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2015-2016学年江西省九江市高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江西省九江市高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共 16 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.函数 y=2sin(4x+ A.2π B.π C. )+1 的最小正周期是( D. , 是两个不共线的向量, 若 =4 + 与 = ﹣λ 共线, )

2. [重点中学做]已知向量 则 λ 的值为( A.﹣4 B.﹣ ) C.

D.4 )

3.[普通中学做]已知向量 =(1,k) , =(2,3) ,若 ∥ ,则实数 k 的值为( A.﹣ B. C.﹣ D.

4.经调查统计,在某十字路中红亮起时排队等候的车辆数及相应概率如下: 2 3 排队车辆数 0 1 ≥4 x 0.3 0.3 0.2 0.1 概率 则该十字路口红灯亮起时至多有 2 辆车排队等候的概率是( A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 5.执行如图的程序后,输出的结果是( ) )

A.1,3 B.4,1 C.0,0 D.4,﹣2 6.[重点中学做]已知 tan(α﹣ A. B.3 C.﹣ )=2,则 tanα=( )

D.﹣3 +β)的值为( C. D.﹣ )

7.已知 sinβ= ,则 cos( A.﹣ B.

8.某学校决定从高一(1)班 60 名学生中利用随机数表法抽取 10 人进行调研,先将 60 名 学生按 01,02,…,60 进行编号;如果从第 8 行第 7 列的数开始从左向右读,则抽取到的 第 4 个人的编号为( ) (下面摘取了第 7 行到第 9 行)
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8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931. A.16 B.38 C.21 D.50 9.如图所示,在正方形 ABCD 中,E、F、G 分别是边 BC、CD、DA 的中点,令 x= ? , y= ? ,z= ? ,则 x,y,z 的大小关系为( )

A.x=y>z B.x=z>y C.y=z>x D.x=y<z 10.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是( )

A.0

B.

C.1+

D.1+

11.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f

A.﹣ B. C.2 D.﹣2 12.若函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)在 x=π 处取最大值,则( ) A.f(x﹣π)一定是奇函数 B.f(x﹣π)一定是偶函数 C.f(x+π)一定是奇函数 D.f(x+π)一定是偶函数 13.[重点中学做]定义:[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1,给出 下列结论: ①函数 y=[sinx]是奇函数; ②函数 y=[sinx]是周期为 π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点;
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④函数 y=[sinx]﹣[cosx]的值域为[﹣1,0,1]. 其中正确结论是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.②③ 14.[普通中学做]定义:[x]表示不超过 x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.若 f (x)=sin(x﹣[x]) ,则下列结论中正确的是( ) A.y=f(x)的最小值为 0,最大值为 sin1 B.y=f(x)无最小值,最大值为 sin1 C.y=f(x)的最小值为 0,无最大值 D.y=f(x)无最小值,无最大值 15.[重点中学做]设 H、P 是△ABC 所在平面上异于 A、B、C 的两点,用 , , , 分 别表示向量 , , , .已知 ? + ? = ? + ? = ? + ? ,| |=1,| |= , | |= ,则∠C=( ) A. B. C. D.

16.[普通中学做]设 H、P 是△ABC 所在平面上异于 A、B、C 的两点,用 , , , 分 别表示向量 , , , .已知 ? + ? = ? + ? = ? + ? ,| |=| |=5,| |=6,则| |=( ) A. B. C. D.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 17.已知向量 =(1,2) , ﹣ =(0,x) , ⊥ ,则 x=



18.由下面样本数据利用最小二乘法求出的线性回归方程是 =﹣20x+a,则实数 a= x 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 y 90 84 83 80 75 68 19.若有放回地从 1,2,5,7 中任取两数,则这两数的和为奇数的概率为 20.[重点中学做]已知函数 f(x)=sin(ωx+ 的取值范围是 . , ]上单调递增,则 ω 的取值范 ) (ω>0)在(



,π)上单调递减,则 ω

21.[普通中学做]若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在[ 围是 .

