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广东省佛山市三水中学2015~2016学年高二下学期第3周限时训练文科数学试题


2015~2016 年三水中学高二年级下学期第 3 周文科数学限时训练
一、选择题:(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1、设函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ,当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,函数 f ( x) 的平均变化率为( )

A

2 .1

B 1 .1

C 2


D 1

2、曲线 y ? 4 x ? x 3 在点 ?? 1,?3? 处的切线方程是( A. y ? 7 x ? 4 B. y ? 7 x ? 2 C. y ? x ? 4

D. y ? x ? 2 )

3、曲线 y ? x 3 ? x ? 2 在 P 点处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则此切线方程是( A

y ? 4x

B

y ? 4x ? 4

C

y ? 4x ? 8
)

D

y = 4x 或 y = 4x - 4

4、已知直线 y=x+ a 与曲线 y ? ln x 相切,则 a 的值为( A.1 B.2 C.-1

D.-2

1 3 1 2 5 、已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 x ? ,则与 f ( x ) 图象相切的斜率最小的切线方程为 3 3
( ) B x? y ?3? 0 C x? y ?3? 0 D 2x ? y ? 3 ? 0 A 2x ? y ? 3 ? 0

6、设函数 f ( x ) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如图示,则导函数 y ? f ' ( x) 的图象可能 为 ( )

7、函数 y ? tan x 的导数是( A



cos 2 x ? cos x

B

8、曲线 y ? sin( 2 x ? A.1

?
2

1 cos 2 x

C

cos 2 x ? cos x
)

D

)在 x ?
B.-1

?

?1 cos 2 x

12

处切线的斜率为( C.2

D.-2

9、函数 y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为( 2
1



A (?1, 1]

B (0, 1]

C [1, ? ?)

D (0, ? ?)


10、若函数 y ? kx ? ln x 在 (1, ? ?) 单调递增,则 k 的取值范围是(

A (??, ? 2]

B (??, ? 1]


C [2, ? ?)

D [1, ? ?)

11、若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则(

A e x2 ? e x1 ? ln x2 ? ln x1

B e x1 ? e x2 ? ln x2 ? ln x1 D x2 e x1 ? x1e x2

C x2 e x1 ? x1e x2
12、设函数 f ( x ) ?

2 ? ln x ,则( x



A x?

1 为 f ( x) 的极大值点 2

B x?

1 为 f ( x) 的极小值点 2

C x ? 2 为 f ( x) 的极大值点

D x ? 2 为 f ( x) 的极小值点

二、填空题: (本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13、质点运动规律为 s ?

1 2 t ? 4t ,则质点在 t ? 3 时的瞬时速度是 2

m/s.

14、已知函数 f ( x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图像如图所示, 则函数 f ( x) 的单调减区间是________ _______。

15、已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? 3x ? 3)e x ,设 t ? ?2 ,函数 f ( x) 在 [?2, t ] 上为单调函数时,t 的取值范围是 。 。

16、若函数 y ? x 3 ? 2ax ? a 在 (0, 1) 内无极值,则实数 a 的取值范围是 姓名 学号 班级 成绩

2015~2016 年三水中学高二年级第 3 周文科数学限时训练答卷
一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题 17、21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (常数 a ? 0) .
2

2

,f (1)) 处的切线方程; (Ⅰ) 当 a ? 3 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1
(Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 在区间 (1, ea ) 上零点的个数( e 为自然对数的底数).

18.在平面直角坐标系 xOy 中,以 C (1, ?2) 为圆心的圆与直线 x ? y ? 3 2 ? 1 ? 0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 (3, 4) 且截圆 C 所得的弦长为 2 5 的直线方程.

