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必修4. 2.3.1平面向量 基本定理及坐标表示


绍兴市柯桥区高中数学学科导学案

《必修 4》第二章 平面向量

2.3.1 平面向量基本定理
【学习目标】 1.了解平面向量基本定理的条件和结论, 会用它来表示平面上的任一向量, 为向量坐标 化打下基础。 2. 通过对平面向量基本定理的学习过程,体验数学定理的产生、形成过程,体验定理 所蕴涵的数学思想方法。 【复习回忆】 1. 复习向量的加法和减法和数乘。 B C 2. 初中中角的定义。 b 【课堂导学】 一、概念建构 O A a 问题一:

c

(1)将 a 平均分成 4 段,记其中一段为 e1 ,将 b 平均分成 3 段,记其中一段为 e2 ,是 否能用 e1 和 e2 表示 c ? (2)将 a 平均分成 5 段,记其中一段为 e1 ,将 b 平均分成 2 段,记其中一段为 e2 ,是 否能用 e1 和 e2 表示 c ?(将 e2 绕 O 点逆时针旋转 180 度?) 问题二:观察: c ? 4e1 ? 3e2 , c ? 5e1 ? 2e2 , c ? 5e1 ? 2e2 ,有怎样的共同形式? 问题三:通过作图平面内任一向量是否都可以用形如 c ? ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示呢? 问题四:若 e1 和 e2 共线,平面内任一向量是否都可以也可以用形如 c ? ?1 e1 ? ?2 e2 的 向量表示呢? 问题五:你能否得到一般性的结论? 平面向量基本定理 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有 且只有一对实数 ?1 、 ?2 使 c ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底。 强调: e1 , e2 不共线;基底不唯一; ?1 , ?2 唯一 问题六、类比初中中角的定义,你能否给出两个向量所成的角? 二、巩固与反馈 例 1 已知向量 e1 , e2 ,求作向量 ? 2.5e1 ? 3e2

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例 2 设 e1 , e2 是两个不共线向量, a ? e1 ? e2 , b ? 2e1 ? 3e2 , c ? e1 ? 2e2 ,请 根据平面向量基本定理,以 a , b 为基底表示 c .

例 3 设 a , b 是平面内的一组基底,如果 AB =6 a -4 b , BC =8 a -9 b , CD =4 a + b , 求证:A、B、D 三点共线

例 4 ? ABC 是正三角形,求向量 AB与BC 所成的角.

三、随堂训练 1、 如图, 已知向量 e1 与 e2 垂直, e1 ? 1 , e2 ? 2 , a ? 5 , 请根据平面向量基本定理, 用 e1 , e2 表示 a .

2、设 e1 , e2 是两个不共线向量, a ? 3e1 ? 4e2 , b ? ?2e1 ? 5e2 , c ? 5e1 ? e2 ,请 根据平面向量基本定理,以 a , b 为基底表示 c .

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【课后巩固】 → → → 1.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2OA+OB+OC=0,那么( → → → → → → → → A.AO=OD B.AO=2OD C.AO=3OD D.2AO=OD 2.如图, ABCD, AB =a, AD =b,H、M 是 AD、DC 之中点,F 使 BF= )

1 BC,以 a,b 为基底分解向 3

量 AM和HF .

3. 如图,M 是△ABC 内一点,且满足条件 AM ? 2BM ? 3CM ? 0,延长 CM 交 AB 于 N,令

CM =a,试用 a 表示 CN .

→ → → → → → → 4.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为 120° ,OA与OC的夹角为 → → → → → → 30° ,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2 3.若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),求实数 λ、μ 的值.

课后巩固答案 1.B 2. 解:由 H、M、F 所在位置,有

AM ? AD ? DM ? AD ?

1 1 1 1 1 DC ? AD ? AB ? b ? a AB =b+ a. 2 2 2 2 2
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1 1 HF ? AF ? AH ? AB ? BF ? AH ? BC ? AD 3 2 1 1 ? AB ? AD ? AD 3 2
=a ?

1 b. 6

3.解:∵ AM ? AN ? NM , BM ? BN ? NM , ∴由 AM ? 2BM ? 3CM =0,得 ( AN ? NM ) ? 2(BN ? NM ) ? 3CM ? 0. ∴ AN ? 3NM ? 2BN ? 3CM =0. 又∵A、N、B 三点共线,C、M、N 三点共线, 由平行向量基本定理,设 AN ? ? BN, CM ? ? NM , ∴ ? BN ? 3NM ? 2BN ? 3? NM ? 0. ∴(λ +2) BN +(3+3μ ) NM =0. 由于 BN 和 NM 不共线, ∴?

?? ? 2 ? 0, ?? ? ?2 ∴? ?3 ? 3? ? 0, ?? ? ?1

∴ CM ? ? NM ? MN. ∴ CN ? CM ? MN ? 2CM =2a. 4. 解

.过点 C 分别作平行于 OB 的直线 CE 交直线 OA 于点 E,平行于 OA 的直线 CF 交直线 OB 于点 F.如图所示. → |OC| 2 3 → 在 Rt△OCE 中,|OE|= = =4; cos 30° 3 2 3 → → |CE|=|OC|· tan 30° =2 3× =2, 3 由平行四边形法则知, → → → → → OC=OE+OF=4OA+2OB, ∴λ=4,μ=2.

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