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高中数学数列知识点总结和练习


高中数学数列知识点总结
1.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。(4 种方法) (2)等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。所以 d ? 如等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? (3)等差数列的前 n 和: S n ? ;

an ? am 。 n?m

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d。 (跟下标和公式结合), S n ? na1 ? 2 2 a?b (4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 2

2.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? (a1 ? d ) 是关于 n 的一次函数,且 斜率为公差 d ;前 n 和 S n ? na1 ? 为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为___等差数列,若公差 d ? 0 ,则为_____等差数列,若公差 d ? 0 ,则为___ 数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . ( 4 ) 若是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,公差为 n d 。
2

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n=An 2 ? Bn 是关于 n 的二次函数且常数项 2 2 2

如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 (5)若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 则



An ? f ( n) , Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1
Tn 4n ? 3

如 设 { an } 与 { bn } 是 两 个 等 差 数 列 , 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 S n 和 Tn , 若 S n ? 3n ? 1 , 那 么
a n ___________; ? bn

3.等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a , ( q ? 0, an ? 0 )或 n?1 ? n (n ? 2)(4 种方法) ? q(q ? 0) an an an?1

(2)等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。

1

(3)等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q 。 ? 1? q 1? q
2

(4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。即 A ? ab 。 4.等比数列的性质: (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am gan ? a p g aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am gan ? ap 2 . 如①在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___; ②各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 a10 ?



(2) 若 {an } 是等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也是等比数列,公比为 q n 。 (3)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列。 5.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 如已知数列 3

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32

⑵已知 Sn (即 Sn ? a1 ? a2 ? L ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? 如①已知 {an } 的前 n 项和满足 Sn ? n2 ? 2n ? 1 ,求 an ;

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ? 2)
1 n n ?1



如②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

(3)已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地,形如 an ? kan?1 ? b 的递推数列都 可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。 如已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式; 2.在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _____________ (4)形如 an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b an ?1 ,求 an ; 3an ?1 ? 1

如已知 a1 ? 1, an ?

2

6.数列求和的常用方法: (1) 公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式, 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

1? 2 ? 3 ?

? n ? 1 n(n ? 1) ,12 ? 22 ? 2

? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,13 ? 23 ? 33 ? 6

? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ]. 2

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再 运用公式法求和. 如求和: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

? (?1)n (2n ?1)

(3)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么 常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 如求和 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

? nxn?1

(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选 用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ①

1 ?1? 1 ; n(n ? 1) n n ? 1
1 1 ? n?k ? n k



1 ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? k ) k n n ? k



?

n ? k ? n ,特别地当 k ? 1 时

?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

如①求和:数列 {an } 的通项公式为 an ?

2 ,求前 n 项的和; n(n ? 1)
,且 Sn=9,则 n=_____ ;

②在数列 {an } 中, a n ?

1 n ? n ?1

综合练习
1. 已知 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 A. 递增数列 B. 递减数列 ( ) D. 摆动数列 )

C. 常数列
2

2. 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 28n ,则数列 ?an ? 各项中最小项是 ( A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项

3.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64 2 4.(2009?广东)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a 5,a2=1,则 a1=(







3

A.

B.

C.

D.2

5. 已知等差数列 ?an ? 中, a 2 ? 7 , a4 ? 15 ,则前 10 项和 S10 = (A)100 (B)210 (C)380 (D)400

6. 在等差数列 ?an ? 中 a3 ? a11 ? 40 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 的值为( ) A.84 B.72 C.60 . D.48

7. 在等差数列 ?an ? 中,前 15 项的和 S15 ? 90 , a8 为( ) A.6 B.3 C.12 D.4

8. 等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项的和等于 A.160 B.180 C.200 D.220

9. 在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 的值等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300

10. 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项的和,且 Sn ? n2 ,则 ?an ? 是( ) A.等比数列,但不是等差数列 C.等差数列,且是等比数列 B.等差数列,但不是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ( )

11.设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 前 8 项和为 A.128 B.80 C.64 D.56 )

12.等比数列 {an } 中, a4 ? 4 ,则 a2 ? a6 等于???( A.4 B.8 C.16 D.32

13、若两个等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 、 Bn ,且满足 ( )

An 4n ? 2 a ? a13 ,则 5 的值为 ? Bn 5n ? 5 b5 ? b13

(A)

7 9

(B)

8 7

(C)

19 20

(D)

7 8

14.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 )

15.(2009 湖南卷文)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D. 63

16.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 =

4

17.(2010 重庆文) (2)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为( (A)5 (B)6 (C)8 (D)10



18.已知 ?an ? 数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项的和 S10 ? 70 ,则其公差 d 等于(

)

A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

19.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

20、各项都是正数的等比数列 ?an ? ,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q = 21、已知等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则 22、已知数列 ?an ? 满足 S n ? 1 ? 二、解答题 1.已知数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n 2 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式

a1 ? a5 ? a17 = a2 ? a6 ? a18

1 a n ,则 an = 4

2、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b 3 成等比数列, 求 Tn

5

3.已知 {an } 是正整数组成的数列, a1 ? 1 ,且点 ( an , an?1 )(n ? N * ) 在函数 y ? x2 ? 1 的图像上: (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 S n ,且 bn =

1 ,求 S n a n a n ?1

4. (00 全国)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ 的前 n 项和,求 Tn。

Sn } n

5.数列 ?an ? 满足 a1 =8, a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N )
?

①求数列 ?an ? 的通项公式;

1.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0,S9 ? S12 ,则前 2.已知 {an } 是等差数列,其中 a1 ? 31 ,公差 d ? ?8 。 (1)数列 {an } 从哪一项开始小于 0?

项的和最大。

(2)求数列 {an } 前 n 项和的最大值,并求出对应 n 的值.

6

3.(2009 重庆卷文)设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项 和 Sn =( )

A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3
2

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

4.在等比数列 ?an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x ? 5x ? 1 ? 0 的两个根,则 a4 ? a7 ? (

)

( A) ?

5 2

( B)

2 2

(C ) ?

1 2

( D)

1 2

5. 在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,则 a18 = 6.等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5

? log3 a10 ? (



7.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33 ,a3 a4 ? 32,an ? an?1 ①求 an ②若 Tn ? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an , 求Tn

8.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) ,证明数列 ?an ?1 ? 是等比数 列.

(1)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例 1. 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

7

2.错位相减法求和: 如: ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. 1.求和: S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

2.设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

3.已知等差数列 {an } 满足 a 2 ? 0 , a6 ? a8 ? ?10. (1)求数列 {an } 的通项公式及 S n (2)求数列 {

an } 的前 n 项和 2 n ?1

4 .数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且满足 a1

? 1 , 2Sn ? (n ? 1)an .
1 1 ? ? 2a1 3a2 ? 1 . (n ? 1)an

(1)求{ an }的通项公式; (2)求和 Tn =

8


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