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高中数学北师大版选修2-2第2章4《导数的四则运算法则》课时作业

【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第 2 章 4 导数的四则运算法 则课时作业 北师大版选修 2-2

一、选择题 1.已知 f(x)=x +2x·f′(1),则 f′(0)等于( A.2 C.-4 [答案] C [解析] f′(x)=2x+2f′(1),于是 f′(1)=2+2f′(1),则 f′(1)=-2, 故得 f′(x)=2x-4,因此 f′(0)=-4.故选 C. 2.曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A.-9 C.9 [答案] C [解析] 本题考查导数几何意义, 求导公式等知识. 导数基本运算及应用是每年必考内 容. 由 y=x +11 知 y′=3x ,所以 y′|x=1=3,所以过点 P(1,12)的切线方程为 y-12= 3(x-1),即 3x-y+9=0,令 x=0 易知选 C. π π 3. (2014·山师附中高二期中)设 f(x)=sinx-cosx, 则 f(x)在 x= 处的导数 f ′( ) 4 4 =( ) A. 2 C.0 [答案] A [解析] ∵f ′(x)=cosx+sinx, π π π ∴f ′( )=cos +sin = 2,故选 A. 4 4 4 4.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=( A.e
2 3 2 3 2

)

B.-2 D.0

)

B.-3 D.15

B.- 2 D. 2 2

)

B.e D.ln2

ln2 C. 2 [答案] B

[解析] 因为 f′(x)=(xlnx)′=lnx+1,所以 f′(x0)=lnx0+1=2, 所以 lnx0=1,即 x0=e.故选 B. 5.若函数 y=x·2 且 y′=0,则 x 的值为( 1 A.- ln 2 C.-ln 2 [答案] A 1 x x [解析] y′=2 +x·2 ln 2,由 y′=0,得 x=- . ln 2 二、填空题 6.(2014·杭州质检)若 f(x)=x -2x-4lnx,则 f ′(x)>0 的解集为________. [答案] (2,+∞) 4 2 [解析] 由 f(x)=x -2x-4lnx,得函数定义域为(0,+∞),且 f ′(x)=2x-2- =
2

x

)

1 B. ln 2 D.ln 2

x

2x -2x-4 x -x-2 ?x+1??x-2? =2· =2· ,f ′(x)>0,解得 x>2,故 f ′(x)>0 的

2

2

x

x

x

解集为(2,+∞).

x 1 7.已知曲线 y= 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为________. 4 2
[答案] 1

2

x 1 1 1 [解析] 已知曲线 y= 的一条切线的斜率为 ,令 y′= x= ,则 x=1,即切点的横 4 2 2 2
坐标为 1. 8.(2014·江西理,13)若曲线 y=e 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点
-x

2

P 的坐标是________.
[答案] (-ln2,2) [解析] 依题意,设 P 点为(x0,y0),又 y′=-e , 所以 y′|x=x0=-e-x0=-2, 解得 x0=-ln2,y0=2,即 P(-ln2,2). 三、解答题 9.若函数 f(x)=x-sin cos 的导数为 g(x),求函数 g(x)的最小值. 2 2
-x

x

x

x x 1 1 [解析] 由于 f′(x)=(x-sin cos )′=(x- sinx)′=1- cosx, 2 2 2 2
1 所以 g(x)=1- cosx,又-1≤cosx≤1, 2

1 故函数 g(x)的最小值等于 . 2 10.已知曲线 C:y=3x -2x -9x +4. (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线的方程; (2)第(1)小题中切线与曲线 C 是否还有其他公共点? [解析] (1)把 x=1 代入 C 的方程,求得 y=-4, ∴ 切点为(1,-4),y′=12x -6x -18x, ∴切线斜率为 k=12-6-18=-12. ∴切线方程为 y+4=-12(x-1),即 y=-12x+8.
? ?y=3x -2x -9x +4, (2)由? ?y=-12x+8 ?
4 3 2 3 2 4 3 2

得 3x -2x -9x +12x-4=0, ∴(x-1) (x+2)(3x-2)=0, 2 ∴x=1,-2, . 3 代入 y=3x -2x -9x +4, 求得 y=-4,32,0, 2 即公共点为(1,-4)(切点),(-2,32),( ,0). 3 2 ∴除切点外,还有两个交点(-2,32)、( ,0). 3
4 3 2 2

4

3

2

一、选择题 1. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x, 则 f′(e)=( A.e
-1

)

