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【轻松突破120分】2014高考数学精炼17 理


2014 高考数学(理)轻松突破 120 分 17
【选题明细表】 知识点、方法 三角公式的简单应用 三角公式的逆用与变形用 综合问题 一、选择题 1.化简 cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值为( (A) (B) (C)(D)题号 2、3、6、7、9、11 1、4、8 5、10

A )

解析:cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°= cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°= cos(15°+45°)=cos 60°= . 故选 A. 2.已知 tan =3,则 tan α 的值为( A )

(A) (B)-

(C) (D)-

解析:法一 ∵tan

=

=3,

∴tan α = .

法二 tan α =tan

=

=

= . 故选 A. 3.已知 cos +sin α = ,则 sin 的值

-1-

是( C ) (A)(B)

(C)-

(D)

解 析 : cos

+sin α =

?

sin α +

cos α =

? sin

=

,所以

sin

=-sin

=- .故选 C.

4.已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,且α 、β ∈

,则 cos(α -β )的值等于( D

)

(A)-

(B) (C)-

(D)

解析:∵α 、β ∈

,∴α +β ∈(0,π ),

∴sin α =

=

=

,

sin(α +β )=

=

=

.

∴cos β =cos[(α +β )-α ]= cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α = × + × = ,

∴sin β =

=

=

,

∴cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β = × + × = .故选 D.

5.已知向量 a=

,b=(4,4cos α -

),若 a⊥b,则 sin

等于(

B )

-2-

(A)-

(B)-

(C)

(D)

解析:由 a⊥b 得 a·b=0,即 4sin

+4cos α -

=0,

于是 sin

+cos α = ,

因此 sin α + cos α +cos α = ,

即 sin α + cos α = ,



sin

= ,所以 sin

= ,

于是 sin

=-sin

=- .故选 B.

6.在△ABC 中,C=120°,tan A+tan B=

,则 tan Atan B 的值为( B )

(A) (B) (C) (D) 解析:由 C=120°得 A+B=60°, 于是 tan(A+B)= = ,



=

,所以 tan Atan B= .故选 B.

二、填空题 7.如图所示,点 B 在以 PA 为直径的圆周上,点 C 在线段 AB 上,已知 PA=5,PB=3,PC= α ,∠APC=β ,α 、β 均为锐角,则角β 的值为 . ,设∠APB=

-3-

解析:因为点 B 在以 PA 为直径的圆周上, 所以∠ABP=90°, 所以 cos α = = ,sin α = ,

即 tan α = ,

因为 cos∠CPB=cos(α -β )=

=

=

,

所以 sin(α -β )= ,

即 tan (α -β )= ,

所以 tan β =tan [α -(α -β )]=

=1,

又β ∈

,所以β = .

答案: 8.已知角α 、β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α 、β ∈(0,π ),角β 的终边与 单位圆交点的横坐标是- ,角α +β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos α = 解析:依题设得, cos β =- ,∵0<β <π , .

∴ <β <π ,sin β =

,

又∵sin(α +β )= >0,0<α <π ,

∴ <α +β <π ,

-4-

cos(α +β )=- . ∴cos α =cos[(α +β )-β ]= cos(α +β )cos β +sin(α +β )sin β = - × + × =

.

答案:

9.已知 sin

= ,则 cos

=

.

解析:cos

=2cos

2

-1,

又 cos

=sin

= ,

所以 cos

=- .

答案:三、解答题 10.已知函数 f(x)=sin cos x-sin x·cos(π +x).

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)在△ABC 中,若 A 为锐角,且 f(A)=1,BC=2,B= ,求 AC 边的长.

解:(1)f(x)=sin =cos x+sin xcos x =cos x+ sin 2x
2 2

cos x-sin x·cos(π +x)

-5-

= (sin 2x+cos 2x+1)

= sin

+ .

令- +2kπ <2x+ < +2kπ ,k∈Z,

得- +kπ ≤x≤kπ + ,k∈Z, 所以函数 f(x)的单调增区间为 (- +kπ , +kπ ),k∈Z, 同理可得函数 f(x)的单调减区间为 ( +kπ , +kπ ),k∈Z. (2)因为 f(A)=1, 所以 sin + =1,

所以 sin 因为 A 为锐角, 所以 <2A+ < ,

= .

所以 2A+ = ,

所以 A= . 在△ABC 中,由正弦定理得, = ,即 = ,

解得 AC=

.

-6-

11.已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < . (1)求 tan 2α 的值; (2)求β . 解:(1)由 cos α = ,0<α < ,得

sin α =

=

=

.

∴tan α =

=

× =4

,

于是 tan 2α =

=

=-

.

(2)由 0<β <α < ,得 0<α -β < ,

∵cos(α -β )= ,

∴sin(α -β )=

=

=

.

由β =α -(α -β ),得 cos β =cos[α -(α -β )]= cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β )= × + × = ,

所以β = .

-7-


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