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吉林省通化市第一中学2014届高三上学期第二次月考数学(理B)试题


本试卷分选择题和非选择题两部分共 22 题,共 150 分,共 2 页.考试时间为 120 分钟. 考试结束后,只交答题卡和答题纸.

第Ⅰ 卷(选择题,共计 60 分)
一、选择题(总计 12 小题,每小题 5 分) 1.设集合 A={1,2},则满足 A∪ B={1,2,3}的集合 B 的个数为 A.8 B.4 C.3 D.1 2.已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? R) ,则“ f (x ) 是奇函数”是 ? ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.曲线 y ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
2



2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为 x A. 2 ln 2 B. 2 ? ln 2 C. 4 ? ln 2 D. 4 ? 2 ln 2

4.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不 . 正确的是 .. A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 D. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 真命题,则实数 a 的取值范围为 A.

2 2 5. 若命题 p : ?x ??1,2? , x ? a ;命题 q : ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ,若命题“ p ? q ”是

? ??, ?2?

B.

? ?2,1?

C.

?x | x ? ?2或x ? 1?

D. ?1, ?? ?

1 x ,则 tan ? = 5 4 3 3 4 A. B. C. ? D. ? 3 4 4 3 7.已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则 A. ? // ? ,且 l // ? B. ? ? ? ,且 l ? ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l 1 ? ? ? 8. 函 数 f ( x ) ? cos ( x ? ? ) 对 任 意 的 x ? R , 都 有 f ( ? x) ? f ( ? x) , 若 函 数 2 3 3
6.设 ? 是第二象限角, P ? x,4? 为其终边上的一点,且 cos ? ?

g ( x) ? 3 si n ?x ? ? ) ? 2 ,则 g ( ) 的值是 ( 3
A.1 B.-5 或 3 C.-2 D.

?

1 2

9.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的直观图及三视图如下图所示,D 为 AC 的中点,则下列命题是 假命题的是

A.AB1∥平面 BDC1 B.A1C⊥平面 BDC1 C.直三棱柱的体积 V=4 D.直三棱柱的外接球的表面积为 4 3π

10. 如图, 平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面 A?BD ? 平面 BCD ,若四面体 A? ? BCD 顶点在同一 球面上,则该球的体积为 A.

3? 2

B. 3?

C.

2? 3

D. 2?

11.函数 f ( x) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? )为奇函数,该函数的部分图像如图所示,

A, B 分别为最高点与最低点,并且 AB ? 2 2 ,则该函数图像的一条对称轴为
A. x ?

2

?

B. x ?

?
2

C. x ? 1

D. x ? 2

12.已知函数 f ( x) ? x x ? 4 A. (2,2 ? 2 2 )

( x ? R ) ,若存在正实数 k ,使得方程 f ( x) ? k 有两个根 a ,
C. (?2,2) D. (?4,2)

b ,其中 2 ? a ? b ,则 ab ? 2(a ? b) 的取值范围是
B. (?4,0)

第Ⅱ 卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.四棱锥 P—ABCD 的所有侧棱长都为 5 ,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为 . 14.一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm ) ,俯视图中圆与四边形相切,且该几 何体的体积为

26 2 ? cm 3 ,则该几何体的高 h 为 3

.

1+tanα 1 =2 013,则cos2α+tan2α=________. 1-tanα 16.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ,且当
15.若

?1? x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? ? ? ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 ? a ? 1? 在区 ?2? 间 (?2, 6] 内恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范围是 .
三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
2 设 p:函数 f ( x) ? lg( ax ? 4x ? a) 的定义域为 R; q:不等式 2 x ? x ? 2 ? ax ,对
2

x

q”为假命题,求实数 a 的取值范围. ? x ∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧

18. (本小题满分 12 分) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C (x) ,当年产 .. 量不足 80 千件时, C ( x) ?

1 2 x ? 10 x (万元).当年产量不小于 80 千件时, 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ? 1450 (万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的 .. x

商品能全部售完. (1)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; .. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? ..

