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2019年高考数学一轮复习: 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案(1)

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 [考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导 出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公 式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的 三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆). (对应学生用书第48页) [基础知识填充] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α ±β )=sin_α cos_β ±cos_α sin_β ; (2)cos(α ±β )=cos_α cos_β ?sin_α sin_β ; (3)tan(α ±β )=1t?atnanα ±tan α tan β β . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α =2sin α cos α ; (2)cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; (3)tan 2α =12-tatnanα2α . [知识拓展] 1.有关公式的变形和逆用 (1)公式 T(α ±β )的变形: ①tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan α tan β ); ②tan α -tan β =tan(α -β )(1+tan α tan β ). (2)公式 C2α 的变形: ①sin2α =12(1-cos 2α ); ②cos2α =12(1+cos 2α ). (3)公式的逆用: ①1±sin 2α =(sin α ±cos α )2; ②sin α ±cos α = 2sin???α ±π4 ???. 2.辅助角公式 asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )???其中tan φ =ba???. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( ) (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( ) (3)公式 tan(α +β )=1t-antaαn +tan α tan β β 可以变形为 tan α +tan β =tan(α +β )(1 -tan α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( ) (4)公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ )中 φ 的取值与 a,b 的值无关.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.- 3 2 B. 3 2 C.-12 D.12 D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°= sin(20°+10°)=sin 30°=12,故选 D.] 4 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α -cos α =3,则 sin 2α =( ) A.-79 B.-29 2 C.9 7 D.9 A [∵sin α -cos α =43, ∴(sin α -cos α )2=1-2sin α cos α =1-sin 2α =196, ∴sin 2α =-79. 故选 A.] 4.(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________. 【导学号:00090103】 -2 [函数 f(x)=2sin???x+π6 ???的最小值是-2.] 5.若锐角 α ,β 满足(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,则 α +β =________. π 3 [由(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4, 可得1t-antaαn +tan α tan β β = 3,即 tan(α +β )= 3. 又 α +β ∈(0,π ),∴α +β =π3 .] (对应学生用书第 49 页) 三角函数式的化简 (1)化简:sin 2α -2cos2α =________. sin???α -π4 ??? 2cos4x-2cos2x+12 (2)化简: . 2tan???π4 -x???sin2???π4 +x??? (1)2 2cos α [原式=2sin α cos α -2cos2α =2 2cos α .] 2 2 α -cos α -2sin2xcos2x+12 (2)原式= 2sin???π4 -x???cos2???π4 -x??? cos???π4 -x??? 1 2 -sin22x 12cos22x 1 = 2sin???π4 -x???cos???π4 = -x??? sin???π2 -2x???=2cos 2x. [规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式. 二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,最常见的是“切化 弦”. 三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向. 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. [变式训练 1] 化简 sin2???α -π6 ???+sin2???α +π6 ???-sin2α =________. 【导学号:00090104】 1 2 [法一:原式=1-cos???22α -π3 ???+1-cos???22α +π3 ???-sin2α = 1 - 12 ???cos???2α -π3 ??