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2.4.2等比数列的性质111111111


设数列 ?an ?为等差数列,且 m, n, p, q ? N ?, 若m ? n ? p ? q , 则a m ? a n ? a p ? a q .

若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p .
思考:等比数列有没有同样的性质?

2.在等比数列?an ?中,a2 a8 ? a3a7是否成立? a5 ? a1a9是否成立?
2

思考:你能得到更一般的结论吗?

性质2: 若等比数列{an}的首项为a1 ,公比q, 且 m , n , s , t ? N+

若m+n=s+t ,则aman=asat 2 若m ? n ? 2 s, 则am an ? as .
特别地,a1an=a2an-1=a3an-2=…

问:类比等差数列的性质猜想在等比数列{a n }中 a2 a5 a7 ? a1a4 a9是否成立?

证明 则an ? a1q n?1 , am ? a1q m?1 ,
从而an am ? a1 q
2 m? n ? 2
2 s ?t ?2

同理可得 as at ? a1 q
又因为m ? n ? s ? t 所以am an ? as at .

要积极 思考哦

(1)等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则 a5=________;

[解析]

(1)由等比数列的性质,得

2 a5

=a3a7=16, ∵a3>0,a7>0,∴a5>0,∴a5=4.

练习:已知等比数列?an ?

?1? 若an>0,a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25, 求a3 ? a5的值。

? 2? a6 ? 6, a9 ? 9, 求a3的值.

?3? an>0, a1a100 ? 100, 求lg a1 ? lg a2 ??? lg a100的值。

? ?等比数列的性质 等比数列的性质? ? ?等比数列与等差数列的关系


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