三、解答题(共 6 小题,满分 60 分) 22.运行如图程序框图. (1)当输入 x 的值等于 2π 时,求输出 y 的值; (2)当输出 y 的值最大时,求输入 x 的值.

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23.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,它们的中位数相同,平均数也相同. (1)求 m,n 的值; (2)若从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据,求乙的数据大于甲的数据的概率.

24.[重点中学做]如图所示,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π) ,它们的终边分别与 单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的横坐标为﹣ . (1)求 (2)若 ? = 的值; ,求 sinβ 的值.

25.[普通中学做]如图所示,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π) ,它们的终边分别与 单位圆相交于点 P、Q,已知点 Q 的横坐标为 . (1)求 (2)若 ? 的值; = ,求 cosα 的值.

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26.某班 n 名学生的综合素质测评成绩(百分制)频率分布直方图如图所示,已知 70~80 分数段的学生人数为 27 人,90~95 分数段的学生中女生为 2 人. (1)求 a,n 的值; (2)若从 90~95 分数段内的学生中随机抽取 2 人,求其中至少有一名女生的概率.

28.如图所示,四边形 ABCD 中,AB=AD=2,△BCD 为正三角形,设∠BAD=α(α∈(0, π) ) . (1)当 α= 时,求 ? 的值;

(2)[重点中学做]当 α 为多少时,△ABC 的面积 S 最大?并求 S 的最大值. (3)[普通中学做]记△BCD 的面积 S=f(α) ,求函数 g(α)=f(α)﹣2sinα 的最小值.

请考生在第 29~31 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (共 3 小题,满 分 10 分) 29.已知向量 =(1,2) , =(﹣1,2) , =(5,2) . (1)求满足 =m +n 的实数 m、n; (2)若( +k )⊥ ,求实数 k 的值. 30.已知向量 , 是夹角为 60°的两个单位向量, = ,且 . (1)求实数 λ 的值; (2)求向量 的模| |. 31.已知向量 与 的夹角为 30°,且| |=2,| |= . (1)求| ﹣2 |的值; (2)设向量 = +2 , = ﹣2 ,求向量 在 方向上的投影.

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2015-2016 学年江西省九江市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 16 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.函数 y=2sin(4x+ A.2π B.π C. )+1 的最小正周期是( D. )

【考点】正弦函数的图象. 【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的周期为 【解答】解:函数 y=2sin(4x+ 故选:C. ,得出结论. = ,

)+1 的最小正周期是

2. [重点中学做]已知向量 则 λ 的值为( A.﹣4 B.﹣ ) C.



是两个不共线的向量, 若 =4

+

与 =

﹣λ

共线,

D.4

【考点】平行向量与共线向量. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解:由题意可得 = 故选:B. 3.[普通中学做]已知向量 =(1,k) , =(2,3) ,若 ∥ ,则实数 k 的值为( A.﹣ B. C.﹣ D. ) ,解得 λ=﹣ ,

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】利用平面向量平行的坐标表示,列出方程求出实数 k 的值. 【解答】解:向量 =(1,k) , =(2,3) ,且 ∥ , 所以 1×3﹣2k=0, 解得 k= . 故选:B. 4.经调查统计,在某十字路中红亮起时排队等候的车辆数及相应概率如下: 2 3 排队车辆数 0 1 ≥4 x 0.3 0.3 0.2 0.1 概率 则该十字路口红灯亮起时至多有 2 辆车排队等候的概率是( A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
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【考点】几何概型. 【分析】利用古典概型的概率公式解答. 【解答】解:由题意,该十字路口红灯亮起时至多有 2 辆车排队等候即排队等候的车辆数为 0,1,2, 所以 P=1﹣(0.2+0.1)=0.7; 故选 A. 5.执行如图的程序后,输出的结果是( )

A.1,3 B.4,1 C.0,0 D.4,﹣2 【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出 a,b 的值即可. 【解答】解:模拟直线程序,可得 a=1,b=3 a=1+3=4, b=4﹣3=1, 输出 a,b 的值分别为:4,1. 故选:B.

