 分

? ? ? ? ? ? ? AM ? ? 1, 3,0?, AD ? ??1,0, 3?,设 n ? ?x, y, z ? ? 平面AMD ,
则 A?0,0,0? , M 1, 3,0 , C 0,2 3,0 , D1 ? 1,0, 3
1
1

(2)以 A 为坐标原点,分别以 AB、AC、AC1 为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系,

?

得?

? ? ?x ? 3 y ? 0 ,令 x ? 3 ,则 n ? ? ?? x ? 3 z ? 0

? ? ?0,0,1? ? 平面AMC , ? 3,?1,1? ,又有 m

5 1 5 ? ? ,故所求二面角余弦值为 ??12 分 ? cos ? m, n ?? ? 5 5 5

2b2 6 5 2 c 20. (1) ? , ? ? a 2 ? 5, b2 ? 3 a 5 5 a
∴椭圆错误!未找到引用源。的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??4 分 5 3

(2)由(1)知 F ( 2,0) 若直线 AB 的斜率不存在,则 M , F 不 合 题 意 , 所 以 直 线 AB 的 斜 率 存 在 且 不 为 0 , 设 其 方 程 为 y ? k ( x ? 2) 并 代 入

x2 y 2 ? ? 1 中,整理得: 5 3

(5k 2 ? 3) x2 ?10 2k 2 x ?10k 2 ?15 ? 0 , x1 ? x2 ?
∴M(

10 2k 2 ?6 2k , y1 ? y2 ? ??6 分 2 5k ? 3 5k 2 ? 3

5 2k 2 ?3 2k , ) ∵ AB ? MD ∴ k ? kMD ? ?1 5k 2 ? 3 5k 2 ? 3

?3 2 k ?0 2 2 2k 2 2 2k 2 ? ? 1∴ x D ? 2 ∴ k ? 5k ?23 即 D( 2 , 0) 5k ? 3 5k ? 3 5 2k ? xD 5k 2 ? 3 5 2k 2 2 2k 2 2 ?3 2k ? 2 ) ?( 2 ? 0) 2 2 S1 | MD | ? ? 5k ? 3 5k ? 3 2 5k ? 3 ? 2 S2 | DO | 2 2k 2 ( 2 ) 5k ? 3
2



?MFD ? ?OED

(



9 1 9 (1 ? 2 ) ? 4 k 4
36 S1S 2 1 ? (0, ) ??12 分 ? 2 2 S1 S2 97 S1 ? S 2 ? S2 S1
21. (1)令 g ? x ? ? 0 ? a ?

1 ? ln 2 x ?1 ? 2 ln 2 x ? f ( x) , f ? ? x ? ? ,定义域为 (0, ??) 2 x x3

1 ?1 1 ?1 2 ? 当 x ? (0, e ) 时, f ? x ? ? 0 ,当 x ? ( e 2 , ??) 时, f ? ? x ? ? 0 2 2 1 ?1 1 ?1 2 ∴ f ? x ? 在 (0, e ) 上递增,在 ( e 2 , ??) 上递减 2 2 1 ?1 f x ? f ( e 2 ) ? 2e ,当 x ? 0? 时, f ? x ? ? ?? ∴ ? ?max 2

当 x ??? 时, f ? x ? ? 0 (当 x ? ∴当 a ? 2e 时, g ? x ? 没有零点

1 ?1 e 时, f ? x ? ? 0 ) 2

当 a ? 2e 或 a ? 0 时, g ? x ? 只有一个零点 当 0 ? a ? 2e 时, g ? x ? 有两个零点 ??6 分

(2)不妨设 x1 ? x2 ,由(1)知 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 递减,∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ?

y ? x ln x 在 ?1, ?? ? 上递增,∴ x1 ln x1 ? x2 ln x2
则不等式可化为 f ? x1 ? ? kx1 ln x1 ? f ? x2 ? ? kx2 ln x2 令 h( x) ? f ? x ? ? kx ln x ,则问题等价于 h( x) 在 ?1, ?? ? 存在减区间

h?( x) ? f ? ? x ? ? k (ln x ? 1) ?
即k ?

?1 ? 2 ln 2 x ? k (ln x ? 1) ? 0 有解 x3

1 ? 2 ln 2 x 1 ? 2ln 2 x 有解,令 m( x) ? 3 , 3 x (ln x ? 1) x (ln x ? 1)

m?( x) ?

?6 x 2 (ln x ? 1) ? 3x 2 ln x ? 6 x 2 ln 2 x ln x ? 4 x 2 ?0 x6 (ln x ? 1)2

∴ m( x) 在 ?1, ?? ? 递减,∴ m( x) ? m(1) ? 1 ? 2ln 2 ∴ k ? 1 ? 2 ln 2 ........12 分 22 .解: ( 解法 1) ( 1 )连接 BC , 则 ?ACB ? ?APE ? 90 , 即 B 、 P 、 E 、 C 四点共
?

圆.∴ ?PEC ? ?CBA 又 A 、 B 、 C 、 D 四 点 共 圆 ,∴ ?CBA ? ?PDF ∵ ?PEC ? ?PDF ……5 分 ∴ ?PEC ? ?PDF

? ( 2 ) ∵ ?PEC ? ?PDF ∴ ?PDF ? ?PEA ? 180 ∴ F 、 E 、 C 、 D 四 点 共 圆 ,



PE ? PF ? PC ? PD

,



PC ? PD ? PB ? PA ? 2 ? (2 ? 10) ? 24

,

PE ? PF ? 24 .
解 法 2: (

…… 10 分 1 ) 连 接

BD
?

,



BD ? AD

,



EP ? AP ∴ ?PDF ? ?PDB ? ?PEA ? ?EAP ? 90 ,
∵ ?PDB ? ?EAP ,∴ ?PEC ? ?PDF ……5 分

PC PE ? PD , 即 ( 2 ) ∵ ?PEC ? ?PDF , ?EPC ? ?DPF ,∴ ?PEC ∽ ?PDF ,∴ PF

PE ? PF ? PC ? PD
∴ PE ? PF ? 24

,





PC ? PD ? PB ? PA ? 2(2 ? 10) ? 24

,

…… 10 分

23.解(1) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0, ∵曲线 C 2 的直角坐标方程为: (

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3
…… 5 分

∴曲线 C 2 的参数方程为: ?

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数) . y ? 2sin ? ? ?

(2) 设点 P 的坐标 ( 3 cos ? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

d?

| 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 | | 4sin(600 ? ? ) ? 6 | , ? 5 5
|4?6| ? 2 5 .…… 10 分 5

∴当 sin(600 ? ? ) ? ?1 时,点

P ? ? ,1? ,此时 d max ?

? 3 ? ? 2 ?

1 时,不等式为 | x-2 | +| x- 1 |? 2 , 24.解: (1)当 a=
由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点 x 到点 1、2 的距离之和大于等 于 2. ∴x?

5 1 1 5? ? 或 x ? .∴不等式的解集为 ? x | x ? 或x ? ? ……..5 分 2 2 2 2? ?

(注:也可用零点分段法求解. ) (2)∵|x-

2 2 2 2 |+|x-1|≥ ∴原不等式的解集为 R 等价于 ? 1 ≥ .又 a>0,∴a ≥ 4 a a a a

∴实数 a 的取值范围是[4,+∞).……..10 分


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