19. (本小题满分 12 分)

如 图 所 示 , 正 方 形 ABCD 与 直 角 梯 形 ADEF所 在 平 面 互 相 垂 直 , ?ADE ? 90 , AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 . (1)求证: AC // 平面 BEF ;
0

(2)求四面体 BDEF 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 1 π π 已知函数 f(x)=(1+ )sin2x+msin(x+ )sin(x- ). tanx 4 4 π 3π (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间[ , ]上的取值范围; 8 4 3 (2)当 tan α=2 时,f(α)= ,求 m 的值. 5

21. (本小题满分 12 分) 已知矩形 ABCD , AD ? 2 AB ? 2 ,点 E 是 AD 的中点,将△ DEC 沿 CE 折起到△ D' EC 的位置,使二面角 D'? EC ? B 是直二面角. (1)证明: CD' ⊥ BED ' ; 面 (2)求二面角 D'? BC ? E 的余弦值.

22. (本小题满分 12 分)
2 ax 已知函数 f ( x) ? x e , x ? R, 其中 e 为自然对数的底数, a ? R . (1)设 a ? ?1, x ?[?1,1] ,求函数 y ? f ( x) 的最值;

(2)若对于任意的 a ? 0 ,都有 f ( x) ? f ( x) ?
'

x 2 ? ax ? a 2 ? 1 ax e 成立,求 x 的取值范围. a

高三理数答案

2 (Ⅱ )当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60 ) ? 950 .

1 3

此时,当 x ? 60 时, L(x) 取得最大值 L(60) ? 950万元. ………………8 分

当 x ? 80 时,

? 10000? L( x) ? 1200? ? x ? ? x ? ? ? 1200? 2 x ? 10000 ? 1200? 200 ? 1000 x

10000 时,即 x ? 100 时 L(x) 取得最大值 1000 万元.………………11 分 x ? 950 ? 1000
此时,当 x ? 所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. ………………………………………………………………………………………………12 分

21. 解:(Ⅰ AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, )∵

∴ BAE,△CDE 是等腰直角三角形,∠ △ BEC=90° ,即 又∵ 平面 D'EC⊥ 平面 BEC,面 D'EC∩面 BEC=EC ∴ BE⊥ D'EC,∴ 面 BE⊥ CD’. 又 CD’⊥ ED’,且 BE∩ED’=E, 故 C D′⊥ BED’ 面 ……………4 分 (Ⅱ )法一:设 M 是线段 EC 的中点,过 M 作 MF⊥ BC 垂足为 F,连接 D’M,D'F,则 D'M⊥ EC. ∵ 平面 D'EC⊥ 平面 BEC ∴ D'M⊥ 平面 EBC ∴ 是 D'F 在平面 BEC 上的射影,由三垂线定理得:D'F⊥ MF BC ∴ D'FM 是二面 D'-BC-E 的平面角.…………8 分 ∠ 在 Rt△D'MF 中, D' M ?

1 2 1 1 EC ? , MF ? AB ? 2 2 2 2

tan ?D' FM ?
∴ 二 面

D' M 3 ? 2 cos?D' FM ? MF 3 ,
D’-BC—E 的 余 弦 值 为



3? 3

…………………………………………………12 分,

法二:如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 B( 2 ,0,0), C (0, 2 ,0), D' (0,

2 2 , ) 2 2

设平面 BEC 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ;平面 D'BC 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 )

2 2 BC ? (? 2 , 2 ,0), D' C ? (0, 2 ,? 2 ) ,
?n2 ? BC ? 0 ? ? ?n2 ? D' C ? 0 ?
?? 2 x 2 ? 2 y 2 ? 0 ? 取 x2=l ? 2 2 ? y ? z ?0 2 2 ? 2 2

得 n2 ? ?1,1,1?,? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

?

3 3

∴ 二面角 D'-BC-E 的余弦值为

3 3 ………………12 分

22.解: )当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? e , f ?( x) ? ? x ? ( x ? 2) ? e . ……1 分 (Ⅰ
2 ?x ?x

当 x 在 [ ?1,1] 上变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
y ? f ?( x)
y ? f ( x)

?1

(?1, 0)


0 0 0

(0,1)


1

e

?

?

1/e

……4 分 ∴x ?[?1,1] 时, f ( x)max ? f (?1) ? e , f ( x)min ? f (0) ? 0 . ……5 分


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