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2013届高三数学暑假作业 (10)


2013 届高三备战 9 月摸底考试模拟试卷 (10)
1.命题“ ? x ? R , sin x ? ? 1 ”的否定是 . 2.设复数 z 满足 z(2?3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为 3.已知?在第三、第四象限内,sin?=
2m ? 3 4?m

. .

那么 m 的取值范围是

4.函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k?N*, a1=16,则 a1 +a2+a3= . 5.在标有数字 1, 2, 3 ...,1 0,1 1,1 2 的 12 张大小相同的卡片中,依次取出不同的三张卡 片它们的数字和恰好是 3 的倍数的概率是
2 2



6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有三个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的值是______ [. 7.若函数 y ?
x?b x?2

在 ( a , b ? 4 )( b ? ? 2 ) 上的值域为 ( 2 , ? ? ) ,则 ab =



8.等腰直角△ A B C 中, ? A ? 9 0 ? , A B ?
???? ???? ?

2 , A D 是 B C 边上的高, P 为 A D

的中点,点 M 、 N 分别为 A B 边和 A C 边上的点,且 M 、 N 关于直线 A D 对称, 当 PM ? PN ? ?
1 2

时,

AM MB

?



9.设 a ? 0, b ? 0, 4 a ? b ? a b ,则在以 ? a , b ? 为圆心, a ? b 为半径的圆中,面积 最小的圆的标准方程是 . 10.已知 m , n 是两条不同的直线, ? 是一个平面,有下列四个命题: ① 若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ② 若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; ③ 若 m // ? , n ? ? ,则 m ? n ;④ 若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? . 其中假命题的序号有
2 3

.(请将假命题的序号都填上) .

11.若不等式 x ? 2 ? x ? 2 x ? a x 对 x ? ? 0 , 4 ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是 12.已知扇形的圆心角为 2 ? (定值) ,半径为 R (定值) ,分别按图一、二作扇形 的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为 形面积的最大值为 ▲ .
1 2 R ta n ? ,则按图二作出的矩
2

2?
1

2?

图一 第 12 题图

图二

13 . 设 函 数 f ( x ) ? 为 . 14.某学生对函数 ① 函数
f (x)

x ? 2 x ? 1, 若 a ? b ? ? 1, 且 f ( a ) ? f ( b ),
2

则 ab ? a ? b 的 取 值 范 围

f ( x ) ? 2 x ? co s x

的性质进行研究,得出如下的结论:
?? ? ,0 ? ? 2 ?

在 ? ? ? , 0 ? 上单调递增, ? 0 , ? ? 上单调递减; ② 点 ? 在
? f (x)

是函数 y
? 0

? f (x)

图像的一个 对一

对称中心;③ 函数 y 切实数 x 均成立. 其中正确的结论是 ..... 二、解答题:

图像关于直线 x

??

对称;④ 存在常数 M

,使

f (x) ? M x

.(填写所有你认为正确结论的序号)

15.已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,4) C ( 3 cos ? , 3 sin ? ). , (1)若 ? ? ( ? ? , 0 ) 且 | AC |? | BC |, 求角 ? 的值;
2 sin
2

(2)若 AC ? BC ? 0 , 求

? ? sin 2 ?

1 ? tan ?

的值.

16.设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左,右两个焦点分别为 F1 , F 2 ,短轴的上端点为 B,短轴上

的两个三等分点为 P,Q,且 F1 P F 2 Q 为正方形。 (1)求椭圆的离心率; (2)若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一个截 距为 ?
3 2 4

,求此椭圆方程。

2

17.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC=∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; P (2)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF; (3)求证 CE∥平面 PAB.
E F A D

B C

18. 如图, 两个工厂 A , B 相距 2 km , O 为 AB 的中点, 点 现要在以 O 为圆心,2 km 为半径的圆弧 MN 上的某一点 P 处建一幢办公楼, 其中 MA ? AB , NB ? AB .据测算此办公楼受工厂 A 的“噪音影响度” 与距离 AP 的平方成反比,比例系数是 1,办公楼受工厂 B 的“噪音影响度” 与距离 BP 的平方也成 反比, 比例系数是 4, 办公楼受 A , B 两厂的“总噪音影响度” y 是受 A , B 两厂“噪音影响度”的和, AP 设 为 xkm 。 (1)求“总噪音影响度” y 关于 x 的函数关系,并求出该函数的定义域; (2)当 AP 为多少时,“总噪音影响度”最小 N M

B

· O

A

3

19.已知函数 f ( x ) ? 2

|x ? m |

和函数 g ( x ) ? x | x ? m | ? 2 m ? 8 .