6.[重点中学做]已知 tan(α﹣ A. B.3 C.﹣

)=2,则 tanα=(



D.﹣3

【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由条件利用两角和的正切公式,求得 tanα 的值.

【解答】 解: ∵已知 tan (α﹣

=2, ) 则 tanα=tan[ (α﹣

) +

]=

= 故选:D.

=﹣3,

7.已知 sinβ= ,则 cos(

+β)的值为(



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A.﹣

B.

C.

D.﹣

【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】运用诱导公式即可化简求值. 【解答】解:∵sinβ= , ∴cos( 故选:C. 8.某学校决定从高一(1)班 60 名学生中利用随机数表法抽取 10 人进行调研,先将 60 名 学生按 01,02,…,60 进行编号;如果从第 8 行第 7 列的数开始从左向右读,则抽取到的 第 4 个人的编号为( ) (下面摘取了第 7 行到第 9 行) 8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 A.16 B.38 C.21 D.50 【考点】系统抽样方法. 【分析】根据随机数表法的读法,可得答案. 【解答】解:找到第 8 行第 7 列的数开始向右读,第一个符合条件的是 16, 第二个数 59, 第三个数 38, 第四个数 21. ∴第 4 个样本个体的编号是 21, 故选:C, 9.如图所示,在正方形 ABCD 中,E、F、G 分别是边 BC、CD、DA 的中点,令 x= y= ? ,z= ? ,则 x,y,z 的大小关系为( ) ? , +β)=sinβ= .

7931.

A.x=y>z

B.x=z>y

C.y=z>x

D.x=y<z

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】将正方形放入坐标系中,设正方形的边长为 2,求出对应点的坐标,利用向量数量 积的坐标公式进行求解即可. 【解答】解:将正方形放入坐标系中,设正方形的边长为 2,则 A(0,0) ,C(2,2) ,E(2,1) ,F(1,2) ,G(0,1) , 则 =(2,2) , =(2,1) , =(1,2) , =(0,1) , 则 x= ? =2×2+2×1=4+2=6, y= ? =2×1+2×2=2+4=6,
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z=

? =2×0+2×1=2, 故 x=y>z, 故选:A.

10.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是(



A.0

B.

C.1+

D.1+

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的是 s=sin +sin +sin +…+sin 的值,由此求出结果即可. +sin +sin

【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; n=1,s=0, 执行循环体,s=0+sin = ,n=2, +sin +sin = + ,n=3 =1+ ,n=4

不满足条件 n≥2016?,执行循环体,s=sin 不满足条件 n≥2016?,执行循环体,s=sin

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不满足条件 n≥2016?,执行循环体,s=sin 不满足条件 n≥2016?,执行循环体,s=sin n=6 不满足条件 n≥2016?,执行循环体,s=sin = ,n=7

+sin +sin

+sin +sin

+sin +sin

=1+ +sin

,n=5 = ,

+sin

+sin

+sin

+sin

+sin

不满足条件 n≥2016?,执行循环体,s=sin +sin =0,n=8

+sin

+sin

+sin

+sin

+sin

不满足条件 n≥2016?,执行循环体,s=sin +sin +sin2π=0,n=9

+sin

+sin

+sin

+sin

+sin

不满足条件 n≥2016?,执行循环体,s=sin +sin +sin2π+ = ,n=10

+sin

+sin

+sin

+sin

+sin

… s 的值是随 n 的变化而改变的,且周期为 8, 又 2016=252×8,此时终止循环, 所以输出的 s 值与 n=7 时相同,为 s=0. 故选:A. 11.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f

A.﹣

B. C.2 D.﹣2 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由函数的图象顶点的纵坐标求出 A,周期,根据周期公式可求 ω,根据 φ=2kπ+ φ) , ∴ φ=2kπ+ ,k∈Z,解得 φ=2kπ﹣ ,k∈Z, 2=2sin 求出 φ 值, 进而利用诱导公式可求 f (x) , 可求 f 在函数图象上, (