19 .如图,在三棱柱 BCD ? B1C1D1 与四棱锥 A ? BB1D1D 的组合体中,已知 BB1 ? 平面

BCD ,四边形 ABCD 是平行四边形, ?ABC ? 120? , AB ? 4 , AD ? 2 , BB1 ? 1 .
3

设 O 是线段 BD 的中点. (1)求证: C1O // 平面 AB1D1 ; (2)证明:平面 AB1D1 ? 平面 ADD1 ; (3)求点 D 到平面 AB1D1 的距离. A

D1

C1

D O

B1 C B

(第 19 题)

1 x2 y 2 20.椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F2 (1, 0) ,离心率为 ,已知点 M 坐标是 2 a b ( 0, 3 ) ,点 P 是椭圆 C 上的动点.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 | PM | ? | PF2 | 的最大值及此时的 P 点坐标.

2015~2016 年三水中学高二年级第 3 周文科数学限时训练答案
一、选择题 A D D C B D B B B D C D 二、填空题 13、 ? 1 , 14、 (??, ? 2) 或 (2, ? ?) ,
4

15、 ? 2 ? t ? 0

16、 a 的取值范围为 ? ??, 0? ? ? , ?? ?

?3 ?2

? ?
3 . x

17 解:(Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x) ? x2 ? 3ln x ? f ?( x) ? 2 x ?

又? f (1) ? 1 , ? f ?(1) ? ?1 . ,f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) .即 x ? y ? 2 ? 0 . ∴曲线 y ? f ( x) 在点 (1 (Ⅱ)(1)下面先证明: ea >a (a ? 0) . 设

g (a) ? ea ? a (a ? 0) ,则 g?(a) ? ea ?1 ? e0 ?1 ? 0 (a ? 0) ,

且仅当 g ?(a) ? 0 ? a ? 0 ,所以, g (a ) 在 [0,??) 上是增函数,故 g (a) ? g (0) ? 1 ? 0 . 所以, e ? a ? 0 ,即 ea >a (a ? 0) .
a

a 2x2 ? a ? (2)因为 f ( x) ? x2 ? a ln x ,所以 f ?( x) ? 2 x ? ? x x
因为当 0 ? x ?

2( x ?

2a 2a )( x ? ) 2 2 . x

2a 2a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2



? 2a ? a 2a 0, ? a ? ea ? e2 a (a ? 0, a ? 2a) ? ? ea ,所以 f ( x) 在 ? ? 上是减函数,在 ? 2 ? 2 2 ? ? 2a ? 2a a a , ?? ? ) ? (1 ? ln ). 上是增函数.所以, f ( x)min ? f ( ? ? 2 2 2 ? 2 ?

(3)下面讨论函数 f ( x ) 的零点情况. ①当

a a (1 ? ln ) ? 0 ,即 0 ? a ? 2e 时,函数 f ( x) 在 (1, ea ) 上无零点; 2 2 a a 2a 2a (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时, ? e ,则1 ? ? ea 2 2 2 2

②)当

而 f (1) ? 1 ? 0 , f (

2a ) ? 0 f (ea ) ? 0, ∴ f ( x) 在 (1, ea ) 上有一个零点; 2

③当

a a 2a (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时, ea ? ? e ?1 , 2 2 2

由于 f (1) ? 1 ? 0 , f (

2a a a ) ? (1 ? ln ) ? 0 , 2 2 2
5

f (ea ) ? e2a ? a ln ea ? e2a ? a2 ? (ea ? a)(ea ? a) ? 0 ,
所以,函数 f ( x ) 在 (1, ea ) 上有两个零点. ……………………………………13 分

综上所述, f ( x ) 在 (1, ea ) 上,我们有结论:当 0 ? a ? 2e 时,函数 f ( x ) 无零点;当

a ? 2e 时,函数 f ( x) 有一个零点;当 a ? 2e 时,函数 f ( x) 有两个零点.
18 解析: (1)设圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 , 依题意得,所求圆的半径, r ?

|1 ? 2 ? 3 2 ? 1| ? 3, 2

∴所求的圆方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 . (2)∵圆方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 , 当斜率存在时,设直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 3) , 即 kx ? y ? 4 ? 3k ? 0 , 由圆心 C (1, ?2) 到直线的距离 d ?

| k ? 2 ? 4 ? 3k | k 2 ?1

? 2,



| k ?3| k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

4 , 3

∴直线方程为 y ? 4 ?