(1)若 m ? 2 ,求函数 g ( x ) 的单调区间; (2)若方程 f ( x ) ? 2 | m | 在 x ? [ ? 4 , ? ? ) 恒有唯一解,求实数 m 的取值范围; (3)若对任意 x1 ? ( ? ? , 4 ] ,均存在 x 2 ? [ 4, ? ? ) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

20.对于数列 { a n }, (1)已知 { a n } 是一个公差不为零的等差数列,a5=6. ①当 a 3
? 2 时 , 若自然数 n 1 , n 2 , ? , n t , ? 满足 5 ? n 1 ? n 2 ? ? ? n t ? ? , a 3 , a 5 , a n1 , a n 2 , ? , a n t , ? 是 等 比 数 列



试 用 t 表 示 nt

②若存在自然数 n1 , n 2 , ? , n t , ? 满 足 5 ?

n1 ? n 2 ? ? ? n t ? ? , 且 a 3 , a 5 , a n , a n , ? , a n , ?
1 2 t

构成一个等比数

列.求证:当 a3 是整数时,a3 必为 12 的正约数. (2) 若数列 { a n }满足 a n ? 1 a n ? 3 a n ? 1 ? a n ? 4 ? 0 , 且 a 2009 小于数列

求 { a n } 中的其他任何一项, a1 的取值范围.

4

江苏省江阴高级中学 2011 届高三上学期开学学情调研考试 1 ? x ? R , sin x ? ? 1 1 2 3 1 (?1, ) 2 1 28 1 1 1 1 1 1 1
19 55

± 13 8 3 (x?3)2+(y?6)2=81 ①④

? ?? , 2
2

2? ?
2

1 R ta n 1 ? ? 1,1 ? 1 ④

?

1 解: AC ? ( 3 cos a ? 4 , 3 sin ? ), BC ? ( 3 cos ? , 3 sin ? ? 4 ) , (1)由 | AC | ? | BC | 得 AC
2 2

2

? BC

2


2

即 ( 3 cos ? ? 4 ) ? 9 sin ? ? 9 cos ? ? ( 3 sin ? ? 4 ) .
2

sin ? ? cos ?

4分 7分

? ? ? ( ? ? , 0 ), ? ? ? ?

3? 4

.

(2)由 A C

???? ???? ? BC ? 0

,得 3 cos ? ( 3 cos ? ? 4 ) ? 3 sin ? ( 3 sin ? ? 4 ) ? 0 ,
3 4 . 7 16 ,

解得 sin ? ? cos ? ?

10 分

两边平方得 2 sin ? cos ? ? ?

5

?

2 sin

2

? ? sin 2 ?

1 ? tan ?

?

2 sin

2

? ? 2 sin ? cos ?
1? sin ? cos ?

? 2 sin ? cos ? ? ?

7 16

.

14 分

1

(1)由题意知: P ( 0 , ) ,设 F1 ( ? c , 0 )
3

b

2分 4分

因为 F1 P F 2 Q 为正方形,所以 c ?

b 3

即 b ? 3 c ,∴ b 2 ? 9 c 2 ,即 a 2 ? 1 0 c 2 ,
10 10

所以离心率 e ?

6分

(2)因为 B(0,3c) ,由几何关系可求得一条切线的斜率为 2 2 所以切线方程为 y ? 2 2 x ? 3 c ,
3 2 4

8分 10 分

因为在轴上的截距为 ?

,所以 c ? 1 ,

12 分

所求椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

14 分

10

9

1(1)在 Rt△ABC 中,AB=1,∠BAC=60° ,∴BC= 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60° ,∴CD=2 ∴SABCD=
? 1 2 ?1?
1 3 ? 1 2 AB ? BC ? 1 2 AC ? CD

3 3

,AC=2. ,AD=4.