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∴f(x)=2sin(

x+2kπ﹣

)=﹣2cos

x,

∴f 若函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)在 x=π 处取最大值,则( ) A.f(x﹣π)一定是奇函数 B.f(x﹣π)一定是偶函数 C.f(x+π)一定是奇函数 D.f(x+π)一定是偶函数 【考点】正弦函数的图象. 【分析】利用诱导公式化简 f(x)的解析式,从而得出结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)在 x=π 处取最大值, ∴sin(ωπ+φ)=1,ωπ+φ=2kπ+ 即 φ=2kπ+ , ﹣ωπ )=cosω(x﹣π) ,

﹣ωπ,∴f(x)=sin(ωx+φ)=sin(ωx+2kπ+

故 f(x﹣π)=cosω(x﹣π﹣π)=cos(ωx﹣2ωπ) ,它的奇偶性不确定,故排除 A、B; ∴而 f(x+π)=cosω(x+π﹣π)=cosωx,一定是偶函数,故排除 C, 故选:D. 13.[重点中学做]定义:[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1,给出 下列结论: ①函数 y=[sinx]是奇函数; ②函数 y=[sinx]是周期为 π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]﹣cosx 不存在零点; ④函数 y=[sinx]﹣[cosx]的值域为[﹣1,0,1]. 其中正确结论是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.②③ 【考点】函数的值. 【分析】作出函数 y=[sinx],x∈[0,2π]的图象,利用数形结合思想和分类讨论思想求出结 果. 【解答】解:函数 y=[sinx],x∈[0,2π]的图象如图所示, 故①②错误,③正确; 对于④,当 x=0 时,y=﹣1;当 x∈(0, 当 x∈[ 当 x∈[ ,π]时,y=1,当 x∈(π, ,2π)时,y=﹣1. )时,y=0. ]时,y=0.

故④正确. 故选:C.

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14.[普通中学做]定义:[x]表示不超过 x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[﹣0.5]=﹣1.若 f (x)=sin(x﹣[x]) ,则下列结论中正确的是( ) A.y=f(x)的最小值为 0,最大值为 sin1 B.y=f(x)无最小值,最大值为 sin1 C.y=f(x)的最小值为 0,无最大值 D.y=f(x)无最小值,无最大值 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】根据 f(x+1)=f(x)可得 1 为函数的周期,再求出函数的值域,进而可得结论. 【解答】解:f(x+1)=sin(x+1﹣[x+1])=sin(x+1﹣[x]﹣1)=sin(x﹣[x])=f(x) , 故 y=f(x)是周期函数,周期为 1. 由 g(x)=x﹣[x]在[k,k+1) (k∈Z)上是单调递增的周期函数, 且 g(x)∈[0,1) ,故 y=f(x)=sin(x﹣[x])∈[0,sin1) , 即 y=f(x)的最小值为 0,无最大值, 故选:C. 15.[重点中学做]设 H、P 是△ABC 所在平面上异于 A、B、C 的两点,用 , , , 分 别表示向量 , , , .已知 ? + ? = ? + ? = ? + ? ,| |=1,| |= , | |= ,则∠C=( ) A. B. C. D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量数量积的公式和条件进行化简得到 H 是△ABC 的垂心,结合三角形的边 角关系进行求解即可. 【解答】解:由题意知 ? + ? = ? + ? , 即 ?( ﹣ )+ ?( ﹣ )=0,即 ? =0. 同理得 ? =0,故 H 是△ABC 的垂心, 设∠CAD=∠CBE=θ,则 DH= sinθ,BD= cosθ,DC=tanθ(1+ sinθ) = ,

∴BD+DC=

cosθ+

=



整理得 则 θ+ =

cosθ﹣sinθ= ,即 θ=

,即 cos(θ+ ,则 C= ,

)=



故选:A.