4 ( x ? 3) ,即 4 x ? 3 y ? 0 , 3

∴当斜率不存在时,也符合题意,即所求的直线方程是 x ? 3 . ∴所求的直线方程为 x ? 3 和 4 x ? 3 y ? 0 .

OA , 19. 解析: (1) 证明: 取 B1D1 的中点 E , 连结 C1E ,AE , 则 A, O, C 共线, 且 C1E ? OA ,
∵ BCD ? B1C1D1 为三棱柱, ∴平面 BCD // 平面 B1C1D1 , 故 C1E // OA , ∴ C1EAO 为平行四边形, 从而 C1O // EA . 又∵ C1O ? 平面 AB1D1 , EA ? 平面 AB1D1 , ∴ C1O // 平面 AB1D1 .
? (2)证明:∵ ?ABC ? 120 , AB ? 4 , AD ? 2 ,则

D1 E D O A
(第 19 题)

C1

B1 C B

BD ? 4 ? 16 ? 2 ? 2 ? 4 cos600 ? 2 3 ,
6

2 2 2 则 AB ? 16 ? AD ? BD , ?ADB ?

?
2



即 BD ? AD , 又 BB1 ? 平面 BCD , BD ? 平面 BCD , BB1 ? BD , 在三棱柱 BCD ? B1C1D1 中, BB1 // DD1 ,则 BD ? DD1 , 而 DD1 ? AD ? D ,∴ BD ? 平面 ADD1 , 又 BD // B1D1 ,得 B1D1 ? 平面 ADD1 , 而 B1D1 ? 平面 AB 1D 1, ∴平面 AB1D1 ? 平面 ADD1 . (3)解:由题意得,设点 D 到平面 AB1D1 的距离 h ,而 VD? AB1D1 ? VB1 ? ADD1 , 而三棱锥 B1 ? ADD 1 的高为 B 1D 1 ?2 3, 由 ( 2 ) 可 知 ?AB 1D 1 为 直 角 三 角 形 , AD 1 ?

22 ? 1 ? 5 ,

S ?AB1D1 ?

1 ? 2 3 ? 5 ? 15 , 2 1 3 1 1 ? ? 2 ?1? 2 3 , 3 2

∴由 VD? AB1D1 ? VB1 ? ADD1 得, ? 15 ? h ? 解得 h ?

2 5 2 5 ,即点 D 到平面 AB1D1 的距离为 . 5 5
c 1 ? ,解得 a ? 2 , a 2

20.解析: (1)由题可得 c ? 1 , e ? 则 b ? a2 ? c2 ? 3 , 椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

2 2 (2)∵点 M 是圆 C : x ? ( y ? 3) ? 1 上的动点,∴ | PM |?| PC | ?1 ,

设椭圆的左焦点为 F1 ( ? 1,0 ) ,依据椭圆的定义知, | PF |? 4? | PF 1 |, ∴ | PM | ? | PF | ? | PC | ?1 ? 4? | PF 1 |?| PC | ? | PF 1 | ?5 ?| CF 1 | ?5 , 当点 P 是 CF1 延长线与椭圆的交点时, | PC | ? | PF 1 | 取得最大值 | CF 1 |? 10 ,

7

∴ | PM | ? | PF | 的最大值为 10 ? 5 , 此时直线 CF1 的方程是 y ? 3x ? 3 ,

? y ? 3x ? 3 ? 2 点 P 的坐标是方程组 ? x 2 的解,消去 y 得, 13x ? 24x ? 8 ? 0 , y2 ?1 ? ? 3 ?4
解得 x ?

? 12 ? 2 10 ? 12 ? 2 10 3 ? 6 10 ,根据图形可知 x p ? , yp ? , 13 13 13 ? 12 ? 2 10 3 ? 6 10 , ) . 13 13

此时的 P 点坐标为(

8


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