3 ?
5 2

1 2

?2?2 3 ?
5 3

5 2

3

.……………… 3 分 ……………… 5 分

则 V=

3?2 ?

3



(2)∵PA=CA,F 为 PC 的中点,∴AF⊥PC. ………… 7 分 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ……… 9 分 ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF.…… 10 分 (3)证法一: 取 AD 中点 M,连 EM,CM.则 EM∥PA.∵EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB, ∴EM∥平面 PAB. ……… 12 分
6

在 Rt△ACD 中,∠CAD=60° ,AC=AM=2,∴∠ACM=60° .而∠BAC=60° ,∴MC∥AB. ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB,∴MC∥平面 PAB. ……… 14 分 ∵MC ∵EM∩MC=M,∴平面 EMC∥平面 PAB. ∵EC ? 平面 EMC,∴EC∥平面 PAB. ……… 15 分 证法二:延长 DC、AB,设它们交于点 N,连 PN.∵∠NAC=∠DAC=60° ,AC⊥CD, ∴C 为 ND 的中点. ……12 分 ∵E 为 PD 中点,∴EC∥PN.……14 分 ∵EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB,∴EC∥平面 PAB. ……… 15 分 1 (1)y = 1 4 2+ x 10?x2 ( 3≤x≤ 7),(7 分)(2)x =
?x ?
2

30 9 时,ymin= (15 分) 3 10

1(1) m ? 2 时, g ( x ) ? ?

? 2 x ? 4 ( x ? 2)
2

?? x ?

? 2 x ? 4( x ? 2)



函数 g ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? ,1), ( 2, ? ? ) ,单调减区间为 (1, 2 ) .…………(4 分) (2)由 f ( x ) ? 2 | x ? m | 在 x ? [ ? 4 , ? ? ) 恒有唯一解,得 x ? m ? m 在 x ? [ ? 4 , ? ? ) 恒有唯一解.当 x ? m ? ? m 时,得 x ? 0 ? [ ? 4, ? ? ) ; 当 x ? m ? m 时,得 x ? 2 m ,则 2 m ? 0 或 2 m ? ? 4 ,即 m ? ? 2 或 m ? 0 . 综上, m 的取值范围是 m ? ? 2 或 m ? 0 .…………(10 分) (3) f ( x ) ? ?
?2 ? ?2 ?
x?m m?x

(x ? m) (x ? m)

,则 f ( x ) 的值域应是 g ( x ) 的值域的子集.

① 当 4 ? m ? 8 时, f ( x ) 在 ( ? ? , 4 ] 上单调减,故 f ( x ) ? f ( 4 ) ? 2 m ? 4 ,
g ( x ) 在 [ 4, m ]

上单调减, [ m , ? ? ) 上单调增,故 g ( x ) ? g ( m ) ? 2 m ? 8 ,

所以 2 m ? 4 ? 2 m ? 8 ,解得 4 ? m ? 5 或 m ? 6 . ②当 m ? 8 时, f ( x ) 在 ( ? ? , 4 ] 上单调减, f ( x ) ? f ( 4 ) ? 2 m ? 4 , g ( x ) 在 ? 4 , 故
? ? m? ?m ? 单调增,? , m ? ? 2 ? ?2 ?

上单调减, [ m , ? ? ) 上单调增, g ( 4 ) ? 4 m ? 16 ? g ( m ) ? 2 m ? 8 故 g ( x ) ? g ( m ) ? 2 m ? 8 ,所以
2
m?4

? 2 m ? 8 ,解得 4 ? m ? 5 或 m ? 6 .

③ 0 ? m ? 4 时, f ( x ) 在 ( ? ? , m ] 上单调减, [ m , 4 ] 上单调增,故 f ( x ) ? f ( m ) ? 1 .
g ( x ) 在 [ 4, ? ? ) 上单调增,故 g ( x ) ? g ( 4 ) ? 8 ? 2 m ,所以 8 ? 2 m ? 1 ,即
7 2 ? m ? 4



④ m ? 0 时, f ( x ) 在 ( ? ? , m ] 上单调减, [ m , 4 ] 上单调增,故 f ( x ) ? f ( m ) ? 1 .
7

g ( x ) 在 [ 4, ? ? ) 上单调增,故 g ( x ) ? g ( 4 ) ? 8 ? 2 m
7

,所以 8 ? 2 m ? 1 ,即 m ?