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16.[普通中学做]设 H、P 是△ABC 所在平面上异于 A、B、C 的两点,用 , , , 分 别表示向量 , , , .已知 ? + ? = ? + ? = ? + ? ,| |=| |=5,| |=6,则| |=( ) A. B. C. D.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量数量积的公式和条件进行化简得到 H 是△ABC 的垂心,结合三角形的边 角关系进行求解即可. 【解答】解:由题意知 ? + ? = ? + ? , 即 ?( ﹣ )+ ?( ﹣ )=0,即 ? =0. 同理得 ? =0,故 H 是△ABC 的垂心,如图所示, 在 Rt△CAD 中,tan∠CAD= , ∵∠CAD=∠CBE, ∴ = ,即 DH= ,

∴AH=4﹣ = , 故选:A.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 17.已知向量 =(1,2) , ﹣ =(0,x) , ⊥ ,则 x= .

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 根据向量的加法运算法则求出向量 的坐标, 结合向量垂直转化为向量数量积为 0, 解方程即可. 【解答】解:∵向量 =(1,2) , ﹣ =(0,x) , ∴向量 = ﹣(0,x)=(1,2)﹣(0,x)=(1,2﹣x) , ∵ ⊥ ,∴ ? =0,

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即 1×1+2×(2﹣x)=0,得 x= , 故答案为: .

18.由下面样本数据利用最小二乘法求出的线性回归方程是 =﹣20x+a,则实数 a= 250 x 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 y 90 84 83 80 75 68 【考点】线性回归方程. 【分析】求出样本中心,利用回归直线方程求解即可. 【解答】解:由题意, =8.5, =80. ∴样本中心坐标(8.5,80) , 回归直线经过样本中心,可得 80=﹣20×8.5+a,解得 a=250. 故答案为:250.

19.若有放回地从 1,2,5,7 中任取两数,则这两数的和为奇数的概率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】分别列举出所有的基本事件和满足条件的事件,求出其概率即可. 【解答】解:基本事件为: (1,1) , (1,2) , (1,5) , (1,7) , (2,1) , (2,2) , (2,5) , (2,7) , (5,1) , (5,2) , (5,5) , (5,7) , (7,1) , (7,2) , (7,5) , (7,7) , 共 16 个, 两数的和为奇数为: (1,2) , ( (2,1) , (2,5) , (2,7) , (5,2) , (7,2) , 6 共 个, ∴P(两数的和为奇数)= 故答案为: . = ,



20.[重点中学做]已知函数 f(x)=sin(ωx+ 的取值范围是 [ , ] . 【考点】正弦函数的图象. 【分析】由题意可得 ω? 围. + ≥

) (ω>0)在(

,π)上单调递减,则 ω

+2kπ,且 ω?π+



+2kπ,由此求得 ω 的取值范

第 14 页(共 22 页)

【解答】解:∵函数 f(x)=sin(ωx+ ≥ +2kπ,且 ω?π+ ≤

) (ω>0)在(

,π)上单调递减,则 ω?

+

+2kπ,k∈Z,

求得 4k+ ≤ω≤ +2k,取 k=0,可得 ω 的取值范围为[ , ], 故答案为:[ , ].

21.[普通中学做]若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在[ 围是 ( 0,1] . 【考点】正弦函数的图象. 【分析】由题意可得 ω? 围. 【解答】解:∵函数 f(x)=sinωx(ω>0)在[ 且 ω? ≤2kπ+ ,k∈Z, , ≥2kπ﹣ ,且 ω?



]上单调递增,则 ω 的取值范

≤2kπ+

,k∈Z,由此求得 ω 的取值范

]上单调递增,∴ω?

≥2kπ﹣



求得 ω≥12k﹣6,且 ω≤4k+1,令 k=0,可得 ω 的取值范围为( 0,1], 故答案为: ( 0,1]. 三、解答题(共 6 小题,满分 60 分) 22.运行如图程序框图. (1)当输入 x 的值等于 2π 时,求输出 y 的值; (2)当输出 y 的值最大时,求输入 x 的值.