B.-1
-1

C.-e

D.-e

[答案] C [解析] ∵f(x)=2xf′(e)+ln x, 1 1 1 ∴f′(x)=2f′(e)+ ,∴f′(e)=2f′(e)+ ,解得 f′(e)=- .故选 C. x e e 2.若函数 f(x)=e sin x,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( π A. 2 C.钝角 [答案] C B.0 D.锐角
x

)

π x x 4 4 [解析] y′|x=4=(e sinx+e cos x)|x=4=e (sin 4+cos 4)= 2e sin(4+ )<0,故 4 倾斜角为钝角.故选 C. 3.(2014·山师附中高二期中)直线 y=kx+1 与曲线 y=x +ax+b 相切于点 A(1,3), 则 2a+b 的值为( A.2 C.1 [答案] C [解析] 由条件知,点 A 在直线上,∴k=2,又点 A 在曲线上,∴a+b+1=3,∴a+b =2.由 y=x +ax+b 得 y′=3x +a,∴3+a=k,∴a=-1,∴b=3,∴2a+b=1. 4 4.已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围 e +1 是( ) π A.[0, ) 4 π 3π C.( , ] 2 4 [答案] D [解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式 4e 解析:y′=- x 2 ?e +1? 4e 4e 4 ∴tanα =- x =- 2=- x 2 x ?e +1? ?e ? +2e +1 1 x e + x+2 e 1 x x ∵e >0∴e + x ≥2(当且仅当 x=0 时取等号) e 1 4 x ∴e + x+2≥4,∴0< ≤1 e 1 x e + x+2 e ∴-1≤tanα <0 3 ∵α ∈[0,π ),∴α ∈[ π ,π ),故选 D 4 二、填空题 5.已知 P、Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P、Q 的横坐标分别为 4、-2,过 P、Q 分别 作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. [答案] -4 [解析] 本题考查导数的几何意义.
2 3 2 3

) B.-1 D.-2

π π B.[ , ) 4 2 3π D.[ ,π ) 4

x

x

x

由题意知:P(4,8),Q(-2,2),y′=x, ∴切线斜率 k=4 或 k=-2.

LAP:y-8=4(x-4),LAQ:y-2=-2(x+2)联立消去 x,
得 y=-4. 注意在切线问题中常常用导数的几何意义. 6.(2014·广东理,10)曲线 y=e [答案] y=-5x+3 [解析] ∵y=e
- 5x -5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.

+2,∴y′=-5e

-5x

|x=0=-5.

∴k=-5,又过点(0.3), ∴切线方程 y-3=kx=-5x, ∴y=-5x+3,注意导数的几何意义. 三、解答题 7. 偶函数 f(x)=ax +bx +cx +dx+e 的图像过点 P(0,1), 且在 x=1 处的切线方程为
4 3 2

y=x-2,求 y=f(x)的解析式.
[解析] ∵f(x)的图像过点 P(0,1),∴e=1. 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 故 ax +bx +cx +dx+e=ax -bx +cx -dx+e. ∴b=0,d=0.∴f(x)=ax +cx +1. ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, ∴切点为(1,-1). ∴a+c+1=-1. ∵f′(x)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1. 5 9 ∴a= ,c=- . 2 2 5 4 9 2 ∴函数 y=f(x)的解析式为 f(x)= x - x +1. 2 2 8.求过原点作曲线 C:y=x -3x +2x-1 的切线方程. [分析] 因为 C 不过原点,所以切点不为原点,应另设切点,再用导数几何意义求切线 方程. [解析] 设切点为(x0,y0), ∵y′=3x -6x+2, ∴切线斜率为 3x0-6x0+2, ∴切线方程为 y-y0=(3x0-6x0+2)(x-x0) ∵切点在曲线 C 上, ∴y0=x0-3x0+2x0-1,
3 2 2 2 2 3 2 4 2 4 3 2 4 3 2



又切线过原点, ∴-y0=(3x0-6x0+2)(-x0), 由①②得 0=-2x0+3x0-1, ∴2x0-3x0+1=0, 因式分解得:(x0-1) (2x0+1)=0 1 ∴x0=1 或 x0=- , 2 1 23 ∴两个切点为(1,-1),(- ,- ) 2 8 23 23 1 ∴两条切线方程为 y+1=-1(x-1)和 y+ = (x+ ) 8 4 2 即 x+y=0 或 23x-4y=0. [点评] 过曲线外一点作切线,应是设切点坐标,利用导数求切线方程,再列关于切点 横坐标的方程,求解.
2 3 2 3 2 2




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