7 2

. (舍去)

综上, m 的取值范围是 [ , 5 ] ? [ 6 , ? ? ) .…………(16 分)
2

1 解: (1)①因为 a 3 ? 2 , a 5 ? 6 , 所以 , 公差 d ? 分
又 a 3 , a 5 , a n 1 , a n 2 , ? , a nt , ? 是等比数列 又 a nt ? 2 n t ? 4 , 所以 2 n t ? 4 ? 2 ? 3
t ?1

a5 ? a3 2
a5 a3

? 2 , 从而 a n ? a 5 ? ( n ? 5 ) d ? 2 n ? 4

2

, 所以公比 , 所以 n t ? 3

q ?
t ?1

? 3 , 所以 a nt ? a 5 ? 3 ? 2 ? 3
t *

t ?1

,t ? N .
*



? 2 , t ? N .? ? ? ? 4 分
2

因为 n 1

? 5时 , a 3 , a 5 , a n 1 成等比数列

, 所以 a 3 a n 1 ? a 5 , 即 a n 1 ?
n ? 3时 , ? a3 ? 6 ? a3 2 36 a3

a5

2

?

36 a3

.

…………6 分

a3

又 { a n } 是等差数列 a n 1 ? a 3 ? ( n1 ? 3 ) ? 所以 36 a3 所以 ? a3 ?
2

, 所以当 a5 ? a3 2

( n 1 ? 3 ), 6 ? a3 2 ( n 1 ? 3 ),

6 ? a3 2 6 ? a3 2

( n 1 ? 3 ), 即 ( n 1 ? 3 ). ?

? a3 ?

36 ? a 3 a3

?

因为 6 ? a 3 ? 0 , 所以

6 ? a3 a3

n1 ? 3 2

, 解得 n 1 ? 5 ?

12 a3

.

因为 n 1 是整数

, 且 n 1 ? 5 , 所以

12 a3

是正整数

, 从而整数

a 3 必为

12 的正约数。……8 分

(2)由 a n ? 1 a n ? 3 a n ? 1 ? a n ? 4 ? 0 , 得 a n ? 1 a n ? 2 a n ? 1 ? 2 a n ? 4 ? a n ? a n ? 1 , 即 ( a n ? 1 ? 2 )( a n ? 2 ) ? ( a n ? 2 ) ? ( a n ? 1 ? 2 ).(*) 由(*)知:若存在 a k 由(*)式知
从而数列 { 1 an ? 2
1 an ? 2

………………10 分
? 2 )( a n ? 2 ) ? 0 .

? ? 2 , 则 a k ? 1 ? ? 2 ; 若存在 a k ? 1 ? ? 2 , 则 a k ? ? 2 , 所以 { a n } 是常数列,

与“ a 2009 小于数列 { a n } 中的其他任何一项”矛盾,因此 ( a n ? 1
1 a n ?1 ? 2 ? 1 an ? 2 ? 1,

}是首项为
1 a1 ? 2

1 a1 ? 2

, 公差为 1的等差数列
1 n ? (1 ? 1 a1 ? 2 )

,即

1 an ? 2

?

1 a1 ? 2

? ( n ? 1 ). ………12



方法二

? n ? (1 ?

), 即 a n ? 2 ?

, 所以

8

当n ? 1?

1 a1 ? 2 1 a1 ? 2

时 , a n ? 2 单调递减 时 , a n 单调递减

, 且 a n ? 2 ? 0;

当n ? 1?

,且 an ? 2 ? 0. , 即 a 2009 ? 2 小于数列 { a n ? 2 }中的其他任何一项 1 a1 ? 2 ? 2010 , 1 2009 4017 2008 4019 2009 , 所以

由于 a 2009 小于数列 { a n }中的其他任何一项 a 2009 ? 2 ? 0 , 且 a 2010 ? 2 ? 0 , 即 2009 ? 1 ? 即 ? 2009 ? 1 a1 ? 2 ? ? 2008 , 即 ? 4017 2008 1 2008 (? ,? 4019 2009

? a1 ? 2 ?

; 解得 ?

? a1 ? ?

.

综上 , a 1的取值范围是

). ? ? ? ? 16 分

9


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