【考点】程序框图. 【分析】 (1)模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出 y= 的值,代入 x=2π,即可计算求值得解. (2)根据函数 y=f(x)的单调性,即可得解输出的 y 的值最大,及此时输入的 x 的值.
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【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (1)∵y= ,…3 分

当 x=2π 时,y=﹣(2π)2+π×2π=﹣2π2…6 分 (2)函数 y=f(x)在(﹣∞, )上单调递增,在( …12 分 ,+∞)上单调递减,…9 分

∴输出的 y 的值最大是 1,此时输入 x=

23.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,它们的中位数相同,平均数也相同. (1)求 m,n 的值; (2)若从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据,求乙的数据大于甲的数据的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 【分析】 (1)求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可;找中位数要把数据按从小到大 的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数; (2)确定基本事件的情况,即可求乙的数据大于甲的数据的概率. 【解答】解: (1)根据茎叶图,得乙的中位数是 12,∴甲的中位数也是 12,即 m=2 甲平均数是 (2+12+19)=11,乙平均数是: (n+11+13+17)=11, ∴n=3. (2)从甲、乙两组数据中随机各抽取一个数据,可能情况共有 3×4=12 种. 当乙取 3,11 时,甲取 2,当乙取 13,17 时,甲取 2,12,故满足乙的数据大于甲的数据共 有 6 种情况, ∴乙的数据大于甲的数据的概率为 = .

24.[重点中学做]如图所示,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π) ,它们的终边分别与 单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的横坐标为﹣ . (1)求 (2)若 ? = 的值; ,求 sinβ 的值.

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【考点】任意角的三角函数的定义;平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)利用任意角的三角函数的定义,求得 cosα、sinα、tanα 的值,再利用同角三角 函数的基本关系求得要去式子的值. (2)利用两个向量数量积的定义求得 cos(α﹣β) 和 sin(α﹣β)的值,再利用两角差的 正弦公式求得 sinβ=sin[α﹣(α﹣β)]的值. 【解答】解: (1)由题意可得 cosα=﹣ ,sinα= ,tanα= =﹣ ,



=

=

=﹣



(2)若 (α﹣β)=

?

=|OP|?|OQ|?cos(α﹣β)=cos(α﹣β)= = .

,即 cos(α﹣β)=

,∴sin

∴sinβ=sin[α﹣(α﹣β)]=sinαcos(α﹣β)﹣cosαsin(α﹣β)= = .

﹣(﹣ )?

25.[普通中学做]如图所示,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π) ,它们的终边分别与 单位圆相交于点 P、Q,已知点 Q 的横坐标为 . (1)求 (2)若 ? 的值; = ,求 cosα 的值.

【考点】平面向量数量积的运算;任意角的三角函数的定义;三角函数的化简求值. 【分析】 (1)利用三角函数的定义,求出 β 的正弦函数与余弦函数值,即可求解所求表达式 的值. (2)利用向量的数量积化简求解 cosα 的值即可.
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【解答】解: (1)由三角函数定义可得 cosβ= ,sinβ= ,则 tanβ= .



=

=

=

=



(2)∵

?

= ,∴ )=cosβcos ﹣sinβsin =

= ,∴cos(α﹣β)= ,∴ = .



cosα=cos(

26.某班 n 名学生的综合素质测评成绩(百分制)频率分布直方图如图所示,已知 70~80 分数段的学生人数为 27 人,90~95 分数段的学生中女生为 2 人. (1)求 a,n 的值; (2)若从 90~95 分数段内的学生中随机抽取 2 人,求其中至少有一名女生的概率.

【考点】频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (1)根据频率分布直方图求出 a 的值,从而求出 n 即可; (2)先得到男生 4 人,记为:a,b,c,d,女生 2 人,记为:e,f,列出所有的基本事件 以及满足条件的事件,从而求出满足条件的概率即可. 【解答】解: (1)由频率分布直方图得: (a+a+2a+3a+4a+4a+5a)×5=1,解得:a=0.01, 由已知得(4a+5a)×5= ,解得:n=60;

(2)90~95 分数段内的学生数是 2a×5×60=6, 则男生 4 人,记为:a,b,c,d,女生 2 人,记为:e,f, 若从 90~95 分数段内的学生中随机抽取 2 人, 共有 ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef, 共 15 种情形, 其中满足至少有一名女生共有: ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef, 共 9 种情形, ∴其中至少有一名女生的概率是 p= = .

