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2013届高三数学暑假作业 (6)


2013 届高三备战 9 月摸底考试模拟试卷 (6)
m, 1. 已 知 集 合 A ? ? ? 1 , 3 ? , B ? ? 3, 4 ? , A ? B ? ?1, 2, 3, 4 ? 则 实 数

m ?


? ?

2. 已 知 向 量 a ? ( 2 ,y ), b ? ( ? 1, y ) , 若 2 a 与 b 垂 直 , 则 实 数 y= . . .

?

?

3.若复数 z ? 1 ? 2 i ( i 为虚数单位) ,则 z ? z ? z ? 4.已知圆锥的高位 4,底面半径为 3,则圆锥的侧面积为 5.当 a ? 1 时, 4 a ?
1 a ?1

的最小值为



6.某校为了了解高三同学暑假期间学习情况,抽查了 100 名同学, 统计他们每天的平均学习时间,汇成频率分布直方图,则则 100 名同学中学习时间在 6-8 小时内的人数为 . 7.阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 . 8.直线 y ? k x ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2 ) ? 4 相交于 M , N 两点,
2 2

若 M N ? 2 3 ,则 k 的取值范围是



? ? x ? y ? ? .? ? ?0 ? x ? 2 .? ? ? ? ? ? 9.在区域 M ? ? ( x , y ) ? ? 内的频 ? 内随机撒一粒黄豆,落在区域 N ? ? ( x , y ) ? y ? x . ? 0 ? y ? 4 .? ? ? ? x ? 0. ? ? ? ? ? ?

率是


x 2

10.在下列 4 个函数: y ? s in ①

; y ? sin x ; y ? ? tan x ; y ? ? co s 2 x .其中在区间 ( 0 , ② ③ ④ .

?
x

)

上增函数且以 ? 为周期的函数是(把所有符合条件的函数序列号都填上)

11.函数 f ( x ) 在定义域 R 内可导,若 f ( x ) ? f ( 2 ? x ) ,且当 x ? ( ? ? ,1) 时, ( x ? 1) f ? ( x ) ? 0 则
1 f (0 ) , f ( ) , f (3) 的大小关系是(要求用“ ? ”连结) 2

. .

12.在数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ( n ? N *, n ? 3) ,则 a 2 0 1 0 ? 13.如图, 过抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A , B ,
2

交其准线于点 C ,若 C B ? 2 B F ,且 F A ? 3 ,则此抛物线的方程 为 .
1

14.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l ,使得对于任意 x ? M ( M ? D ) ,有 x ? l ? D , 且 f ( x ? l ) ? f ( x ) ,则称 f ( x ) 为 l 上的高调函数,如果定义域是 [0, ? ? ) 的函数 f ( x ) ? ( x ? 1) 为
2

[0, ? ? ) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是



二、解答题 15.已知向量 a , b ,向量 c ? 2 a ? b ,且 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为. 6 0 ? (1)求 c ; (2)若向量 d ? m a ? b ,且 d // c ,求实数 m 的值.
? ? ? ?
?
? ?

?

?

?

?

?

?

?

16.在四棱锥 S ? A B C D 中, 底面 A B C D 是菱形,? S B C , ? S D C 为正三角形,E 为侧棱 S C 上一点. (1)当 E 为侧棱 S C 的中点时,求证:SA//平面 B D E ; (2)求证:平面 B D E ? 平面 S A C .

2

17.已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

1 2

, 一条准线为 l : x ? 4 , 若椭圆 C 与 x 轴交于

A , B 两点,P 是椭圆 C 上异于 A , B 的任意一点,直线 P A 交直线 l 于点 M ,直线 P B 交直线 l 于点
N ,记直线 P A , P B 的斜率分别为 k 1 , k 2 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 k 1 , k 2 的值; (3)求证:以 M N 为直径的圆过 x 轴上的定点,并求 出定点的坐标.

18.某企业有两个生产车间分别在 A,B 两个位置,A 车间有 100 名员工,B 车间有 400 名员工,现 要在公路 AC 上找一点 D,修一条公路 BD,并在 D 处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐, 已知 A,B,C 中任意两点间的距离均有 1km,设∠BDC=α,所有员工从车间到食堂步行的总路程 为 S. (1)写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围;
D A

(2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 S 最少?

C

B

3

19.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? ln x , a ? R .
2

(1)若函数 f ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)令 g ( x ) ? x ? 2 ax ? f (x ) ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e ( e ? 2.71828 ??? 时,函数 g ( x ) ] )
2

的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

20.已知等差数列 ? a n ? 的公差是 d , S n 是该数列的前 n 项和. (1)试用 d , S m , S n 表示 S m ? n ,其中 m , n 均为正整数; (2)利用(1)的结论求解:“已知 S m ? S n ( m ? n ) ,求 S m ? n ”; (3)若各项均为正数的等比数列 ? b n ? 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,试类比问题(1)的结论, 写出一个相应的结论且给出证明,并利用此结论求解问题:“已知各项均为正数的等比数列 ? b n ? , 其中 S 1 4 ? 5, S 2 0 ? 1 5 ,求数列 ? b n ? 的前 50 项和 S 5 0 .”

4

2013 届高三备战 9 月摸底考试模拟试卷 (6) 附加题
B.选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?
?3 ?0 a ? ? ,其中 a ? R ,若点 P ( 2 , ? 3) 在矩阵 A 的变换下得到点 P ? (3, 3) . ? 1?

(1)求实数 a 的值; (2)求 A 的特征值极其对应的特征向量.

C.选修 4-4,:极坐标与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?
? ?x ? s i n
? y ? c o s?
2

? ? [ 0 , ?2 , 曲 线 D 的 极 坐 标 方 程 为 )

? s in (? ?

?
4

)? ?

5 2 2

.

(1)将曲线 C 的参数分成化为普通方程; (2)判断曲线 C 与曲线 D 有无公共点?并说明理由.

5

22.如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B 1C 1 中,? A C B ? 9 0 ? ,? B A C ? 3 0 ? , B C ? 1 , A A1 ? 是棱 C C 1 的中点. (1)求证: A1 B ? A M ; (2)求直线 A M 与平面 A A1 B 1 B 所成角的正弦值.
A1

6 ,M

C1
B1

M

C

A

B

(第 22 题图)

23.某电视台综艺频道组织闯关游戏, 游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关。 闯关者闯第一 关成功得 3 分,闯第二关成功得 3 分,闯第三关成功得 4 分。现有一位参加游戏者单独闯第一关、 第二关、第三关成功的概率分别为
1 1 1 , , .记该参赛者闯三关所得总分为 ? . 2 3 4

(1)求该参赛者有资格闯第三关的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

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