28.如图所示,四边形 ABCD 中,AB=AD=2,△BCD 为正三角形,设∠BAD=α(α∈(0, π) ) .

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(1)当 α=

时,求

?

的值;

(2)[重点中学做]当 α 为多少时,△ABC 的面积 S 最大?并求 S 的最大值. (3)[普通中学做]记△BCD 的面积 S=f(α) ,求函数 g(α)=f(α)﹣2sinα 的最小值.

【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 (1)根据向量数量积的公式进行计算即可, (2)根据三角形的面积公式,结合三角函数辅助角公式进行化简,结合三角形的图象和性 质进行求解即可. (3)根据三角形的面积公式,结合三角函数辅助角公式进行化简,结合三角形的图象和性 质进行求解即可. 【解答】解: (1)设 AC∩BD=0,则 O 是 BD 的中点,且 AC⊥BD, 当 α= 则 ? 时,AO= = ?( ,OC= ﹣ )= ,
2



?

=(

)2﹣(

)?

=2

+6.

(2)由题意得 BC=BD=4sin 则 S= AB?BCsin∠ABC= ?(sin =2sin cos cos +cos +2 sin sin2 <α﹣

, sin )=4sin ?sin( ?( cos + + )=4sin sin ) )+ , ?sin( + )=4sin

=sinα+ <

(1﹣cosα)=2sin(α﹣ ,

∵0<α<π,∴﹣ ∴当 α﹣ =

,即 α=

时,S 取得最大值,此时 S=2+ , ? =﹣2 cosα+2 )+2 ,



(3)由题意得 BC=BD=4sin S=f(α)= (4sin )2=4



则 g(α)=﹣2 ∵0<α<π,∴ ∴当 α+ =

cosα+2 <α+ ,即 α=

﹣2sinα=﹣4sin(α+ < ,

时,g(α)取得最小值, )=2 ﹣4.

故 g(α)=f(α)﹣2sinα 的最小值为 g(

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请考生在第 29~31 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (共 3 小题,满 分 10 分) 29.已知向量 =(1,2) , =(﹣1,2) , =(5,2) . (1)求满足 =m +n 的实数 m、n; (2)若( +k )⊥ ,求实数 k 的值. 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】 (1) =m +n ,可得 ,解出即可得出. +k )? =0,解出即可得出. ,解

(2) +k =(1﹣k,2+2k) ,由( +k )⊥ , (

【解答】解: (1) =m +n ,可得(5,2)=m(1,2)+n(﹣1,2) ,∴ 得 m=3,n=﹣2. (2) +k =(1,2)+k(﹣1,2)=(1﹣k,2+2k) , ∵( +k )⊥ ,∴5(1﹣k)+2(2+2k)=0,解得 k=9. 30.已知向量 , 是夹角为 60°的两个单位向量, (1)求实数 λ 的值; (2)求向量 的模| |. 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】 (1) 解出即可得出. (2)利用 = = = 即可得出. = =1, = ,由于 = ,且 .

,可得

=(



=0.展开

【解答】解: (1)∵ ∴ ∵ ∴ 解得 (2) =

=1,向量 , 是夹角为 60°,

=1×1×cos60°= , , =( . = = = . ) = + = =0.

31.已知向量 与 的夹角为 30°,且| |=2,| |= (1)求| ﹣2 |的值; (2)设向量 = +2 ,



= ﹣2 ,求向量 在 方向上的投影.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 (1)根据向量的数量积的运算法则计算即可, (2)根据向量的投影的定义即可求出. 【解答】解: (1)∵向量 与 的夹角为 30°,且| |=2,| |= 2 ∴| ﹣2 | =| |2+4| |2﹣4| |?| |cos30°=4+12﹣12=4,
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∴| ﹣2 |=2, (2)由(1)知| |= ﹣2 =2, ∵ =( +2 )?( ﹣2 )=| |2﹣4| |2=4﹣12=﹣8,

∴向量 在 方向上的投影为

=

=﹣4.

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2016 年 8 月 20 日

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